Математика, которая мне нравится

Не считая числа

, у нас есть

чисел, сумма которых равна

Поэтому невозможно разбить эти

чисел на три тройки так, чтобы сумма чисел в каждой тройке была меньше

. Следовательно, ответ на вопросы а) и б) НЕТ, а вот на вопрос в) ответ ДА. Например, можно расположить числа в следующем порядке:

Имеем

Таким образом, нужно доказать, что число

— квадрат рационального числа. Для этого используем условие:

откуда получаем

Следовательно, имеем

(в последнем равенстве мы воспользовались тем, что

. Таким образом,

является квадратом рационального числа.

Сначала рассмотрим случай, когда треугольник

остроугольный. Обозначим через

точку, лежащую с точкой

на одном диаметре, так что треугольники

и

прямоугольные. Отрезки

и

параллельны, поскольку они перпендикулярны

. Аналогично

и

параллельны, так как они перпендикулярны

.

(рисунок кликабелен)

Тогда

параллелограмм, поэтому

— середина отрезка

. Треугольники

и

подобны, откуда

Тогда

также параллелограмм.

Пусть

— точка пересечения

и окружности, пусть

— точка пересечения

и

. Треугольник

равнобедренный, поэтому

. Так как

и

параллельны, то они перпендикулярны стороне

и кроме того, равны, следовательно,

— также параллелограмм. Отсюда следует, что

. Так что получаем

и треугольник

равнобедренный, и

.

Имеем

.

Таким образом, при движении

по окружности точка

движется по дуге эллипса с фокусами

и

и большой осью, равной радиусу окружности. В этом эллипсе удалены четыре точки пересечения с осями. В самом деле, если

находилась бы на большой оси эллипса, там же была бы и точка

, а также и точка

, что невозможно, так как в этом случае

и

совпали бы. Если бы точка

попала бы в одну из точек на малой оси эллипса, то выполнялось бы равенство

. Так как

, то

. Предположим, что

находится ближе к точке

. Тогда малой осью эллипса является отрезок, параллельный

и проходящий через середину отрезка

. Следовательно,

является серединой отразка

, и

совпадает с

, из чего следует совпадение точек

и

, что невозможно, так как

невырожденный. Все остальные точки эллипса получаются, если

отлична от

и

и не лежит на серединном перпендикуляре к

.

Рисунок в случае тупоугольного треугольника

имеет вид:

(рисунок кликабелен)