Теорема (звезда Давида)

Эта теорема представляет собой одно из арифметических свойств биномиальных коэффициентов, или чисел

    \[{\sf C}_n^k\]

.

Теорема (звезда Давида). Наибольший общий делитель чисел

    \[{\sf C}_{n-1}^k,{\sf C}_{n}^{k-1}\]

и

    \[{\sf C}_{n+1}^{k+1}\]

равен наибольшему общему делителю чисел

    \[{\sf C}_{n-1}^{k-1},{\sf C}_{n}^{k+1}\]

и

    \[{\sf C}_{n+1}^{k}\]

.

Чтобы понять, почему эта теорема называется звездой Давида, посмотрите на следующий рисунок. Наибольший общий делитель чисел, стоящих в синих углах и наибольший общий делитель чисел, стоящих в фиолетовых углах, равны. Вместе эти два треугольники образуют звезду Давида.

Например, если

    \[n=4\]

и

    \[k=2\]

, теорема утверждает, что наибольший общий делитель

    \[{\sf C}_3^2,{\sf C}_4^1\]

и

    \[{\sf C}_5^3\]

равен наибольшему общему делителю

    \[{\sf C}_3^1,{\sf C}_4^3\]

и

    \[{\sf C}_5^2\]

. Очевидно, это не самый интересный пример, потому что при упрощении обоих НОД получаем НОД

    \[(3,4,10)\]

, который равен

    \[1\]

. Давайте рассмотрим другой пример.

Там, где есть биномиальные коэффициенты, бывает полезно использовать треугольник Паскаля. К сожалению, когда приведенная выше теорема изображается в треугольнике Паскаля, картинка поворачивается и вытягивается.

На рисунке верхняя звезда иллюстрирует предыдущий не очень интересный пример того, что НОД

    \[(3,4,10)\]

равен НОД

    \[(3,4,10)\]

. Однако нижняя звезда показывает, что НОД

    \[(36,210,165)\]

равен НОД

    \[(84,45,330)\]

, и это не так очевидно. Во втором случае оба наибольших общих делителя равны

    \[3\]

.

Согласно Wolfram’s Mathworld, данная теорема впервые доказан Г.В. Гулдом в 1972 году, и сразу же появилось несколько ее обобщений. Возможно, связь с треугольником Паскаля не была замечена. Однако в 2002 году на нее указал Б. Баттерворт в статье об использовании треугольника Паскаля для иллюстрации песни “Двенадцать дней Рождества” — The Twelve Days of Christmas). Доказательство данной теоремы можно найти здесь: часть 1, часть 2.

Источники: http://threesixty360.wordpress.com/2008/12/21/star-of-david-theorem/

http://www.mathteacherctk.com/blog/2011/12/star-of-david-theorems-in-pascal-triangle/

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение