Немного тригонометрии

21 Август 2014, 16:58

Прошедший 2013 год был годом числа $\pi$ . В самом деле, смотрите:

${\rm arctg}\,2+{\rm arct}\,0+{\rm arctg}\,1+{\rm arctg}\,3=\pi.$

Два слагаемых в этой сумме легко вычисляются, действительно

${\rm arctg}\,0=0,\ \displaystyle {\rm arctg}\, 1=\frac{\pi}{4}.$

И остается доказать, что

${\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3=\frac{3\pi}{4}.$

Делать это можно совершенно разными способами.

I. Вычислим тангенс левой и правой частей, воспользовавшись формулой

${\rm tg}\,(\alpha+\beta)=\frac{{\rm tg}\,\alpha+{\rm tg}\,\beta}{1-{\rm tg}\,\alpha{\rm tg}\,\beta}:$

$\frac{2+3}{1-2\cdot3}=-1.$

Мы видим, что тангенсы левой и правой частей совпадают. Учтем, что множество значений функции арктангенс есть множество $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ , откуда

${\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3\in(-\pi,\pi)$ . Однако $\displaystyle{\rm arctg}\,2>{\rm arctg}\,1=\frac{\pi}{4}$ и $\displaystyle{\rm arctg}\,3>{\rm arctg}\,1=\frac{\pi}{4}$ , т.е. $\displaystyle {\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$

Поскольку $\displaystyle -1={\rm tg}\,-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ , то $\displaystyle {\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3=\frac{3\pi}{4},$ и требуемое равенство доказано.