Аксиома Паша
Мориц Паш родился в 1843 году в Бреслау (Германия), ныне город Вроцлав в Польше. В 1860 году закончил гимназию в Бреслау и поступил там же в университет, где учился у Генриха Шрётера, Фердинанда Йоахимшталя и Рудольфа Липшица. В 1865 году он закончил университет, получив докторскую степень. После этого он учился в университете Берлина у Вейерштрасса и Кронекера. В 1866 году умер его отец, и Паш должен был оставить работу над диссертацией, чтобы помочь семье. Однако в 1870 году он представил свою диссертацию в университет Юстуса Либиха в Гессене. В 1873 году он стал там внештатным профессором, а через два года — профессором, после того как отверг аналогичное предложение в Бреслау. Работал Паш над основаниями геометрии. Он также принимал участие в управлении университетом. Уйдя в отставку в 1911 году, он продолжал жить в Гессене. Умер Мориц Паш в 1930 году.
А теперь сама аксиома Паша.
Если прямая пересекает одну сторону треугольника, тогда она пересекает и вторую его сторону, а также продолжение третьей стороны, если только прямая не проходит через вершину треугольника.
(В случае, если прямая параллельна стороне треугольника, то считается, что она пересекает продолжение этой стороны в бесконечности).
Паш опубликовал свою аксиому в 1882 году. Он показал, что аксиомы Евклида являются неполными. Эта аксиома была им использована при введении порядка в геометрии на плоскости.
При использовании различных наборов аксиом элементарной геометрии аксиома Паша может быть доказана как теорема. Она является следствием аксиомы о делении плоскости, если ее рассматривать как одну из аксиом.
Давид Гильберт использовал аксиому Паша в своей книге “Основания геометрии’’, в которой он привел аксиоматический базис евклидовой геометрии.
Аксиому Паша не стоит путать с теоремой Паша о порядке четырех точек на прямой. Она также отличается от аксиомы проективной геометрии Веблен-Янга, которая формулируется следующим образом:
Если прямая пересекает две стороны треугольника, то она пересекает и его третью сторону.
Здесь нет различия в пересечении сторон треугольника или продолжений его сторон, важно только пересечение прямых.
Источники: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pasch.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Pasch’s_axiom?utm_medium=referral&utm_source=t.co
1 Алексей:
“Она является следствием аксиомы о делении плоскости, если ее рассматривать как одну из аксиом.” – Бред ведь полный. Поправьте хоть, кто в силе это сделать.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 3rd, 2014 at 22:14
Ниже Вам ответили. А в отрыве от контекста и правда бред…
[Ответить]
2 Геннадий:
Попробую разжевать этот текст. Просто нечетко сформулирован абзац, но понять все же можно.
«Она является следствием аксиомы о делении плоскости, если ее рассматривать как одну из аксиом». Здесь «она» – это аксиома Паши, а «ее» – это аксиома о делении плоскости.
Итак, если аксиома о делении плоскости входит в аксиоматику (систему аксиом), то аксиома Паши теряет статус аксиомы, поскольку ее уже можно доказать.
[Ответить]
2 Июль 2014, 16:45