Распечатать запись Распечатать запись

10 секретных тригонометрических функций, о которых вам никогда не рассказывали

Существует 10 секретных тригонометрических функций, о которых вы никогда не слышали, и у них восхитительные названия, такие как гаверсинус и эксеканс.

Рис. 1. Здесь изображена единичная окружность и более чем изобилие тригонометрических функций. (Известны максимум 8 тригонометрических функций). Знакомые синус, косинус и тангенс отмечены синим, красным, и желтовато-коричневым, соответственно. Версинус отмечен зеленым рядом с косинусом и розовым эксекансом справа от версинуса. Экскосеканс и синус-коверсус также имеются на рисунке. Не обозначены веркосинус, косинус-коверсус и все, что с гавер.

Если вы хотите помучить студентов этим и ввернуть интересные слова в разговор, чтобы показаться эрудированным и/или невыносимым, вот определения всех “забытых тригонометрических функций’’:

версинус: {\rm versin}\, \theta = 1 -\cos\theta,
веркосинус: {\rm vercosin}\, \theta = 1 + \cos\theta,
синус-коверсус: {\rm coversin}\,\theta = 1 – \sin\theta,
косинус-коверсус: {\rm covercosine}\, \theta= 1 + \sin\theta,
гаверсинус: \displaystyle{\rm haversin}\, \theta = \frac{{\rm versin}\, \theta}{2},
гаверкосинус: \displaystyle {\rm havercosin}\, \theta = \frac{{\rm vercosin}\, \theta}{2} ;
когаверсинус: \displaystyle {\rm hacoversin}\,\theta = \frac{{\rm coversin}\, \theta}{2},
когаверкосинус: \displaystyle {\rm hacovercosin}\, \theta = \frac{{\rm covercosin}\, \theta}{2},
эксеканс: {\rm exsec} \theta = {\rm sec}\,\theta -1,
экскосеканс: {\rm excsc}\,\theta = {\rm csc}\,\theta-1.

Нужно признаться, что испытываешь некоторое разочарование, когда видишь это. Эти функции — простые комбинации добрых старых синуса и косинуса. Почему же они получили собственные названия?! Для того времени и места, где я могу сидя на диване найти синус любого угла с точностью до 100 десятичных знаков почти мгновенно с помощью онлайн калькулятора, версинус не нужен. Но эти кажущиеся избыточными функции были необходимы в докалькуляторном мире.

В темные докалькуляторные дни люди использовали логарифмы для умножения больших чисел. Сначала давайте вспомним, что такое логарифмы. Равенство \log_bx=y означает, что b^y=x. Например, 10^2 = 100, так что \lg100 = 2. Применение логарифмов удобно, поскольку \log_b c\times d = \log_bc+\log_bd. Другими словами, логарифмы переводят умножение в сложение. Если вы хотите перемножить два числа с помощью таблицы логарифмов, вы найдете в ней логарифмы обоих чисел и затем их сложите. Тогда по таблице логарифмов вы найдете число, которое имеет полученный логарифм, и это будет ответ. Это сейчас кажется громоздким, но умножение вручную требует гораздо больше операций. Когда каждая операция занимает некоторое количество времени (и дает некоторую ошибку), процедура, которая конвертирует умножение в сложение, экономит время и может помочь увеличить точность вычислений.

Секретные тригонометрические функции, подобно логарифмам, упрощали расчеты. Версинус и гаверсинус использовались чаще всего. Если угол \theta близок к нулю, его косинус очень близок к 1. Если в вычислениях имеется 1-\cos\theta, то ответ может быть неправильным, если в вашей таблице косинусов не хватает значащих цифр. Для примера, косинус 5^{\circ} равен 0,996194698, а \cos 1^{\circ}= 0,999847695. Разность \cos1^{\circ}-\cos5^{\circ}=0,003652997. Если у вас в таблице косинусов три значащих цифры, вы получите только одну значащую цифру в вашем результате, из-за нулей в разности. И таблица только с тремя значащими цифрами не покажет различия между углами 0^{\circ} и 1^{\circ}. Во многих случаях это не имеет значения, но это может быть проблемой, если ошибка появляется в процессе вычислений.

Дополнительные тригонометрических функции также имеют то преимущество, что они всегда неотрицательны. Версинус принимает значения от 0 до 2, так что если вы используете для умножения таблицы логарифмов с версинусом, вам не придется беспокоиться о том, что для отрицательных чисел логарифм не определен. (Он не определена и для 0, но с этим случаем легко справиться). Еще одно преимущество версинуса и гаверсинуса состоит в том, что они могут избавить от необходимости возводить в квадрат. Немного тригонометрической мудрости (типа запоминания одной тригонометрической формулы из их бесконечного списка, который вы изучали в школе) показывает, что \displaystyle 1-\cos\theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2}. Таким образом, гаверсинус — это всего лишь \displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2}. Аналогично, гаверкосинус — это \displaystyle \cos^2\frac{\theta}{2}. Если в ваших вычислениях есть квадраты синуса или косинуса, вы можете использовать таблицы гаверсинуса или гаверкосинуса, и вам не придется возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.

Рис. 2. На рисунке показаны синус, косинус и версинус угла.

Версинус определяется довольно очевидным образом и, кажется, использовался еще в 400 г. н.э. в Индии. Но гаверсинус, возможно, играл более важную роль в новейшей истории, когда его применяли в навигации. Формула гаверсинуса дает очень точный способ вычисления расстояния между двумя точками на поверхности сферы, у которых известны широта и долгота. Формула гаверсинуса является переформулировкой сферической теоремы косинусов, но именно эта формулировка более полезна для малых углов и расстояний. (С другой стороны, формула гаверсинуса дает плохой результат для углов, близких к 90^{\circ}, для которых хорошо работает сферическая теорема косинусов). Формула гаверсинуса может дать точные результаты, не требуя больших вычислительных затрат на операции возведения в квадрат и извлечения квадратных корней. Совсем недавно, в 1984 году, любительский астрономический журнал Sky & Telescope пел хвалу формуле гаверсинуса, которая полезна не только для наземной навигации, но и для астрономических расчетов. Более подробно об этой формуле и вычислении расстояний на сфере читайте здесь.

Об истории других тригонометрических функций из приведенного списка информации меньше. Они помогали делать более точными расчеты вблизи определенных углов, но некоторые из них широко использовались, а другие были названы по аналогии с ними, но применялись редко. Может быть, кто-то из вас знает об этом больше. Пишите.

В таблице секретных тригонометрических функций , “ha’’, очевидно, означает половину (от английского слова half), например, гаверсинус составляет половину версинуса. “Co’’ означает те же функции, но от дополнительного угла. (Дополнительный угол — это угол, в сумме с данным дающий 90^{\circ}. В прямоугольном треугольнике два острых угла являются дополнительными друг для друга). Например, косинус угла является синусом дополнительного угла. Аналогично синус-коверсус является версинусом дополнительного угла. Он обозначен светло-голубым над одним из красных синусов на рис. 1.

Вот только немного смущает веркосинус. Если “co’’ означает дополнительный угол, то веркосинус будет таким же, как коверсинус, а это не так. Вместо этого веркосинус является версинусом смежного угла (сумма смежных углов равна 180^{\circ}), а не дополнительного. В дополнение к определениям через 1-\cos\theta и 1+\cos\theta версинус и веркосинус могут быть определены как \displaystyle {\rm versin}\,\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2} и \displaystyle {\rm vercos}\,\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}. В случае версинуса, возможно, определение с участием \cos\theta старше, чем определение с участием квадрата синуса. Возможно, кто-то из вас знает об этом больше.

В любом случае, таблица сверхсекретных дополнительных тригонометрических функций является веселым упражнением для выяснения, что значат префиксы.

Источник: http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/09/12/10-trig-functions-youve-never-heard-of/

Комментариев: 5

  1. 1 Владимир:

    Огромное спасибо, когда-то в 70-х слышал краем уха о версинусе, и только! Очень интересно! От души благодарен!!! Успеха!

    [Ответить]

  2. 2 светлана:

    Несколько раз читала название ГАВЕРСИНУС в приключенческих романах о путешествиях, но думала, что это специальный морской термин. И вот , пожалуйста….Обычная тригонометрия!! Благодарю за НАУКУ!!! :) ))))))))

    [Ответить]

  3. 3 123:

    Рекомендую автору ознакомиться с значением слова “секретный”.

    [Ответить]

  4. 4 Вячеслав:

    Все эти “секретные” тригонометрические функции есть следствия обычных тригонометрических функций и ничего секретного в них нет, и как следует из этой статьи некоторые из них использовались ещё до н. э. Тем не менее статья очень интересная, и большое спасибо автору!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение