Теорема Содди
Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.
Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.
Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами касаются внешним образом. Пусть
— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а
— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства
Доказательство. Пусть — центры трех данных окружностей, и
— центр окружности, касающейся каждой из них внешним образом.
Обозначим и
. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, следовательно, из треугольника
по теореме косинусов находим
Откуда
Далее находим
Так как , то имеет место тождество
Подставляем сюда найденные значения тригонометрических функций, получаем:
или
откуда
Для вычисления радиуса большей окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внутренним образом, получим аналогичное уравнение, в котором
заменяется на
.
Полученные равенства являются квадратными уравнениями относительно и
. Поэтому имеем
Сам Содди признавался, что ему так и не удалось понять, каким образом он получил данную красивую симметричную формулу. Смысл открытой им теоремы Содди выразил в стихах. Так возникла поэма “Точный поцелуй”:
Определим изгиб кривой
Как радиус обратный.
Он просто связан с кривизной,
И это всем понятно.
Прямая линия изгиб
Имеет нулевой,
И отрицательный изгиб —
У вогнутой кривой.
Четыре круга как-то раз
Поцеловались в поздний час.
Евклид об этом не узнал:
Он о любви не думал,
А я круги нарисовал
И формулу придумал:
Сумма квадратов всех изгибов
Равна половине квадрата их суммы.
Здесь вместо термина “кривизна” употребляется слово “изгиб”.
Источники: В.В. Прасолов “Задачи по планиметрии”, М.: Издательство МЦНМО ОАО “Московские учебники”, 2006.
М. Гарднер “Математические досуги”, М.: “Мир”, 1972.
1 Heart-shaped glasses:
Оооо, совсем диковинка какая-то. Но крайне забавное и эстетически приятное тождество.
[Ответить]
3 Апрель 2014, 3:322 абвгдежзик:
Очередная порция какой-то откровенной ерунды на этом сайте. Очевидно, что почти (???) все формулы некорректны. Автор, видимо, плохо ознакомился в школе с понятием размерности.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 3rd, 2014 at 21:32
Огромное спасибо! Вы в очередной раз внесли свой посильный вклад в исправление опечаток. Однако я бы заметила, что по поводу “почти все” Вы сильно погорячились
[Ответить]