Математика, которая мне нравится

Эта теорема представляет собой одно из арифметических свойств биномиальных коэффициентов, или чисел .

Теорема (звезда Давида). Наибольший общий делитель чисел и равен наибольшему общему делителю чисел и .

Чтобы понять, почему эта теорема называется звездой Давида, посмотрите на следующий рисунок. Наибольший общий делитель чисел, стоящих в синих углах и наибольший общий делитель чисел, стоящих в фиолетовых углах, равны. Вместе эти два треугольники образуют звезду Давида.

Например, если и , теорема утверждает, что наибольший общий делитель и равен наибольшему общему делителю и . Очевидно, это не самый интересный пример, потому что при упрощении обоих НОД получаем НОД, который равен . Давайте рассмотрим другой пример.

Там, где есть биномиальные коэффициенты, бывает полезно использовать треугольник Паскаля. К сожалению, когда приведенная выше теорема изображается в треугольнике Паскаля, картинка поворачивается и вытягивается.

На рисунке верхняя звезда иллюстрирует предыдущий не очень интересный пример того, что НОД равен НОД. Однако нижняя звезда показывает, что НОД равен НОД, и это не так очевидно. Во втором случае оба наибольших общих делителя равны .

Согласно Wolfram’s Mathworld, данная теорема впервые доказан Г.В. Гулдом в 1972 году, и сразу же появилось несколько ее обобщений. Возможно, связь с треугольником Паскаля не была замечена. Однако в 2002 году на нее указал Б. Баттерворт в статье об использовании треугольника Паскаля для иллюстрации песни “Двенадцать дней Рождества” — The Twelve Days of Christmas). Доказательство данной теоремы можно найти здесь: часть 1, часть 2.

Источники: http://threesixty360.wordpress.com/2008/12/21/star-of-david-theorem/

http://www.mathteacherctk.com/blog/2011/12/star-of-david-theorems-in-pascal-triangle/