«
»

Теорема Содди

2 Апрель 2014, 15:48

Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.

Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.

Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами a,b,c касаются внешним образом. Пусть r — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а R — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства

    \[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,\]

    \[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.\]

Доказательство. Пусть A,B,C — центры трех данных окружностей, и O — центр окружности, касающейся каждой из них внешним образом.

Обозначим \angle BOC=2\alpha,\angle COA=2\beta и \angle AOB=2\gamma. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, следовательно, из треугольника AOB по теореме косинусов находим

    \[(a+b)^2=(a+r)^2+(b+r)^2-2(a+r)(b+r)\cos2\gamma,\]

Откуда

    \[\cos 2\gamma=\frac{r^2+(a+b)r-ab}{(a+r)(b+r)}.\]

Далее находим

    \[\sin^2\gamma=\frac{ab}{(a+r)(b+r)},\cos^2\gamma=\frac{r(a+b+r)}{(a+r)(b+r)}.\]

Так как \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}, то имеет место тождество

    \[\sin^2\gamma=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma.\]

Подставляем сюда найденные значения тригонометрических функций, получаем:

    \[\frac{ab}{(a+r)(b+r)}=\frac{bc}{(b+r)(c+r)}+\frac{ac}{(a+r)(c+r)}-\frac{2c\sqrt{abr(a+b+r)}}{(a+r)(b+r)(c+r)},\]

или

    \[\frac{1}{c}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{r}+2\sqrt{\frac{1}{ar}+\frac{1}{br}+\frac{1}{ab}}=0,\]

откуда

    \[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2.\]

Для вычисления радиуса R большей окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внутренним образом, получим аналогичное уравнение, в котором r заменяется на -R.

Полученные равенства являются квадратными уравнениями относительно r и R. Поэтому имеем

    \[\frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}},\]

    \[-\frac{1}{R}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}}.\]

Сам Содди признавался, что ему так и не удалось понять, каким образом он получил данную красивую симметричную формулу. Смысл открытой им теоремы Содди выразил в стихах. Так возникла поэма “Точный поцелуй”:

Определим изгиб кривой
Как радиус обратный.
Он просто связан с кривизной,
И это всем понятно.

Прямая линия изгиб
Имеет нулевой,
И отрицательный изгиб —
У вогнутой кривой.

Четыре круга как-то раз
Поцеловались в поздний час.
Евклид об этом не узнал:
Он о любви не думал,
А я круги нарисовал
И формулу придумал:

Сумма квадратов всех изгибов
Равна половине квадрата их суммы.

Здесь вместо термина “кривизна” употребляется слово “изгиб”.

Источники: В.В. Прасолов “Задачи по планиметрии”, М.: Издательство МЦНМО ОАО “Московские учебники”, 2006.
М. Гарднер “Математические досуги”, М.: “Мир”, 1972.

Теги: , ,
Рубрика: Статьи по математике  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 3

  1. 1 Heart-shaped glasses:

    Оооо, совсем диковинка какая-то. Но крайне забавное и эстетически приятное тождество.

    [Ответить]

    3 Апрель 2014, 3:32

  2. 2 абвгдежзик:

    Очередная порция какой-то откровенной ерунды на этом сайте. Очевидно, что почти (???) все формулы некорректны. Автор, видимо, плохо ознакомился в школе с понятием размерности.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Апрель 3rd, 2014 at 21:32

    Огромное спасибо! Вы в очередной раз внесли свой посильный вклад в исправление опечаток. Однако я бы заметила, что по поводу “почти все” Вы сильно погорячились :)

    [Ответить]

    3 Апрель 2014, 13:30

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение