Теорема Содди
Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.
Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.
Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами 
касаются внешним образом. Пусть 
— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а 
— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства
![\[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7136dea47ea786ade932b143c162e282_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ecf499908d12403e76e85fa36f7b34b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказательство. Пусть 
— центры трех данных окружностей, и 
— центр окружности, касающейся каждой из них внешним образом.
Обозначим 
и 
. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, следовательно, из треугольника 
по теореме косинусов находим
![\[(a+b)^2=(a+r)^2+(b+r)^2-2(a+r)(b+r)\cos2\gamma,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b834045a79633d58f920dcbdeb5d1210_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Откуда
![\[\cos 2\gamma=\frac{r^2+(a+b)r-ab}{(a+r)(b+r)}.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63c0ff41cd345bb3a538c8db84930b6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Далее находим
![\[\sin^2\gamma=\frac{ab}{(a+r)(b+r)},\cos^2\gamma=\frac{r(a+b+r)}{(a+r)(b+r)}.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-52d990e0594a3bedb113891e9d67dcc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Так как 
, то имеет место тождество
![\[\sin^2\gamma=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d13c6a8125e0260fbb14233f9fb2bab_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Подставляем сюда найденные значения тригонометрических функций, получаем:
![\[\frac{ab}{(a+r)(b+r)}=\frac{bc}{(b+r)(c+r)}+\frac{ac}{(a+r)(c+r)}-\frac{2c\sqrt{abr(a+b+r)}}{(a+r)(b+r)(c+r)},\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8d626ee586d11d1c2a72ae727d203f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
или
![\[\frac{1}{c}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{r}+2\sqrt{\frac{1}{ar}+\frac{1}{br}+\frac{1}{ab}}=0,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-913a8606ed5199bd84391d6331029af2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
откуда
![\[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5c25e2564aeb818e1861635cbe5b0f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Для вычисления радиуса большей окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внутренним образом, получим аналогичное уравнение, в котором заменяется на 
.
Полученные равенства являются квадратными уравнениями относительно и . Поэтому имеем
![\[\frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}},\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-639d5af3a65a5198df26285434bb39ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[-\frac{1}{R}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}}.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84eec33c25af101a0ba1ffbe6c8c2c2f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Сам Содди признавался, что ему так и не удалось понять, каким образом он получил данную красивую симметричную формулу. Смысл открытой им теоремы Содди выразил в стихах. Так возникла поэма “Точный поцелуй”:
Определим изгиб кривой
Как радиус обратный.
Он просто связан с кривизной,
И это всем понятно.
Прямая линия изгиб
Имеет нулевой,
И отрицательный изгиб —
У вогнутой кривой.
Четыре круга как-то раз
Поцеловались в поздний час.
Евклид об этом не узнал:
Он о любви не думал,
А я круги нарисовал
И формулу придумал:
Сумма квадратов всех изгибов
Равна половине квадрата их суммы.
Здесь вместо термина “кривизна” употребляется слово “изгиб”.
Источники: В.В. Прасолов “Задачи по планиметрии”, М.: Издательство МЦНМО ОАО “Московские учебники”, 2006.
М. Гарднер “Математические досуги”, М.: “Мир”, 1972.
1 Heart-shaped glasses:
Оооо, совсем диковинка какая-то. Но крайне забавное и эстетически приятное тождество.
[Ответить]
3 Апрель 2014, 3:322 абвгдежзик:
Очередная порция какой-то откровенной ерунды на этом сайте. Очевидно, что почти (???) все формулы некорректны. Автор, видимо, плохо ознакомился в школе с понятием размерности.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 3rd, 2014 at 21:32
Огромное спасибо! Вы в очередной раз внесли свой посильный вклад в исправление опечаток. Однако я бы заметила, что по поводу “почти все” Вы сильно погорячились
[Ответить]