Немного тригонометрии

Прошедший 2013 год был годом числа \pi. В самом деле, смотрите:

    \[{\rm arctg}\,2+{\rm arct}\,0+{\rm arctg}\,1+{\rm arctg}\,3=\pi.\]

Два слагаемых в этой сумме легко вычисляются, действительно

{\rm arctg}\,0=0,\ \displaystyle {\rm arctg}\, 1=\frac{\pi}{4}.

И остается доказать, что

    \[{\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3=\frac{3\pi}{4}.\]

Делать это можно совершенно разными способами.

I. Вычислим тангенс левой и правой частей, воспользовавшись формулой

    \[{\rm tg}\,(\alpha+\beta)=\frac{{\rm tg}\,\alpha+{\rm tg}\,\beta}{1-{\rm tg}\,\alpha{\rm tg}\,\beta}:\]

    \[\frac{2+3}{1-2\cdot3}=-1.\]

Мы видим, что тангенсы левой и правой частей совпадают. Учтем, что множество значений функции арктангенс есть множество \displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), откуда

{\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3\in(-\pi,\pi). Однако \displaystyle{\rm arctg}\,2>{\rm arctg}\,1=\frac{\pi}{4} и \displaystyle{\rm arctg}\,3>{\rm arctg}\,1=\frac{\pi}{4}, т.е. \displaystyle {\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)

Поскольку \displaystyle -1={\rm tg}\,-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}, то \displaystyle {\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3=\frac{3\pi}{4}, и требуемое равенство доказано.

II. А вот это доказательство взято здесь: Division by Zero.

Нам нужно найти угол \theta на рисунке ниже:

По теореме косинусов имеем:

    \[(2+3)^2=\left(\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{10}\right)^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cos\theta,\]

откуда

    \[\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}},\]

и

    \[\theta=\frac{3\pi}{4}.\]

III. Самое “простое” доказательство использует формулу

    \[{\rm arctg}\, a+{\rm arctg}\, b={\rm arctg}\,\frac{a+b}{1-ab}\ ({\rm mod}\,\pi).\]

Ну да, нужно просто выучить еще одну формулу :) (в самом деле, нужно ли это? Нетрудно догадаться, откуда она взялась, не так ли? ;) )

И еще одно доказательство, полученное складыванием бумаги, можно найти здесь: Trigonometry by Paper Folding

Один комментарий

  1. 1 Марина:

    заношу в избранное и непременно использую осенью ;)
    Спасибо за идею!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение