Математика, которая мне нравится

При имеем , и это число делится на , но не делится на . Для получаем и , и это число делится на , но не делится на . Предположим, что делится на , но не делится на . Докажем это по индукции. Случаи и уже рассмотрены. Предположим, что и , где Н.О.Д.. Тогда

Очевидно, что число в скобках на не делится . Тем самым делится на и не делится на . Следовательно, наибольшая степень числа , на которую делится , равна .

1) Рассмотрим два элемента множества : и . В алгебраическом тождестве Эйлера

положим , получим

2) Поскольку квадраты целых чисел сравнимы по модулю с или с , то элементы множества по модулю не сравнимы с . Чтобы сумма двух элементов не принадлежала , достаточно, чтобы . Рассмотрим две последовательности и , определенные следующим образом:

Тогда

поэтому для всех натуральных .

Теперь найдем

так как это квадрат элемента множества .

Рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность — границу данного единичного круга. Заметим, что для любой точки круга выполняется неравенство

Складывая соответствующие неравенства для всех точек , получим

Следовательно, по крайней мере одна сумма в левой части неравенства не превосходит , и какая-то точка или удовлетворяет условию. Осталось только доказать неравенство

В силу симметрии достаточно рассмотреть точку , расположенную в секторе , где — центр окружности. Максимальное значение сумма принимает, когда точка находится на дуге . В этом случае, по теореме Птолемея для вписанного четырехугольника имеем , откуда . Так как , то , и неравенство доказано.