Распечатать запись Распечатать запись

Бесконечность или -1/12?

Дэвид Берман, Марианна Фрейбергер

Недавно обсуждался очень странный результат. Утверждается, что, когда вы сложите все натуральные числа

1 +2 +3 +4 + \ldots,

то сумма будет равна -1/12. Данная идея демонстрируется в видео Numberphile, где утверждается, что результат доказан, а также рассказывается, что он повсеместно используется в физике. Данная идея так поразила людей, что она даже попала в “Нью-Йорк Таймс’’. Итак, что же все это значит?

Математика

Прежде всего, бесконечная сумма всех натуральных чисел не равна -1 / 12. Вы можете легко убедиться в этом, посчитав на калькуляторе частичные суммы

\begin{array}{l}<br />
S_1=1,\\<br />
S_2=1+2=3,\\<br />
S_3=1+2+3=6,\\<br />
S_4=1+2+3+4=10,\\<br />
\ldots,\\<br />
S_n=1+2+3+4+\ldots+n,<br />
\end{array}

и так далее. S_n становится все больше и больше с ростом n, то есть с увеличением количества складываемых натуральных чисел. На самом деле, выбрав n достаточно большим, вы можете сделать S_n столь большой, как вам хочется. Например, при n=1000 вы получите

S_n=500500,

А при n=100000 вы получите

S_n=5000050000.

Поэтому математики говорят, что данный ряд расходится. Или, выражаясь более свободно, что сумма равна бесконечности.

Сриниваса Рамануджан

Так откуда же берется -1/12? В действительности неправильный результат появился в работе знаменитого индийского математика Сринивасы Рамануджана в 1913 году. Но Рамануджан знал, что он делает, и у него была причина написать это. Он изучал так называемую дзета-функцию Эйлера. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим сначала бесконечную сумму

\displaystyle S=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots

Можно заметить, что эта сумма получается, когда вы складываете числа, обратные квадратам натуральных чисел:

\displaystyle S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots

Теперь эта сумма не расходятся. Если рассмотреть последовательность частичных сумм, как мы это делали выше,

\begin{array}{l}<br />
S_1=1,\\[2mm]<br />
\displaystyle S_2=1+\frac{1}{2^2}=\frac{5}{4}=1,25,\\[3mm]<br />
\displaystyle S_3=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{49}{36}=1,361\ldots\\[3mm]<br />
\ldots,\\[2mm]<br />
\displaystyle S_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{n^2},<br />
\end{array}

то результаты, которые получаются, будут сколь угодно близкими к числу \pi^2/6=1,644934\ldots, но никогда его не превысят. Математики говорят, что ряд сходится к \pi^2/6, или более свободно, что сумма ряда равна \pi^2/6.

Теперь посмотрим, что произойдет, если вместо того, чтобы возводить натуральные числа в знаменателе в квадрат, возвести их в какую-нибудь другую степень x? Оказывается, что соответствующая сумма

\displaystyle S(x)=1+\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}+\frac{1}{4^x}+\ldots

сходится к конечному значению, если степень x — число, большее 1. Для каждого x>1 сумма S(x) имеет определенное конечное значение. S(x) — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь выдающегося математика XVII века Леонарда Эйлера.

До сих пор все хорошо. Но что произойдет, если рассмотреть числа, меньшие 1? Например, что будет, если взять x=-1? Давайте посмотрим.

\displaystyle S(-1)=1+\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}+\frac{1}{4^{-1}}+\ldots =1+2+3+4+\ldots

Таким образом, мы получили нашу исходную сумму, которая, как мы знаем, расходится. То же самое верно для любых других значений x меньше либо равных 1: сумма расходится.

Замечание. Продоложение дзета-функции Эйлера. Рассмотренная дзета-функция Эйлера S(x) определена для вещественных чисел x, больших 1. Вещественные числа — это часть большего семейства чисел, называемых комплексными числами. И в то время как вещественные числа соответствуют всем точках числовой прямой, комплексные числа соответствуют всем точкам на плоскости, содержащей вещественную числовую прямую. Это плоскость называется комплексной плоскостью. Так же, как определяются функции, аргументами которых являются вещественные числа, можно определить функции, аргументами которых являются комплексные числа.

Одним удивительным фактом, относящимся к функциям комплексных переменных, является то, что если вы знаете значения функции на некотором множестве данных, то (с точностью до некоторых технических деталей) вы можете узнать значение функции в любой точке комплексной плоскости. Этот метод расширения области определения функции известен как аналитическое продолжение. Дзета-функция Эйлера определена для вещественных чисел, больших 1. Поскольку вещественные числа являются комплексными числами, мы можем рассматривать эту функцию как комплексную функцию, а затем использовать аналитическое продолжение для получения новой функции, определенной на всей плоскости, но согласованную с дзета-функцией Эйлера для вещественных чисел, больших 1. Это дзета-функция Римана.

Есть еще одна вещь, которую можно сделать. Используя мощную математику (комплексный анализ см. замечание), можно расширить область определения дзета-функции Эйлера так, чтобы для чисел меньше или равных 1 эта функция принимала конечные значения. Другими словами, есть способ определения новой функции, назовем ее \zeta(x), так что для x>1

\displaystyle \zeta(x)=S(x)= 1+\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}+\frac{1}{4^x}+\ldots

И для x\le1 функция \zeta(x) принимала бы определенные конечные значения. Этот метод называется аналитическим продолжением, и новая функция, которая при этом получаеся, называется дзета-функцией Римана в честь математика XVIII века Бернхарда Римана. (Создание этой новой функции, принимающей конечные значения для x\le1 состоит в вычитании из расходящегося ряда другого расходящегося ряда, так что бесконечность, получающаяся из первой расходящейся суммы минус бесконечность, которую дает вторая расходящаяся сумма, равна чему-то конечному.)

Хорошо. Теперь у нас есть функция, которая для x>1 принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера S(x). И для x\le1 дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите -1 в дзета-функцию? Вы угадали:

\zeta(-1)=-1/12.

И если вы сделаете ошибку, считая, что \zeta(x)=S(x) для x=-1, то вы получите (неправильное) равенство

S(-1)=1+2+3+4+\ldots=\zeta(-1)=-1/12.

Это объясняет, почему Рамануджан записал данное таинственное выражение.

Хитрость

Итак, как же люди в видео “доказали’’, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12? На самом деле они этого не сделали. Смотреть данное видео — это как смотреть на фокусника и пытаться определить, когда кролика опускают в шляпу. Первый шаг “доказательства’’ пытается убедить вас в довольно глупой вещи, а именно в том, что бесконечная сумма

1-1+1-1+1-\ldots

равна 1/2.

Видео долго не останавливается на этом и, кажется, подразумевает, что это очевидно. Но давайте посмотрим на это внимательнее, чтобы понять, имеет ли это смысл вообще. Пусть сумма 1-1+1-1+1-1+\ldots равна конечному числу, назовем его Z. Прибавив Z к себе, получим бесконечную сумму

Z+Z=1-1+1-1+1-\ldots+1-1+1-1+1-\ldots

Но это всего лишь исходная сумма, откуда

Z+Z=2Z=Z.

Так как Z=1/2, то 1/2=1, что неверно. Таким образом, утверждение, что бесконечную сумму 1-1+1-1+1-1+\ldots можно считать равной 1/2, не является правильным. На самом деле вы можете получить разные результаты, используя бесконечные суммы, которые расходятся. Это хитрость!

Физика

Но как этот любопытный неправильный результат попал в учебник физики, как показано в видео? Вот где все действительно становится интересным. Предположим, вы возьмете две проводящих металлических пластины и расположите их в вакууме так, чтобы они были параллельны друг другу. Согласно классической физике, не должно быть никакой силы, действующей между этими двумя пластинами.

Эффект Казимира

Но классическая физика не считается со странными эффектами, которые вы наблюдаете, когда смотрите на мир при очень малых масштабах. Чтобы их учесть, нужна квантовая физика, которая утверждает многие очень странные вещи. Одной из них является то, что вакуум не пуст, в нем кипит деятельность. Все время в нем появляются и исчезают так называемые виртуальные частицы. Эта деятельность дает так называемую нулевую энергию: наименьшая энергия, которую что-либо может иметь, никогда не равна нулю. Когда вы пытаетесь вычислить общую плотность энергии между двумя пластинами, используя математику или квантовую физику, вы получаете бесконечную сумму

1+8+27+64+\ldots

Это бесконечная сумма является также тем, что вы получите, когда подставите значение x=-3 в дзета-функцию Эйлера:

\displaystyle S(-3)= 1+\frac{1}{2^{-3}}+\frac{1}{3^{-3}}+\frac{1}{4^{-3}}+\ldots=1+8+27+64+\ldots

Это прискорбно, потому что данная сумма расходится (она делает это даже быстрее, чем S(-1)), что будет означать бесконечную плотность энергии. Это, очевидно, ерунда. Но что если вы нахально предположите, что бесконечная сумма равна дзета-функции Римана, а не дзета-функции Эйлера, при x=-3? Ну, тогда вы получите конечную плотность энергии. Это означает, что должна быть сила притяжения между металлическими пластинами, что тоже кажется смешным, так как классическая физика предполагает, что не должно быть никаких сил.

Но вот сюрприз. Когда физики поставили эксперимент, они обнаружили, что сила действительно существует, и она соответствует плотности энергии, в точности равной \zeta(-3)!

Этот удивительный физический результат известен как эффект Казимира, названный в честь голландского физика Хендрика Казимира.

Найдите минутку, чтобы оценить это. Квантовая физика говорит, что плотность энергии должна быть равна

S(-3)=1+8+27+64+\ldots

Это нонсенс, но эксперименты показывают, что если вы (ошибочно) считаете эту сумму равной значению дзета-функции \zeta(x) при x=-3, вы получите правильный ответ. Так что, похоже, природа следует идеям Рамануджана. Она продлила дзета-функцию Эйлера, чтобы включить значения x, которые меньше 1, искусно вычитая бесконечность, и так получилось конечное значение. Это замечательно!

Причина, по которой мы видим и в видео Numberphile, и в учебнике физики \zeta(-1) и S(-1), а не \zeta(-3) и S(-3) в том, что когда вы представляете себе эффект Казимира происходящим в одном измерении (вдоль линии, а не в 3D), плотность энергии, которую вы считаете, равна \zeta(-1), а не \zeta(-3).

Так почему же люди из Numberphile пропагандируют этот странный “результат’’? Они, конечно, знают об аналитическом продолжении, которое делает функцию вполне определенной, но это слишком технические вещи для их видео. Зная аналитический метод продолжения, который делает окончательный результат разумным, скрывая его в заднем кармане, они ловко пошли вперед. При этом они получили более миллиона просмотров, и мир начал говорить о дзета-функции и математике. С этим их можно поздравить. Математика дзета-функции является фантастической, и то, что мы описали здесь — только начало длинного списка удивительных математических свойств. Когда мы популяризуем математику и физику, мы всегда должны делать выбор: что мы не рассказываем, а что объясняем. Где мы проводим эту черту, остается на нашей совести.

Источник: http://plus.maths.org/content/infinity-or-just-112

Комментариев: 3

  1. 1 юра:

    Спасибо,очень интересный материал !!

    [Ответить]

  2. 2 Эмиль:

    Огромное спасибо за статью, было интересно почитать.

    [Ответить]

  3. 3 Павел:

    Спасибо что разъяснили!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение