Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.

4. Пусть
— последовательность натуральных чисел, такая что
и
для любого
. Найдите, на какую наибольшую степень числа
делится
.
Показать решение
При
имеем
, и это число делится на
, но не делится на
. Для
получаем
и
, и это число делится на
, но не делится на
. Предположим, что
делится на
, но не делится на
. Докажем это по индукции. Случаи
и
уже рассмотрены. Предположим, что
и
, где Н.О.Д.
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x_{n+1}^2+1=(2x_n^3+x_n)^2+1=x_n^2(2x_n^2+1)^2+1=(k\cdot5^n-1(2k\cdot5^n-1)^2+1=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab5487b38fcb626b3e773ae8fc50914a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[=(k\cdot5^n-1)(4k^2\cdot5^{2n}-4k\cdot5^n+1)+1=4k^3\cdot5^{3n}-8k^2\cdot5^{2n}+k\cdot5^{n+1}=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29031a0cf442c619c84b8e729b11ba42_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[=k\cdot5^{n+1}(4k^2\cdot5^{2n-1}-8k\cdot5^{n-1}+1).\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb9a9b166ce4e3dc651d86ecdc37f0fe_l3.png)
Очевидно, что число в скобках на
не делится
. Тем самым
делится на
и не делится на
. Следовательно, наибольшая степень числа
, на которую делится
, равна
.
5. Множество
состоит из целых чисел вида
, где числа
и
целые, отличные от нуля.
1) Докажите, что произведение двух произвольных чисел из множества
также принадлежит
.
2) Выясните, существует ли бесконечно много пар целых чисел
таких, что
не принадлежит
, а
принадлежит
. Ответ обоснуйте.
Показать решение
6. Даны
точек внутри единичного круга. Покажите, что на границе круга существует точка
такая, что сумма расстояний от точки
до всех
точек не превосходит
.
Показать решение
Рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность — границу данного единичного круга. Заметим, что для любой точки
круга выполняется неравенство
![Rendered by QuickLaTeX.com \[|XP|+|XQ|+|XR|\le4.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a472db64351f404b19a70ce4544bd9a2_l3.png)
Складывая соответствующие неравенства для всех
точек
, получим
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\sum_{k=1}^{60}|X_kP|+\sum_{k=1}^{60}|X_kQ|+\sum_{k=1}^{60}|X_kR|=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66def24287d85762efee888578b45166_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[=\sum_{k=1}^{60}(|X_kP|+|X_kQ|+|X_kR|)\le60\cdot4=240.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c920046e42cf03f85e027c96daf7b12b_l3.png)
Следовательно, по крайней мере одна сумма в левой части неравенства не превосходит
, и какая-то точка
или
удовлетворяет условию. Осталось только доказать неравенство
![Rendered by QuickLaTeX.com \[|XP|+|XQ|+|XR|\le.4\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17221953ec27028adc62c25d34933d2f_l3.png)

В силу симметрии достаточно рассмотреть точку
, расположенную в секторе
, где
— центр окружности. Максимальное значение сумма
принимает, когда точка
находится на дуге
. В этом случае, по теореме Птолемея для вписанного четырехугольника
имеем
, откуда
. Так как
, то
, и неравенство доказано.
Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf
1 Алексей:
Понравились 4 и 6 , что такая связь теории чисел с разными разделами математики . круто , этим и прекрасна математика . 5 задачка свободно играет с6 по математике егэ , на ларине постоянно такое
[Ответить]
15 Май 2014, 21:202 Алексей:
6 задачка похожа на финальную из олимпиады физтех ,В выпуклом 29-угольнике проводят все его диагонали. На какое наибольшее число частей
они могут его разбить?
[Ответить]
15 Май 2014, 21:27