Снова две задачи

14 Февраль 2014, 18:30

Предлагаю вам две интересные задачи, взятые с сайта gaussianos.com.

Задача 1. Пусть $ABCD$ — параллелограмм с тупым углом при вершине $A$ . Пусть $P$ — точка на диагонали $BD$ параллелограмма, такая что окружность с центром в $P$ , проходящая через $A$ , пересекает прямую $AD$ в точках $A$ и $Y$ , а прямую $AB$ — в точках $A$ и $X$ . Прямая $AP$ пересекает прямую $BC$ в точке $Q$ , а прямую $CD$ — в точке $R$ . Докажите, что

$\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY.$

Показать решение

Задача 2. Какое максимальное количество целых чисел может быть выбрано из множества

$\{1,2,3,\ldots,2013\}$

так, чтобы среди них не нашлось трех различных чисел $a,b,c$ таких, чтобы $a$ было делителем $b-c$ или делилось на $b-c$ ?

Показать решение

Множество нечетных чисел

$\{671,673,\ldots,2013\}$

состоящее из $672$ элементов, удовлетворяет условию задачи.

Действительно, самая большая разность между элементами данного множества равна $2013-671=1342$ , и хотя $1342/2=671$ , по условию, три числа $a,b,c$ должны быть различными. Другие разности между элементами данного множества не могут делиться на остальные элементы множества. Никакой элемент данного множества — нечетное число — также не может делиться ни на какую разность между двумя другими элементами, поскольку эта разность четна.

Остается доказать, что нельзя выбрать подмножество, состоящее из большего числа элементов, удовлетворяющее условию.

Поскольку по принципу Дирихле среди любых $n+1$ натурального числа найдется хотя бы одна пара чисел, разность которых делится на $n$ , то количество выбранных чисел не может превосходить $s+1$ , где $s$ — наименьшее выбранное число. Таким образом, если наименьшее выбранное число равно $671$ , то выбрать можно не более $672$ чисел. Если же наименьшее выбранное число меньше $671$ , то выбрать можно будет меньше чисел. Ясно, что соседние числа дают разность $1$ , и на $1$ делится любое другое число. Если же разность каких-то выбранных чисел равна $2$ , то четных чисел среди выбранных больше быть не может (при этом если есть два четных числа, то нечетные должны отстоять друг от друга на $4$ , таких чисел можно выбрать всего $504$ ). При разности $3$ и больше получим не более $2013/3=671$ числа. Следовательно, нужно выбирать подмножество, состоящее из нечетных чисел. И наименьшим элементом в нем должно быть наименьшее возможное нечетное число.