Теорема (звезда Давида)
Эта теорема представляет собой одно из арифметических свойств биномиальных коэффициентов, или чисел .
Теорема (звезда Давида). Наибольший общий делитель чисел и
равен наибольшему общему делителю чисел
и
.
Чтобы понять, почему эта теорема называется звездой Давида, посмотрите на следующий рисунок. Наибольший общий делитель чисел, стоящих в синих углах и наибольший общий делитель чисел, стоящих в фиолетовых углах, равны. Вместе эти два треугольники образуют звезду Давида.
Например, если и
, теорема утверждает, что наибольший общий делитель
и
равен наибольшему общему делителю
и
. Очевидно, это не самый интересный пример, потому что при упрощении обоих НОД получаем НОД
, который равен
. Давайте рассмотрим другой пример.
Там, где есть биномиальные коэффициенты, бывает полезно использовать треугольник Паскаля. К сожалению, когда приведенная выше теорема изображается в треугольнике Паскаля, картинка поворачивается и вытягивается.
На рисунке верхняя звезда иллюстрирует предыдущий не очень интересный пример того, что НОД(3,4,10)(3,4,10)
(36,210,165)
(84,45,330)
3$.
Согласно Wolfram’s Mathworld, данная теорема впервые доказан Г.В. Гулдом в 1972 году, и сразу же появилось несколько ее обобщений. Возможно, связь с треугольником Паскаля не была замечена. Однако в 2002 году на нее указал Б. Баттерворт в статье об использовании треугольника Паскаля для иллюстрации песни “Двенадцать дней Рождества” — The Twelve Days of Christmas). Доказательство данной теоремы можно найти здесь: часть 1, часть 2.
Источники: http://threesixty360.wordpress.com/2008/12/21/star-of-david-theorem/
http://www.mathteacherctk.com/blog/2011/12/star-of-david-theorems-in-pascal-triangle/
Оставьте свой отзыв