Распечатать запись Распечатать запись

Внезапный прогресс в задаче о простых числах взбудоражил математиков

Эрика Кларрич

13 мая неизвестный математик — тот, чей талант был настолько не признан, что он подрабатывал в ресторане подземки, пытаясь свести концы с концами, — привлек внимание и получил одобрение математического сообщества за продвижение в давно стоящей задаче о простых числах, т.е. числах, делящиеся только на единицу и самих себя. Йитанг Чжан, читающий лекции в университете штата Нью-Гемпшир, показал, что даже при том, что простые числа встречаются все реже при движении в положительном направлении вдоль числовой прямой, существует бесконечно большое число пар простых чисел, отстоящих друг от друга не более, чем на 70 миллионов. Он впервые сумел найти конечную границу расстояний между простыми числами, что является важным шагом в доказательстве гипотезы простых чисел-близнецов, выдвинутой уже много веков назад. Эта гипотеза утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся только на два (таких как 11 и 13).

В последующие месяцы Чжан оказался в водовороте активной деятельности и восхищения. Он рассказывал о своей работе во многих выдающихся университетах страны. Он получил предложения о работе из лучших учреждений Китая и Тайваня, о временной вакансия из Института перспективных исследований в Принстоне (штат Нью-Джерси), ему сказали, что он станет полным профессором в университете Нью-Гемпшира.

Между тем, в связи с работой Чжана появился вопрос: почему 70 миллионов? В этом числе нет ничего магического — оно служило целям Чжана и упростило его доказательство. Другие математики быстро поняли, что эту границу возможно немного уменьшить, хотя и не до двух.

К концу мая математики, используя доказательство Чжана, с помощью простых хитростей понизили оценку до 60 миллионов. Пост в блоге Скотта Моррисона из Австралийского национального университета в Канберре (примеч. оценка 59470640) вызвал вспышку активности, и математики соревновались, улучшая его оценку, устанавливая один рекорд за другим. К 4 июня Теренс Тао из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, лауреат премии Филдса, высшей награды для математиков, создал “Polymath project” — открытый проект для совместной работы в сети по улучшению оценки, привлекший десятки участников.

В течение нескольких недель проект продвигался вперед бешеными темпами. “Иногда граница уменьшалась каждые тридцать минут’’, — говорит Тао. К 27 июля команде удалось понизить верхнюю границу расстояний между простыми числами от 70 млн. до 4680.

Джеймс Мейнард

В препринте, размещенном на arXiv.org 19 ноября Джеймсом Мэйнардом, научным сотрудником университета Монреаля, граница еще уменьшена. Спустя всего лишь несколько месяцев после того как Чжан объявил свой результат, Мейнард представил свое доказательство, снижающее расстояние до 600. Планируется новый проект с целью объединить подход Мэйнарда и сотрудничество, чтобы еще понизить оценку.

“Сообщество очень взбудоражено этим новым результатом’’, — сказал Тао.

Подход Мэйнарда применим не только к парам простых чисел, но и к тройкам, четверкам и бóльшим наборам простых чисел. Мэйнард показал, что можно найти ограниченные скопления любого выбранного количества простых чисел бесконечно часто во время движения вдоль числовой прямой в положительном направлении. (Тао сказал, что он независимо получил такой же результат примерно в то же время, что и Мейнард.)

Работа Чжана и, в меньшей степени, Мейнарда соответствует архетипу математического гения-одиночки, который в течение многих лет работает на пресловутом чердаке, пока не будет готов удивить мир своим великим открытием. Нет ничего более отличного от этой работы, чем проект Polymath — быстрый и яростный, с большим количеством участников, подпитываемый мгновенным удовлетворением от установления нового мирового рекорда.

Чжану работа в одиночку почти одержимо над одной тяжелой задачей принесла огромный выигрыш. Рекомендовал бы он такой подход другим математикам? “Трудно сказать’’, — говорит он. — “Я выбираю свой путь, но это только мой путь.’’

Тао активно препятствует молодым математикам идти таким путем, который он назвал “особенно опасным профессиональным риском’’, который редко работает хорошо, за исключением сложившихся математиков с гарантированной карьерой и репутацией. Тем не менее, он сказал в интервью, что и у работы в одиночку, и у сотрудничества есть свои преимущества в математике.

“Важно иметь людей, которые готовы работать в изоляции и ломать стереотипы’’, — сказал Тао. Polymath, напротив, является “совершенно групповым мышлением’’. Не каждая математическая задача поддается такому сотрудничеству, но эта решается таким образом.

Прочесывание числовой прямой

Чжан доказал свой результат, ловя простые числа на крючок — математический инструмент, который называется набором из k чисел, который вы можете представить себе как гребень, у которого отсутствуют некоторые зубья. Если вы поместите такой гребень на числовую прямую в любое выбранное место, оставшиеся зубья будут указывать на некоторый набор чисел.

Чжан рассматривал гребни, оставшиеся зубья которых удовлетворяют свойству делимости, называемому “приемлемостью’’. Он показал, что если вы идете на ловлю простых чисел, используя любой допустимый гребень, имеющий по крайней мере 3500000 зубьев, существует бесконечно много позиций на числовой прямой, где гребень поймает по меньшей мере два простых числа. Затем он показал, как создать допустимый гребень, у которого есть по крайней мере 3500000 зубьев, начиная с гребня с 70 миллионами зубьев и отломав все зубья, кроме простых. Он пришел к выводу, что такой гребень должен ловить два простых числа снова и снова, и числа, которые он ловит, отстоят друг от друга не более, чем на 70 миллионов.

“Это фантастический прорыв’’, — сказал Эндрю Гранвиль из университета Монреаля. — “Это исторический результат.’’

Работа Чжана состоит из трех отдельных шагов, каждый из которых имеет потенциальную возможность для совершенствования его 70-миллионой границы. Во-первых, Чжан обращается к очень серьезной математике, чтобы выяснить, где скорее всего скрывается рыба — простое число. Затем он использует этот результат, чтобы выяснить, сколько зубьев его гребня потребуется, для того чтобы гарантировать, что он будет сколь угодно часто ловить по крайней мере два простых числа. Наконец, он рассчитывает, с какого гребня он должен начать, чтобы после удаления зубьев их осталось достаточное количество.

Тот факт, что эти три шага могут быть разделены, сделал улучшение оценки Чжана идеальным проектом для сотрудничества, по мнению Тао. “Его доказательство очень модульное, так что мы смогли распараллелить работу, и люди, имеющие различные навыки, делают те улучшения, какие могут.’’

Проект Polymath быстро привлек людей с нужными навыками, возможно, это было более эффективно, чем если бы проект был организован сверху вниз . “Этот проект объединяет людей, которые не думали собираются вместе’’, — сказал Тао .

Основы ловли простых чисел

Из трех шагов метода Чжана первым улучшен был последний, в котором он нашел допустимый гребень с по крайней мере 3500000 зубьями. Чжан показал, что гребень с 70 миллионами зубьев подойдет, но он особенно не пытался сделать гребень как можно меньше. Было много возможностей для совершенствования, и исследователи, сильные в вычислительной математике, вскоре начали дружественную гонку, чтобы найти маленькие допустимые гребни с заданным числом зубьев.

Эндрю Сазерленд из Массачусетского технологического института быстро стал своего рода де-факто допустимо-гребенчатым царем. Сазерленд, специалист по вычислительной теории чисел, путешествовал во время объявления результата Чжана и не уделил ему особого внимания. Но когда он зарегистрировался в отеле в Чикаго и сказал администратору, что приехал на математическую конференцию, тот ответил: “Ничего себе, 70000000, да?’’

“Я был поражен , что он знает об этом’’, — сказал Сазерленд. Вскоре он обнаружил, что существует много возможностей для человека с его вычислительными навыками помочь улучшить оценку Чжана . “У меня было много планов на лето, но все они отошли на второй план’’.

Для математиков, работающих на этом этапе, земля качалась под ногами. Их задача менялась каждый раз, когда математики, работающие на двух других шагах, сокращали количество зубьев гребня. “Правила игры менялись каждый день’’, — сказал Сазерленд . “В то время как я спал, люди в Европе получали новые границы. Иногда я бежал вниз в 2 часа ночи с новой идеей.’’

Команда в конце концов придумала рекорд проекта — гребень с 632 зубьями исходной ширины 4680. Сделано это было с помощью генетического алгоритма, который связывал допустимые гребни друг с другом, чтобы создать новые, потенциально лучшие гребни.

Находка Мэйнарда — гребень со 105 зубьями шириной 600 — показывает, что эти гигантские расчеты устарели. Но усилия команды не были потрачены впустую. “Нахождение небольших допустимых гребней требуется во многих задачах теории чисел’’, — сказал Сазерленд. В частности, вычислительные средства команды скорее всего, будут полезны, когда дело дойдет до улучшения результатов Мэйнарда о тройках, четверках и бóльших наборах простых чисел, как считает Мейнард.

В Polymath исследователи второго этапа доказательства Чжана искали места расположения гребня на числовой прямой, которые имеют наибольшую вероятность поймать пары простых чисел. Делалось это, чтобы найти необходимое количество зубьев. Простые числа становятся очень редкими при движении по числовой прямой, так что если просто случайно куда-то поставить гребень, вероятно, он не поймает простого числа, не говоря уже о двух. Поиск богатейших рыбных угодий для простых чисел закончился сведением этой задачи к задаче вариационного исчисления — обобщения математического анализа.

На этом этапе, возможно, были сделаны наименее новые разработки в проекте, и те, которые были непосредственно перекрыты работой Мэйнарда. В то время, однако, прогресс на данном этапе был одним из самых плодотворных. Когда команда 5 июня заполнила этот кусок головоломки, границу понизилась с примерно 4,6 млн. до 389 922.

Исследователи, работавшие на первом этапе доказательства Чжана, занимавшиеся распределением простых чисел, делали, пожалуй, самую трудную работу. Математикам некоторые законы распределения простых чисел известны уже более века. Один из таких законов гласит, что если разделить все простые числа на три, половина из них даст остаток один, а остальные — остаток два. Этот закон дает именно то, что необходимо выяснить, даст ли допустимый гребень, скорее всего, найти пары простых чисел, или он пропустит их, так как он предполагает, что “[простые числа] рыбы не могут все спрятаться за одну и ту же скалу, но распространились повсеместно’’, — сказал Сазерленд. Но чтобы использовать такие законы распределения в доказательстве, Чжану и позже в проекте Polymath пришлось воспользоваться некоторыми из самых глубоких математических сведений: набором теорем 1970-х годов Пьера Делиня, сегодня почетного профессора Института перспективных исследований, связанных с некоторыми ошибками, компенсирущими друг друга в суммах большого числа слагаемых. Моррисон сказал о работе Делиня как о “большом и страшном куске математики 20-го века.’’
“Нам очень повезло, что некоторые из участников хорошо разбираются в сложной технике, разработанной Делинем’’, — сказал Тао. — “Я сам мало знал об этой области до проекта.’’

Теренс Тао

В ходе проекта не просто выяснили, как усовершенствовать эту часть доказательства Чжана. Был также придуман альтернативный подход, который полностью исключает применение теорем Делиня за счет некоторого увеличения границы. Без теорем Делиня лучшая граница, найденная в проекте, составляет 14950.

Это упрощение доказательства, если угодно, более важно для математиков, чем конечное число, полученное в проекте, так как математики заботятся не только о том, чтобы доказательство было правильным, но и о том, чтобы оно давало им нечто новое.

“У нас пользуются спросом идеи’’, — сказал Грэнвилл.

В работе проекта Polymath сам Чжан явно, что, возможно, и не удивительно, участия не принимал. Он не следил за проектом пристально, как он сказал. “Я не связывался с ними вообще. Я предпочитаю молчать и быть одному. Это дает мне возможность сосредоточиться’’.

Также отсутствовал, хотя это было и менее заметно, Мейнард. Когда участники Polymath лихорадочно работали, чтобы улучшить оценку расстояния между парами простых чисел, Мейнард работал сам по себе, разрабатывая другой подход — подход, основанный на забытой статье, которая была написана, а затем отвергнута, десять лет назад.

Секретное оружие

Работа Чжана была основана на статье 2005 г., известной как GPY, названной по именам ее авторов, Даниэля Голдстона из государственного университета Сан Хосе, Яноша Пинца из Математического института Альфреда Реньи в Будапеште, и Сема Йылдырыма из Босфорского университета в Стамбуле. В статье GPY разработана система оценки для измерения, насколько близко данное число к тому, чтобы быть простым. Четные числа получают очень низкий балл, нечетные числа, делящиеся на 3, лишь немного больше, и так далее. Такие формулы подсчета числа баллов, называемые сита, также могут быть использованы, чтобы оценить набор чисел как допустимый набор зубьев гребня. Они являются важнейшим инструментом выяснения, куда поместить гребень на числовой прямой, чтобы имелась хорошая вероятность поймать рыбу — простое число. Построение эффективного сита является чем-то вроде искусства. Формулы должны обеспечить хорошие оценки потенциала быть простым числом для разных чисел, но они также должны быть достаточно простыми для применения.

За два года до того как GPY была опубликована, два из ее авторов, Голдстон и Йылдырым, распространили документ, описывающий, как они утверждали, мощный метод подсчета баллов. Однако через нескольких месяцев математики обнаружили изъян в этой работе. После того как Голдстон, Йылдырым и Пинц исправили формулу для устранения этого недостатка, большинство математиков остановились на этой налаженной системе оценки, версия GPY, и не искали более эффективных способов изменить оригинальную формулу, имеющую недостатки.

“Глядя на GPY, мы думали, что основы имеются, и не возникало мысли вернуться и повторить более ранний анализ’’, — сказал Грэнвилл, руководитель Мэйнарда.

Около года назад, однако, Мейнард решил вернуться и еще раз взглянуть на более раннюю работу. Новоиспеченный доктор философии (Ph.D.), который изучал теорию просеивания, он увидел новый способ скорректировать предложенную систему оценки. В GPY для допустимого гребня перемножались все числа, на которые гребень указывал, а затем произведение оценивалось все сразу. Мейнард придумал, как оценить каждое число отдельно, и тем самым получить гораздо больше информации из системы оценки.

Метод просеивания Мэйнарда “оказался на удивление простым’’, — сказал Грэнвилл. “Это такая вещь, когда люди такие, как я, хлопают себя по лбу и говорят: “Мы могли бы сделать это семь лет назад, если бы мы не были так уверены, что мы не могли сделать это!’’’’

Йитанг Чжан

С этой улучшенной системой оценки Мейнард смог уменьшить оценку до 600, а также доказать соответствующий результат о ограниченных промежутках между крупными наборами простых чисел.

Тот факт, что Чжану и Мейнарду удалось с интервалом в нескольких месяцев доказать, что расстояния между простыми числами ограничены, является “чистой случайностью’’, — сказал Мейнард. — “Я нашел результат Чжана очень интересным, когда услышал о нем.’’

Тао был так же философски настроен относительно применения результата Мэйнарда в проекте Polymath. “Вы ожидаете, что рекорд будет побит — и это прогресс’’, — сказал он.

Вполне вероятно, считают Тао и Мейнард, что сито Мэйнарда может быть объединено с глубокой технической работой Чжана и проектом Polymath о распределении простых чисел, чтобы еще понизить границу.

Выводы проекта Polymath позже были изложены в статье, уже более чем 150-страничной, которую было предложено представить в журнала Алгебра и теории чисел (Algebra & Number Theory). Тем не менее, Тао предсказал, что участники проекта не смогут противостоять желанию сразу вцепиться зубами в новой препринт Мэйнарда. “Это как красное мясо’’, — сказал он.

На этот раз Мейнард планирует присоединиться к проекту. “Я с нетерпением жду возможности попытаться получить оценку как можно меньше’’, — сказал он.

Предстоит выяснить, сколько еще можно извлечь из методов Чжана и Мэйнарда. До работы Мэйнарда в лучшем случае казалось, что оценка расстояния между простыми числами может быть снижена до 16, теоретический предел подхода GPY. Уточнения Мэйнарда снижают этот теоретический предел до 12. Предположительно, считает Мэйнард, кто-нибудь с идеей умного сита может сделать этот предел равным 6. Но это вряд ли, по его словам, кто-то может использовать эти идеи, чтобы получить все, вплоть до расстояния 2, доказывающего гипотезу простых чисел — близнецов.

“Я чувствую, что мы все еще нуждаются в очень большом концептуальном прорыве для случая простых чисел — близнецов’’, — сказал Мейнард.

Тао, Мэйнард и участники проекта Polymath могут в конечном итоге получить приток новых идей от самого Чжана. У богатого и успешного математика заняло некоторое время, чтобы овладеть искусством думать о математике на самолетах, но теперь он начал работать над новой проблемой, о которой он отказался сказать больше, чем то, что она “важная’’. Пока он постоянно не работает над задачей о близнецах, но, по его словам, у него есть в резерве “секретное оружие’’ — техника для уменьшения границы, которую он разработал до обнародования своего результата. Он не включил эту технику в свою статью, потому что она очень техническая и трудная, сказал он, добавив, что, возможно, опубликует ее в следующем году.

“Это моя собственная оригинальная идея’’, — сказал он . — “Это должна быть полностью новая вещь.’’

Источник: http://www.wired.com/wiredscience/2013/11/prime/all/

Комментариев: 4

  1. 1 zbl:

    Видимо, одарённые одиночки пока обыгрывают профессиональные коллективы, причём, за счёт того, что подмечают оригинальные идеи, которые профессиональное сообщество проглядело.

    Но кто в таких условиях крупный математик? Это достаточно трудолюбивый человек, которому просто повезло найти идею, случайно пропущенную мимо глаз конкурентами? Великий математик — тот, которому так повезло несколько раз? Но тогда это не наука, а спортивный покер. Предлагаю выдавать перельманам золотые браслеты мировой серии.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Видимо, тут все зависит от области математики. Где-то можно доказать что-то, пользуясь компьютером, где-то – нет.
    О застое в математике говорят давно. Крупные, великие – вымирающий вид… ;)

    [Ответить]

  2. 2 Корнеев В.Ф.:

    Вы с ума сошли, принимая на веру, что “расстояния между простыми числами ограничены”. Вам неизвестна теорема о том, что существуют сколь угодно большие пробелы в простых числах?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, плохо перевела. Там дело в другом. Существует бескоречно много пар простых чисел, разделенных определенным конечным числом. Исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение