L Олимпиада по математике, Испания

9 Май 2014, 12:24

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.

1. Возможно ли на окружности расставить числа $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а) $13$ , б) $14$ , в) $15$ ?

Показать решение

2. Даны рациональные числа $r,q$ и $n$ такие, что

$\frac{1}{r+qn}+\frac{1}{q+rn}=\frac{1}{r+q}.$

Докажите, что число $\displaystyle\sqrt{\frac{n-3}{n+1}}$ рациональное.

Показать решение

3. Пусть точки $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$ , причем они не лежат на одном ее диаметре. Пусть $A$ — точка на окружности, отличная от точек $B$ и $C$ и не лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$ . Пусть точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$ , а точки $M$ и $N$ — середины отрезков $BC$ и $AH$ соответственно. Прямая $AM$ пересекает окружность в еще одной точке $D$ , а прямые $NM$ и $OD$ пересекаются в точке $P$ . Найдите геометрическое место точек $P$ , когда $A$ движется по окружности.

Показать решение

Сначала рассмотрим случай, когда треугольник $ABC$ остроугольный. Обозначим через $A^{\prime}$ точку, лежащую с точкой $A$ на одном диаметре, так что треугольники $ACA^{\prime}$ и $ABA^{\prime}$ прямоугольные. Отрезки $HB$ и $CA^{\prime}$ параллельны, поскольку они перпендикулярны $AC$ . Аналогично $HC$ и $BA^{\prime}$ параллельны, так как они перпендикулярны $AB$ .

(рисунок кликабелен)

Тогда $CHBA^{\prime}$ параллелограмм, поэтому $M$ — середина отрезка $HA^{\prime}$ . Треугольники $AA^{\prime}H$ и $OA^{\prime}M$ подобны, откуда

$\frac{OM}{AH}=\frac{MA^{\prime}}{HA^{\prime}}=\frac{1}{2}\Rightarrow OM=\frac{AH}{2}=AN=NH.$

Тогда $OMHN$ также параллелограмм.

Пусть $D$ — точка пересечения $AM$ и окружности, пусть $P$ — точка пересечения $OD$ и $NM$ . Треугольник $AOD$ равнобедренный, поэтому $\angle AOD=\angle ODA$ . Так как $OM$ и $AN$ параллельны, то они перпендикулярны стороне $BC$ и кроме того, равны, следовательно, $AOMN$ — также параллелограмм. Отсюда следует, что $\angle OAM=\angle AMN=\angle PMD$ . Так что получаем $\angle PMD=\angle OAM=\angle OAD=\angle ODA=\angle PDM$ и треугольник $PDM$ равнобедренный, и $PM=PD$ .

Имеем

$OP+PM=OP+PD=OD=r=const.$

Таким образом, при движении $A$ по окружности точка $P$ движется по дуге эллипса с фокусами $O$ и $M$ и большой осью, равной радиусу окружности. В этом эллипсе удалены четыре точки пересечения с осями. В самом деле, если $P$ находилась бы на большой оси эллипса, там же была бы и точка $D$ , а также и точка $A$ , что невозможно, так как в этом случае $AD$ и $NM$ совпали бы. Если бы точка $P$ попала бы в одну из точек на малой оси эллипса, то выполнялось бы равенство $OP=PM=r/2$ . Так как $OD=r$ , то $PD=r/2$ . Предположим, что $P$ находится ближе к точке $B$ . Тогда малой осью эллипса является отрезок, параллельный $BM$ и проходящий через середину отрезка $OB$ . Следовательно, $P$ является серединой отрезка $OB$ , и $D$ совпадает с $B$ , из чего следует совпадение точек $A$ и $C$ , что невозможно, так как $\Delta ABC$ невырожденный. Все остальные точки эллипса получаются, если $A$ отлична от $B$ и $C$ и не лежит на серединном перпендикуляре к $BC$ .

Рисунок в случае тупоугольного треугольника $ABC$ имеет вид:

(рисунок кликабелен)

Источник: http://www.requena.es/es/sites/default/files/2-Soluciones%20L-OME%20Requena-2014.pdf

Теги: задача, олимпиада
Рубрика: Разные задачи | Отзывы (RSS) | Трекбек

Комментариев: 4

1 Алексей:

Мне понравились задачки , а так вроде даже легкие (кроме последней).

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 16:42
Да, мне кажется, наши олимпиады сложнее.

[Ответить]
10 Май 2014, 8:40
2 Михаил:

Первая чем-то на наше ЕГЭ С6 похожа.
В третьей нужно не отрезки NM и OD, а прямые NM и OD.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 16:42
Спасибо, исправила. Наверное, первая задача по уровню тянет на С6 ЕГЭ

[Ответить]
11 Май 2014, 23:05

Математика, которая мне нравится

L Олимпиада по математике, Испания

Комментариев: 4

1 Алексей:

2 Михаил:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Подписка на обновления сайта