L Олимпиада по математике, Испания, продолжение
Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.
4. Пусть 
— последовательность натуральных чисел, такая что 
и 
для любого 
. Найдите, на какую наибольшую степень числа 
делится 
.
имеем 
, и это число делится на 
. Для 
получаем 
и 
, и это число делится на 
. Предположим, что 
делится на 
, но не делится на 
. Докажем это по индукции. Случаи 
и 
, где Н.О.Д.
. Тогда![\[x_{n+1}^2+1=(2x_n^3+x_n)^2+1=x_n^2(2x_n^2+1)^2+1=(k\cdot5^n-1(2k\cdot5^n-1)^2+1=\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab5487b38fcb626b3e773ae8fc50914a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=(k\cdot5^n-1)(4k^2\cdot5^{2n}-4k\cdot5^n+1)+1=4k^3\cdot5^{3n}-8k^2\cdot5^{2n}+k\cdot5^{n+1}=\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29031a0cf442c619c84b8e729b11ba42_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=k\cdot5^{n+1}(4k^2\cdot5^{2n-1}-8k\cdot5^{n-1}+1).\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb9a9b166ce4e3dc651d86ecdc37f0fe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Тем самым 
делится на 
. Следовательно, наибольшая степень числа 
.5. Множество 
состоит из целых чисел вида 
, где числа 
и 
целые, отличные от нуля.
1) Докажите, что произведение двух произвольных чисел из множества также принадлежит .
2) Выясните, существует ли бесконечно много пар целых чисел 
таких, что 
не принадлежит , а 
принадлежит . Ответ обоснуйте.
. В алгебраическом тождестве Эйлера![\[(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mq-np)^2+(mq+np)^2\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-315589400b616bc9bfd5e59a93834cf0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, получим![\[(a^2+13b^2)(c^2+13d^2)=\left(\sqrt{13}ad-\sqrt{13}bc\right)^2+\left( ac+13bd\right)^2=\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc693861794f40c29d2fcbaad563f33e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[( ac+13bd)^2+13(ad-bc)^2\in M.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2da10c3f44bdb0ad9d9003e6bdc02629_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
с 
или с 
, то элементы множества 
. Чтобы сумма 
. Рассмотрим две последовательности 
и 
, определенные следующим образом:![\[x_k=\left(2^{13}+1\right)\left((4k)^2+13(4k+1)^2\right),\qquad y_k=2x_k.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-defb436a25f3fa21b9fe9713db6dcdd3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x_k+y_k=3x_k=3\left(2^{13}+1\right)\left((4k)^2+13(4k+1)^2\right)\equiv3\pmod{4},\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d39827263f19769ea7c62ece26db877_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
для всех натуральных 
.![\[x_k^{13}+y_k^{13}=x_k^{13}+2^{13}y_k^{13}=\left(2^{13}+1\right) x_k^{13}=\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3beb7e7ad89087578037ca30c754a87c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\left(2^{13}+1\right)^{14}\left((4k)^2+13(4k+1)^2\right)^{13}\in M,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24e067fb5c734cc6942a934e996031d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
6. Даны 
точек внутри единичного круга. Покажите, что на границе круга существует точка 
такая, что сумма расстояний от точки до всех точек не превосходит 
.
круга выполняется неравенство![\[|XP|+|XQ|+|XR|\le4.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a472db64351f404b19a70ce4544bd9a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, получим![\[\sum_{k=1}^{60}|X_kP|+\sum_{k=1}^{60}|X_kQ|+\sum_{k=1}^{60}|X_kR|=\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66def24287d85762efee888578b45166_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\sum_{k=1}^{60}(|X_kP|+|X_kQ|+|X_kR|)\le60\cdot4=240.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c920046e42cf03f85e027c96daf7b12b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
или 
удовлетворяет условию. Осталось только доказать неравенство![\[|XP|+|XQ|+|XR|\le.4\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17221953ec27028adc62c25d34933d2f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, где 
— центр окружности. Максимальное значение сумма 
принимает, когда точка 
. В этом случае, по теореме Птолемея для вписанного четырехугольника 
имеем 
, откуда 
. Так как 
, то 
, и неравенство доказано.Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf
1 Алексей:
Понравились 4 и 6 , что такая связь теории чисел с разными разделами математики . круто , этим и прекрасна математика . 5 задачка свободно играет с6 по математике егэ , на ларине постоянно такое
[Ответить]
15 Май 2014, 21:202 Алексей:
6 задачка похожа на финальную из олимпиады физтех ,В выпуклом 29-угольнике проводят все его диагонали. На какое наибольшее число частей
они могут его разбить?
[Ответить]
15 Май 2014, 21:27