L Олимпиада по математике, Испания
Уважаемые посетители!
Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.
1. Возможно ли на окружности расставить числа 
так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а) 
, б) 
, в) 
?
, у нас есть 
чисел, сумма которых равна
2. Даны рациональные числа 
и 
такие, что
Докажите, что число 
рациональное.
— квадрат рационального числа. Для этого используем условие:
Следовательно, имеем
. Таким образом, 3. Пусть точки 
и 
лежат на окружности с центром 
, причем они не лежат на одном ее диаметре. Пусть 
— точка на окружности, отличная от точек и и не лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку 
. Пусть точка 
— ортоцентр треугольника 
, а точки 
и 
— середины отрезков и 
соответственно. Прямая 
пересекает окружность в еще одной точке 
, а прямые 
и 
пересекаются в точке 
. Найите геометрическое место точек , когда движется по окружности.
точку, лежащую с точкой 
и 
прямоугольные. Отрезки 
и 
параллельны, поскольку они перпендикулярны 
. Аналогично
и 
параллельны, так как они перпендикулярны 
.
параллелограмм, поэтому 
. Треугольники 
и 
подобны, откуда
также параллелограмм.
равнобедренный, поэтому 
. Так как 
и 
параллельны, то они перпендикулярны стороне 
— также параллелограмм. Отсюда следует, что 
. Так что получаем 
и треугольник 
равнобедренный, и 
.
.
и 
. Так как 
, то 
. Предположим, что 
и проходящий через середину отрезка 
. Следовательно, 
невырожденный. Все остальные точки эллипса получаются, если 
Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf
1 Алексей:
Мне понравились задачки , а так вроде даже легкие (кроме последней).
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 16:42
Да, мне кажется, наши олимпиады сложнее.
[Ответить]
2 Михаил:
Первая чем-то на наше ЕГЭ С6 похожа.
В третьей нужно не отрезки NM и OD, а прямые NM и OD.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 16:42
Спасибо, исправила. Наверное, первая задача по уровню тянет на С6 ЕГЭ
[Ответить]