
Уважаемые посетители!
Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.
1. Возможно ли на окружности расставить числа
так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а)
, б)
, в)
?
Показать решение
Не считая числа
, у нас есть
чисел, сумма которых равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[1+2+3+\ldots+9=45.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b24a431ba49b3d25eb2a918184c8eca2_l3.png)
Поэтому невозможно разбить эти
чисел на три тройки так, чтобы сумма чисел в каждой тройке была меньше
. Следовательно, ответ на вопросы а) и б) НЕТ, а вот на вопрос в) ответ ДА. Например, можно расположить числа в следующем порядке:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[0,\underbrace{9,5,1},\underbrace{8,4,3},\underbrace{2,7,6}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d258b692add0f2b516f1503763f9f624_l3.png)
2. Даны рациональные числа
и
такие, что
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1}{r+qn}+\frac{1}{q+rn}=\frac{1}{r+q}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-302fd81a4a4bc5bd1d8f2a40741b40b6_l3.png)
Докажите, что число
рациональное.
Показать решение
Имеем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\sqrt{\frac{n-3}{n+1}}=\sqrt{\frac{(n-3)(n+1)}{(n+1)^2}}=\frac{\sqrt{(n-1)^2-4}}{n+1}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2097c0a8aee7dce5fd89f91d51c7a78_l3.png)
Таким образом, нужно доказать, что число
— квадрат рационального числа. Для этого используем условие:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[(r+qn)(r+q)+(q+rn)(r+q)=(r+qn)(q+rn)\Leftrightarrow (r+q)^2=rq(n-1)^2,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa397d2b7e55d7782a4b34174f717445_l3.png)
откуда получаем
Следовательно, имеем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[(n-1)^2-4=\frac{(r+q)^2}{rq}-4=\frac{(r-q)^2}{rq}=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-858bcbff93911168dd32563ca660a02a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[=\frac{(r-q)^2(n-1)^2}{(r+q)^2}=\left(\frac{(r-q)(n-1)}{r+q}\right)^2\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb047e4528d26183014373b234cc4bf0_l3.png)
(в последнем равенстве мы воспользовались тем, что
. Таким образом,
является квадратом рационального числа.
3. Пусть точки
и
лежат на окружности с центром
, причем они не лежат на одном ее диаметре. Пусть
— точка на окружности, отличная от точек
и
и не лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку
. Пусть точка
— ортоцентр треугольника
, а точки
и
— середины отрезков
и
соответственно. Прямая
пересекает окружность в еще одной точке
, а прямые
и
пересекаются в точке
. Найдите геометрическое место точек
, когда
движется по окружности.
Показать решение
Сначала рассмотрим случай, когда треугольник
остроугольный. Обозначим через
точку, лежащую с точкой
на одном диаметре, так что треугольники
и
прямоугольные. Отрезки
и
параллельны, поскольку они перпендикулярны
. Аналогично
и
параллельны, так как они перпендикулярны
.

(рисунок кликабелен)
Тогда
параллелограмм, поэтому
— середина отрезка
. Треугольники
и
подобны, откуда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{OM}{AH}=\frac{MA^{\prime}}{HA^{\prime}}=\frac{1}{2}\Rightarrow OM=\frac{AH}{2}=AN=NH.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-520ca83ef893ace29dec6fda2033c313_l3.png)
Тогда
также параллелограмм.
Пусть
— точка пересечения
и окружности, пусть
— точка пересечения
и
. Треугольник
равнобедренный, поэтому
. Так как
и
параллельны, то они перпендикулярны стороне
и кроме того, равны, следовательно,
— также параллелограмм. Отсюда следует, что
. Так что получаем
и треугольник
равнобедренный, и
.
Имеем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[OP+PM=OP+PD=OD=r=const.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b4d0adfb679a41675e94640fada5eb1_l3.png)
Таким образом, при движении
по окружности точка
движется по дуге эллипса с фокусами
и
и большой осью, равной радиусу окружности. В этом эллипсе удалены четыре точки пересечения с осями. В самом деле, если
находилась бы на большой оси эллипса, там же была бы и точка
, а также и точка
, что невозможно, так как в этом случае
и
совпали бы. Если бы точка
попала бы в одну из точек на малой оси эллипса, то выполнялось бы равенство
. Так как
, то
. Предположим, что
находится ближе к точке
. Тогда малой осью эллипса является отрезок, параллельный
и проходящий через середину отрезка
. Следовательно,
является серединой отрезка
, и
совпадает с
, из чего следует совпадение точек
и
, что невозможно, так как
невырожденный. Все остальные точки эллипса получаются, если
отлична от
и
и не лежит на серединном перпендикуляре к
.
Рисунок в случае тупоугольного треугольника
имеет вид:

(рисунок кликабелен)
Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf
1 Алексей:
Мне понравились задачки , а так вроде даже легкие (кроме последней).
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 16:42
Да, мне кажется, наши олимпиады сложнее.
[Ответить]
2 Михаил:
Первая чем-то на наше ЕГЭ С6 похожа.
В третьей нужно не отрезки NM и OD, а прямые NM и OD.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 16:42
Спасибо, исправила. Наверное, первая задача по уровню тянет на С6 ЕГЭ
[Ответить]