Распечатать запись Распечатать запись

L Олимпиада по математике, Испания

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.

1. Возможно ли на окружности расставить числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а) 13, б) 14, в) 15?

Показать решение

2. Даны рациональные числа r,q и n такие, что

\displaystyle \frac{1}{r+qn}+\frac{1}{q+rn}=\frac{1}{r+q}.

Докажите, что число \displaystyle\sqrt{\frac{n-3}{n+1}} рациональное.

Показать решение

3. Пусть точки B и C лежат на окружности с центром O, причем они не лежат на одном ее диаметре. Пусть A — точка на окружности, отличная от точек B и C и не лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Пусть точка H — ортоцентр треугольника ABC, а точки M и N — середины отрезков BC и AH соответственно. Прямая AM пересекает окружность в еще одной точке D, а прямые NM и OD пересекаются в точке P. Найите геометрическое место точек P, когда A движется по окружности.

Показать решение

Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf

Комментариев: 4

  1. 1 Алексей:

    Мне понравились задачки , а так вроде даже легкие (кроме последней).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, мне кажется, наши олимпиады сложнее.

    [Ответить]

  2. 2 Михаил:

    Первая чем-то на наше ЕГЭ С6 похожа.
    В третьей нужно не отрезки NM и OD, а прямые NM и OD.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила. Наверное, первая задача по уровню тянет на С6 ЕГЭ :)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение