Распечатать запись Распечатать запись

Парадокс Банаха — Тарского

Знаете ли вы, что можно разрезать шар на пять частей, из которых складывают, не растягивая их, два шара того же радиуса, что и исходный?

Эта теорема известна как парадокс Банаха — Тарского.

Так почему же мы не можем сделать это в реальной жизни, скажем, с шаром из золота? Проблема в том, что сделать это можно только с материалом, который делúм до бесконечности, чего нет в действительности. Необходимые части настолько экзотические, что у них нет меры, или объема. Парадокс Банаха — Тарского говорит о том, что как бы мы ни определяли объем, всегда найдутся множества, которые не имеют объема (неизмеримые множества), или же приведенный выше пример покажет, что 2=1

Теорему Банаха — Тарского можно сформулировать иначе (сядьте, пожалуйста :) ). Возьмем шарик размером с горошину. Мы можем разрезать его на конечное число кусков так, что собрав эти куски, получим шар размером с Солнце.

Ясно, что такое трудно себе представить. В данном случае математика нам показывает, что нужно быть очень осторожными с определениями таких понятий, как объем, например, кажущихся нам интуитивно понятными.

Если мы не будем исключать растяжение, то все становится гораздо понятнее. Так, взяв интервал [0,1], мы растянем его в два раза, потом разрежем пополам и получим два интервала такой же длины, что и исходный. Если мы не будем ограничивать число кусков, на которые разрезаем шар, то все тоже выглядит гораздо понятнее, поскольку число точек в одном шаре такое же, как и количество точек в двух шарах.

Доказательство парадокса Банаха — Тарского основано на изучении действия группы преобразований на сфере, в частности, подгруппы группы вращений SO(3). Эти подгруппы (свободные подгруппы двух образующих) позволяют строить “парадоксальные’’ множества — множества, конгруэнтные двум или более копиям самих себя при групповых преобразованиях. Доказательство также опирается на аксиому выбора. Идея доказательства связана с равносоставленностью.

Источник: http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.1-3-8.shtml

Комментариев: 2

  1. 1 George:

    Вспомнилась книга “Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман”. Там, по-моему, в одной главе упоминался как раз этот парадокс, только не указывалось название.

    [Ответить]

  2. 2 zbl:

    Про отрезки тут слишком туманно сказано. Нас удивляет парадокс Банаха-Тарского, но мы, почему-то, равнодушны к такому факту: точки отрезков длины 1 и длины 2 можно попарно соединить линиями (подобно отбрасыванию тени). То есть, в отрезке большей длины столько же точек, сколько их в меньшем. Фокус основан лишь на том, что точек бесконечно много, а два раза по бесконечно много будет столько же — бесконечно много.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение