Распечатать запись Распечатать запись

Клотоида — кривая, отвечающая за вашу безопасность на автомобильных и железных дорогах

Первые автомобильные и железные дороги имели вид прямолинейных участков, соединенных дугами окружностей. Но когда автомобили и поезда начали двигаться на более высоких скоростях, при въезде на криволинейные участки возникал неудобный и опасный толчок. Инженеры начали искать решение проблемы и нашли его в математике и физике. Хотите простое объяснение, почему в качестве переходной кривой используется клотоида?

Представьте, что вы должны спроектировать шоссе или высокоскоростную железную дорогу. Вы, конечно, постараетесь, чтобы она была как можно более прямой, но должны будут появиться и некоторые криволинейные участки. Так как самой простой кривой из всех является окружность, то легче всего прямые участки соединить между собой дугами окружностей. Что-то вроде ленты транспортера.

Кажется, что такими были первые чертежи, и так как первые автомобили и поезда не двигались слишком быстро, все шло гладко. Но все изменилось, когда транспортные средства смогли достичь более высоких скоростей. При входе в криволинейные участки, на стыках между секциями, появился внезапный толчок. Плохо дело.

Так инженеры начали изучать, в чем дело, и как это можно исправить. Ответ прост для понимания и требует знания только двух вещей. Первая идет из геометрии — это радиус кривизны, понятие довольно интуитивное.

Для окружности радиус кривизны — просто радиус окружности. Для прямой можно считать, что это оооочень большая окружность, окружность бесконечного радиуса. Таким образом, радиус кривизны прямой будет бесконечным. Легко, не так ли?

Второе понятие физическое — это центробежная сила, которая является еще более интуитивно понятной, хотя суть этого понятия гораздо сложнее, чем кажется.

Вы, конечно же, знаете, что сила — это “масса, умноженная на ускорение’’ и, упрощая немного, центробежная сила имеет следующий вид (не пугайтесь, дальше идет формула, но она единственная, и она несложная):

\displaystyle F=m\cdot\frac{v^2}{r},

где m — масса, v — скорость и r — наш друг, радиус кривизны.

С одной стороны, у нас есть масса и скорость, которые перемножаются в данной формуле. Таким образом, чем они больше, тем больше центробежная сила. Это понятно: если вы двигаетесь быстрее, центробежная сила будет больше, также она будет больше, если ваша масса больше.

С другой стороны, у нас есть радиус кривизны, который стоит в знаменателе. Таким образом, увеличив радиус, можно уменьшить центробежную силу. Это понятно: радиус кривизны прямой бесконечен, так что (“деля на бесконечность’’) при движении по прямой центробежная сила равна нулю. Вы также знаете, что при движении с одной и той же скоростью центробежная сила меньше на более “открытой’’ кривой (с бóльшим радиусом), чем на другой “более закрытой’’ кривой (с меньшим радиусом).

Что тут можно сделать? Посмотрим на формулу \displaystyle F=m\cdot\frac{v^2}{r}. Имеем
Массу m, на которую умножаем. Для ее уменьшения нужно понизить массу автомобиля/поезда и его пассажиров… вы хорошо знаете, что это не так просто сделать.

Скорость v, на которую умножаем (и притом в квадрате). Можно ехать медленнее, но тогда это займет больше времени… и, конечно, вряд ли это кому-то понравится.

Радиус кривизны r, на который делим. Для прямой он равен бесконечности, вы не можете его изменить. Да вы могли бы увеличить радиус окружности, но тогда (как на картинке выше) отрезки прямых станут короче… и это точно никому не понравится.

Таким образом, нужно подумать о другой возможности. Можете ли вы догадаться, о какой?

Конечно, можно ввести переходную кривую между прямой и окружностью. Также было бы здорово, чтобы при этом переходе радиус кривизны r плавно уменьшался от бесконечности (или ооочень большого числа) для прямой до радиуса R окружности.

Согласно формуле, центробежная сила тогда будет изменяться плавно, а не резко.

Таким образом, вам хотелось бы, чтобы радиус кривизны r уменьшался по мере увеличения расстояния d? Минуточку. Есть две величины… хочется, чтобы одна становилась меньше в то время как другая становится больше… Это то, что в школе называют обратно пропорциональными величинами!

То есть вы хотите, чтобы радиус кривизны r и пройденный путь d были обратно пропорциональны. И
Что это значит? Ах, да, это означает, что их произведение всегда равно одному и тому же числу.

Прекрасно!

Именно это свойство определяет кривую клотоиду, известную математикам и физикам. Ее уравнение имеет вид d ⋅ г = C^2, (где C — постоянная, который взята в квадратне для облегчения ее построения).

Так что, когда вы едете по автомобильным и железным дорогам, вы двигаетесь, как правило, по прямой — клотоиде — окружности — клотоиде — прямой. Таким образом, центробежная сила изменяется постепенно, и вы можете поворачивать постепенно вместо того, чтобы делать это резко.

В следующий раз на поворотах вспоминайте, что математика и физика помогают вам ;)

Все, что сказано выше, относится также к переходу с любой кривой на другую кривую.

В дополнение к более или менее обычным железным и автомобильным дорогам, клотоида также используется на гоночных трассах и американских горках.

По-видимому, первым изучать клотоиду начал швейцарский математик Якоб Бернулли в 1694 году, в контексте задачи теории упругости. Эта задача была решена в 1744 году математиком и физиком Леонардом Эйлером, который дал характеристику кривой. Примерно в 1818 г. французский физик Огюстен Жан Френель переоткрыл клотоиду, изучая дифракцию света, и с помощью интегралов получил параметризацию этой кривой, эквивалентную параметризации Эйлера. В 1874 году французский физик Мари Альфред Корню использовал данное выражение, чтобы точно построить кривую. А позже, в 1890 году, американский инженер Артур Талбот, еще раз переоткрыл клотоиду в поисках кривой перехода для железных дорог. Если вы хотите узнать больше об истории клотоиды, вы можете прочитать статью The Euler spiral: a mathematical history, написанную Raph Levien.

Таким образом, клотоида известна также как спираль Корню или спираль Эйлера. Хотя клотоида оказалась лучшей кривой с рассмотренными свойствами, также рассматривались и другие возможные переходные кривые, такие как лемниската Бернулли и овал Кассини (см. например, здесь: Algunas notas sobre las curvas de las carreteras, 1929 г.).

Источник: http://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение