Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса

2 Октябрь 2013, 21:36

Вячеслав Ларионов

E-mail: larionov.1939@mail.ru

Начнем с приближенного построения правильного 17-угольника, показанного ниже на рисунке (далее в тексте не будем повторять слово правильный, когда будет говориться о 17-угольнике). Центральный угол 17-угольника равен 1/17 части полного круга или $360^{\circ}/17\approx 21,176^{\circ}$ . В дальнейшем будем обозначать полный круг через (1)Ø, тогда центральный угол 17-угольника точно равен (1/17)Ø. Как видим, центральный угол 17-угольника отличается от угла $21^{\circ}$ менее чем на $0,18^{\circ}$ .

Реальные геометрические построения в принципе не могут быть абсолютно точными, и вполне достаточно, в качестве иллюстрации, построить угол $21^{\circ}$ . Этот угол можно построить с помощью транспортира или, пользуясь арифметикой углов в окружности, с помощью циркуля и линейки, имея в виду, что $21 = 12 + 9$ . Угол $12^{\circ} = (1/30)$ Ø равен разности $(1/5)$ Ø $-(1/6)$ Ø $= 72^{\circ}-60^{\circ}$ , а угол $9^{\circ}=72^{\circ}/8$ .

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке $O$ . Через точку $O$ проведем вертикальную диаметральную прямую, которая пересечет окружность в точках $P_1$ и $V$ . Точку $P_1$ примем за одну из вершин 17-ти угольника. По методу Евклида построим $\angle P_1OE = 72^{\circ}$ . От точки $E$ сделаем на окружности засечку радиусом 1 в сторону к точке $P_1$ и получим точку $F$ , $\angle EOF = 60^{\circ}$ , $\angle FOP_1 = 12^{\circ}$ . Для построения угла $9^{\circ} = 72^{\circ}/8$ отложим от точки $F$ $\angle FOE_1 = 72^{\circ}$ и, разделив его пополам, получим $\angle FOE_2 = 36^{\circ}$ . Разделив $\angle FOE_2$ пополам, получим $\angle FOE_3 = 18^{\circ}$ и, разделив $\angle FOE_3$ пополам, получим искомые $\angle FOE_4 = 9^{\circ}$ и $\angle P_1OE_4 = 21^{\circ}$ . Отложив по окружности от точки $P_1$ (на рисунке против часовой стрелки) отрезки, равные $P_1E_4$ , построим приближенно правильный 17-ти угольник.

На рисунке, чтобы излишне не загромождать его, изображены только вершины $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_9, P_{10}$ и $P_{17}$ , совпадающая с точкой $E_4$ . Изложенное приближенное построение более простое, понятное и, возможно, не менее точное по сравнению с построением, опубликованным в 1825 году Йоханнесом Эрхингером (см. Википедию).

Стороны правильного 17-ти угольника, являющиеся хордами его центральных углов, будем обозначать $X_{17}$ (так, $P_1P_2 = X_{17}$ ), диагонали, соединяющие вершины через одну — $d_{17}$ (так, $P_2E_4= d_{17}$ ), а самые большие диагонали — $D_{17}$ (так, $P_1P_9 = D_{17}$ ). Диаметр $P_1V$ делит круг и 17-ти угольник на две равные части, следовательно, $\angle P_9OV = (1/34)$ Ø, отрезок $P_9M = X_{17}/2 = \sin(1/34)$ Ø. Отрезок $OM$ , являющийся апофемой 17-ти угольника, обозначим через $a_{17}$ .

Угол $P_1P_2E_4$ как вписанный, опирающийся на дугу $(1/17)$ Ø , равен половине этой дуги и равен $\angle P_9OV$ , поэтому прямоугольные треугольники $P_1P_2Z$ и $P_9OM$ подобны, тогда $P_1P_2/P_2Z = OP_9/OM$ , или $X_{17}/(d_{17}/2) = 1/a_{17}$ , или $d_{17} = 2a_{17}X_{17}$ , а $d_{17}^2 = 4a_{17}^2X_{17}^2$ . Из прямоугольного треугольника $P_1MP_9$ по теореме Пифагора находим

$D_{17}^2 = X_{17}^2/4 + (1+ a_{17})^2,$

а из прямоугольного треугольника $P_9MO$ :

$P_9M^2 = P_9O^2-MO^2$ , или $X_{17}^2/4=1-a_{17}^2,$

тогда

$D_{17}^2 = 1-a_{17}^2 + 1 +2a_{17}+a_{17}^2 = 2(1 + a_{17}), X_{17}^2=4(1-a_{17}^2),$

$X_{17}= 2\sqrt{1-a_{17}^2} , d_{17} = 4a_{17}\sqrt{1-a_{17}^2}.$

$\angle P_1OP_5 = \angle P_5OP_9 = (4/17)$ Ø, поэтому радиус $P_5O$ перпендикулярен диагонали $P_1P_9=D_{17}$ , и поэтому треугольники $P_1SP_5$ и $OSP_1$ прямоугольные, тогда из прямоугольного треугольника $OSP_1$ получаем:

$OS^2=1-D_{17}^2/4,$

$OS=\sqrt{1-\frac{D_{17}^2}{4}}=\sqrt{1-\frac{2(1+a_{17}}{4}}=\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},$

$P_5S=1-OS=1-\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},$

$P_5S^2=1-2\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}}+\frac{1-a_{17}}{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2},$

$P_1P_5^2=P_5S^2+P_1S^2=P_5S^2+\frac{D_{17}^2}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2}+\frac{2(1+a_{17})}{4}=$

$=2-\sqrt{2(1-a_{17})},$

$P_1P_5=\sqrt{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}.$

Центральные углы $P_1OP_3$ и $P_3OP_5$ равны по построению и поэтому точка $Y$ делит хорду $P_1P_5$ пополам, тогда

$P_1Y=P_1P_5/2,$

$P_1Y^2=\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},$

$OY^2=1-P_1Y^2=\frac{1}{2}+\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},$

$OY=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{2},$

$P_3Y=P_3O-OY=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17}}}}{2},$

$P_3Y^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+$

$+\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}.$

Из прямоугольного треугольника $P_1P_3Y$ имеем

$P_1P_3^2=P_3Y^2+P_1Y^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}+$

$+\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}},$

$P_1P_3=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.$

Пусть точка $K$ делит хорду $P_1P_3$ пополам, тогда

$P_1K=P_1P_3/2, P_1K^2=\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},$

$OK^2=1-PK^2=\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},$

$OK=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},$

$P_2K=1-OK=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},$

тогда

$P_2K^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=$

$=\frac{3}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},$

$P_1P_2^2=P_2K^2+P_1K^2,$

или

$X_{17}^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}+$

$+\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.$

Окончательно получаем уравнение

$2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}-4(1-a_{17}^2)=0.$

Решая полученное уравнение методом последовательных приближений (методом итераций), можно вычислить апофему правильного 17-ти угольника с любой требуемой точностью. Это доказательство формулы апофемы, способ приближенного построения правильного 17-ти угольника и полученное уравнение понятно любому выпускнику средней школы и гораздо проще уравнения, полученного К.Ф. Гауссом для косинуса центрального угла:

$\cos\frac{360^{\circ}}{17}=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}-2\sqrt{2\left(17+\sqrt{17}\right)}}\right).$

Теги: геометрия, математика, планиметрия
Рубрика: Разные задачи | Отзывы (RSS) | Трекбек

Комментариев: 3

1 юра:

Спасибо большое !Формулы своей красотой просто завораживают !
Молодец Вячеслав !!!

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 3rd, 2013 at 21:22
Да, красиво. А еще мне почему-то кажется, что можно обобщить формулы на случай $2^n+1$ -угольника.

[Ответить]
3 Октябрь 2013, 20:44
2 Вячеслав:

В дополнение к этой формуле предлагаю формулу для стороны правильного 7-ми угольника: 2+√(2-√(4-х^2))=4*x^2-x^4. Прошу проверить это равенство. Если оно заинтересует Вас, то я опубликую вывод этого равенства на основе графического построения 7-ми угольника с использованием невсиса.

[Ответить]
12 Март 2016, 20:03

Математика, которая мне нравится

Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса

Комментариев: 3

1 юра:

2 Вячеслав:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Подписка на обновления сайта