Распечатать запись Распечатать запись

L Олимпиада по математике, Испания, продолжение

Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.

4. Пусть \{ x_n\}_{n\ge 1} — последовательность натуральных чисел, такая что x_1=2 и x_{n+1}=2x_n^3+x_n для любого n\ge 1. Найдите, на какую наибольшую степень числа 5 делится x_{2014}^2+1.

Показать решение

5. Множество M состоит из целых чисел вида a^2+13b^2, где числа a и b целые, отличные от нуля.

1) Докажите, что произведение двух произвольных чисел из множества M также принадлежит M.

2) Выясните, существует ли бесконечно много пар целых чисел (x,y) таких, что x+y не принадлежит M, а x^{13}+y^{13} принадлежит M. Ответ обоснуйте.

Показать решение

6. Даны 60 точек внутри единичного круга. Покажите, что на границе круга существует точка V такая, что сумма расстояний от точки V до всех 60 точек не превосходит 80.

Показать решение

Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf

Комментариев: 2

  1. 1 Алексей:

    Понравились 4 и 6 , что такая связь теории чисел с разными разделами математики . круто , этим и прекрасна математика . 5 задачка свободно играет с6 по математике егэ , на ларине постоянно такое

    [Ответить]

  2. 2 Алексей:

    6 задачка похожа на финальную из олимпиады физтех ,В выпуклом 29-угольнике проводят все его диагонали. На какое наибольшее число частей
    они могут его разбить?

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение