Теорема Содди

Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.

Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.

Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами

    \[a,b,c\]

касаются внешним образом. Пусть

    \[r\]

— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а

    \[R\]

— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства

    \[\displaystyle2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,\]

    \[\displaystyle 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.\]

Доказательство. Пусть

    \[A,B,C\]

— центры трех данных окружностей, и

    \[O\]

— центр окружности, касающейся каждой из них внешним образом.

Обозначим

    \[\angle BOC=2\alpha,\angle COA=2\beta\]

и

    \[\angle AOB=2\gamma\]

. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, следовательно, из треугольника

    \[AOB\]

по теореме косинусов находим

    \[(a+b)^2=(a+r)^2+(b+r)^2-2(a+r)(b+r)\cos2\gamma,\]

Откуда

    \[\displaystyle\cos 2\gamma=\frac{r^2+(a+b)r-ab}{(a+r)(b+r)}.\]

Далее находим

    \[\displaystyle \sin^2\gamma=\frac{ab}{(a+r)(b+r)},\cos^2\gamma=\frac{r(a+b+r)}{(a+r)(b+r)}.\]

Так как

    \[\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\]

, то имеет место тождество

    \[\sin^2\gamma=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma.\]

Подставляем сюда найденные значения тригонометрических функций, получаем:

    \[\displaystyle \frac{ab}{(a+r)(b+r)}=\frac{bc}{(b+r)(c+r)}+\frac{ac}{(a+r)(c+r)}-\frac{2c\sqrt{abr(a+b+r)}}{(a+r)(b+r)(c+r)},\]

или

    \[\displaystyle \frac{1}{c}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{r}+2\sqrt{\frac{1}{ar}+\frac{1}{br}+\frac{1}{ab}}=0,\]

откуда

    \[\displaystyle 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2.\]

Для вычисления радиуса

    \[R\]

большей окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внутренним образом, получим аналогичное уравнение, в котором

    \[r\]

заменяется на

    \[-R\]

.

Полученные равенства являются квадратными уравнениями относительно

    \[r\]

и

    \[R\]

. Поэтому имеем

    \[\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}},\]

    \[\displaystyle -\frac{1}{R}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}}.\]

Сам Содди признавался, что ему так и не удалось понять, каким образом он получил данную красивую симметричную формулу. Смысл открытой им теоремы Содди выразил в стихах. Так возникла поэма “Точный поцелуй”:

Определим изгиб кривой
Как радиус обратный.
Он просто связан с кривизной,
И это всем понятно.

Прямая линия изгиб
Имеет нулевой,
И отрицательный изгиб —
У вогнутой кривой.

Четыре круга как-то раз
Поцеловались в поздний час.
Евклид об этом не узнал:
Он о любви не думал,
А я круги нарисовал
И формулу придумал:

Сумма квадратов всех изгибов
Равна половине квадрата их суммы.

Здесь вместо термина “кривизна” употребляется слово “изгиб”.

Источники: В.В. Прасолов “Задачи по планиметрии”, М.: Издательство МЦНМО ОАО “Московские учебники”, 2006.
М. Гарднер “Математические досуги”, М.: “Мир”, 1972.

Комментариев: 3

  1. 1 Heart-shaped glasses:

    Оооо, совсем диковинка какая-то. Но крайне забавное и эстетически приятное тождество.

    [Ответить]

  2. 2 абвгдежзик:

    Очередная порция какой-то откровенной ерунды на этом сайте. Очевидно, что почти (???) все формулы некорректны. Автор, видимо, плохо ознакомился в школе с понятием размерности.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Огромное спасибо! Вы в очередной раз внесли свой посильный вклад в исправление опечаток. Однако я бы заметила, что по поводу “почти все” Вы сильно погорячились :)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение