Снова две задачи

Предлагаю вам две интересные задачи, взятые с сайта gaussianos.com.

Задача 1. Пусть

    \[ABCD\]

— параллелограмм с тупым углом при вершине

    \[A\]

. Пусть

    \[P\]

— точка на диагонали

    \[BD\]

параллелограмма, такая что окружность с центром в

    \[P\]

, проходящая через

    \[A\]

, пересекает прямую

    \[AD\]

в точках

    \[A\]

и

    \[Y\]

, а прямую

    \[AB\]

— в точках

    \[A\]

и

    \[X\]

. Прямая

    \[AP\]

пересекает прямую

    \[BC\]

в точке

    \[Q\]

, а прямую

    \[CD\]

— в точке

    \[R\]

. Докажите, что

    \[\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY.\]

Показать решение

Задача 2. Какое максимальное количество целых чисел может быть выбрано из множества

    \[\{1,2,3,\ldots,2013\}\]

так, чтобы среди них не нашлось трех различных чисел

    \[a,b,c\]

таких, чтобы

    \[a\]

было делителем

    \[b-c\]

или делилось на

    \[b-c\]

?

Показать решение

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение