Математика, которая мне нравится

Мориц Паш родился в 1843 году в Бреслау (Германия), ныне город Вроцлав в Польше. В 1860 году закончил гимназию в Бреслау и поступил там же в университет, где учился у Генриха Шрётера, Фердинанда Йоахимшталя и Рудольфа Липшица. В 1865 году он закончил университет, получив докторскую степень. После этого он учился в университете Берлина у Вейерштрасса и Кронекера. В 1866 году умер его отец, и Паш должен был оставить работу над диссертацией, чтобы помочь семье. Однако в 1870 году он представил свою диссертацию в университет Юстуса Либиха в Гессене. В 1873 году он стал там внештатным профессором, а через два года — профессором, после того как отверг аналогичное предложение в Бреслау. Работал Паш над основаниями геометрии. Он также принимал участие в управлении университетом. Уйдя в отставку в 1911 году, он продолжал жить в Гессене. Умер Мориц Паш в 1930 году.

А теперь сама аксиома Паша.

Если прямая пересекает одну сторону треугольника, тогда она пересекает и вторую его сторону, а также продолжение третьей стороны, если только прямая не проходит через вершину треугольника.

(В случае, если прямая параллельна стороне треугольника, то считается, что она пересекает продолжение этой стороны в бесконечности).

Паш опубликовал свою аксиому в 1882 году. Он показал, что аксиомы Евклида являются неполными. Эта аксиома была им использована при введении порядка в геометрии на плоскости.

При использовании различных наборов аксиом элементарной геометрии аксиома Паша может быть доказана как теорема. Она является следствием аксиомы о делении плоскости, если ее рассматривать как одну из аксиом.

Давид Гильберт использовал аксиому Паша в своей книге “Основания геометрии’’, в которой он привел аксиоматический базис евклидовой геометрии.

Аксиому Паша не стоит путать с теоремой Паша о порядке четырех точек на прямой. Она также отличается от аксиомы проективной геометрии Веблен-Янга, которая формулируется следующим образом:

Если прямая пересекает две стороны треугольника, то она пересекает и его третью сторону.

Здесь нет различия в пересечении сторон треугольника или продолжений его сторон, важно только пересечение прямых.

Источники: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pasch.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Pasch’s_axiom?utm_medium=referral&utm_source=t.co