L Олимпиада по математике, Испания

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.

1. Возможно ли на окружности расставить числа

    \[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\]

так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а)

    \[13\]

, б)

    \[14\]

, в)

    \[15\]

?

Показать решение

2. Даны рациональные числа

    \[r,q\]

и

    \[n\]

такие, что

    \[\displaystyle \frac{1}{r+qn}+\frac{1}{q+rn}=\frac{1}{r+q}.\]

Докажите, что число

    \[\displaystyle\sqrt{\frac{n-3}{n+1}}\]

рациональное.

Показать решение

3. Пусть точки

    \[B\]

и

    \[C\]

лежат на окружности с центром

    \[O\]

, причем они не лежат на одном ее диаметре. Пусть

    \[A\]

— точка на окружности, отличная от точек

    \[B\]

и

    \[C\]

и не лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку

    \[BC\]

. Пусть точка

    \[H\]

— ортоцентр треугольника

    \[ABC\]

, а точки

    \[M\]

и

    \[N\]

— середины отрезков

    \[BC\]

и

    \[AH\]

соответственно. Прямая

    \[AM\]

пересекает окружность в еще одной точке

    \[D\]

, а прямые

    \[NM\]

и

    \[OD\]

пересекаются в точке

    \[P\]

. Найите геометрическое место точек

    \[P\]

, когда

    \[A\]

движется по окружности.

Показать решение

Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf

Комментариев: 4

  1. 1 Алексей:

    Мне понравились задачки , а так вроде даже легкие (кроме последней).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, мне кажется, наши олимпиады сложнее.

    [Ответить]

  2. 2 Михаил:

    Первая чем-то на наше ЕГЭ С6 похожа.
    В третьей нужно не отрезки NM и OD, а прямые NM и OD.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила. Наверное, первая задача по уровню тянет на С6 ЕГЭ :)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение