Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса

Вячеслав Ларионов

E-mail: larionov.1939@mail.ru

Начнем с приближенного построения правильного 17-угольника, показанного ниже на рисунке (далее в тексте не будем повторять слово правильный, когда будет говориться о 17-угольнике). Центральный угол 17-угольника равен 1/17 части полного круга или

    \[360^{\circ}/17\approx 21,176^{\circ}\]

. В дальнейшем будем обозначать полный круг через (1)Ø, тогда центральный угол 17-угольника точно равен (1/17)Ø. Как видим, центральный угол 17-угольника отличается от угла

    \[21^{\circ}\]

менее чем на

    \[0,18^{\circ}\]

.

Реальные геометрические построения в принципе не могут быть абсолютно точными, и вполне достаточно, в качестве иллюстрации, построить угол

    \[21^{\circ}\]

. Этот угол можно построить с помощью транспортира или, пользуясь арифметикой углов в окружности, с помощью циркуля и линейки, имея в виду, что

    \[21 = 12 + 9\]

. Угол

    \[12^{\circ} = (1/30)\]

Ø равен разности

    \[(1/5)\]

Ø

    \[-(1/6)\]

Ø

    \[= 72^{\circ}-60^{\circ}\]

, а угол

    \[9^{\circ}=72^{\circ}/8\]

.


Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке

    \[O\]

. Через точку

    \[O\]

проведем вертикальную диаметральную прямую, которая пересечет окружность в точках

    \[P_1\]

и

    \[V\]

. Точку

    \[P_1\]

примем за одну из вершин 17-ти угольника. По методу Евклида построим

    \[\angle P_1OE = 72^{\circ}\]

. От точки

    \[E\]

сделаем на окружности засечку радиусом 1 в сторону к точке

    \[P_1\]

и получим точку

    \[F\]

,

    \[\angle EOF = 60^{\circ}\]

,

    \[\angle FOP_1  = 12^{\circ}\]

. Для построения угла

    \[9^{\circ} = 72^{\circ}/8\]

отложим от точки

    \[F\]

    \[\angle FOE_1  = 72^{\circ}\]

и, разделив его пополам, получим

    \[\angle FOE_2 = 36^{\circ}\]

. Разделив

    \[\angle FOE_2\]

пополам, получим

    \[\angle FOE_3 = 18^{\circ}\]

и, разделив

    \[\angle FOE_3\]

пополам, получим искомые

    \[\angle FOE_4 = 9^{\circ}\]

и

    \[\angle P_1OE_4 = 21^{\circ}\]

. Отложив по окружности от точки

    \[P_1\]

(на рисунке против часовой стрелки) отрезки, равные

    \[P_1E_4\]

, построим приближенно правильный 17-ти угольник.

На рисунке, чтобы излишне не загромождать его, изображены только вершины

    \[P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_9, P_{10}\]

и

    \[P_{17}\]

, совпадающая с точкой

    \[E_4\]

. Изложенное приближенное построение более простое, понятное и, возможно, не менее точное по сравнению с построением, опубликованным в 1825 году Йоханнесом Эрхингером (см. Википедию).

Стороны правильного 17-ти угольника, являющиеся хордами его центральных углов, будем обозначать

    \[X_{17}\]

(так,

    \[P_1P_2 = X_{17}\]

), диагонали, соединяющие вершины через одну —

    \[d_{17}\]

(так,

    \[P_2E_4= d_{17}\]

), а самые большие диагонали —

    \[D_{17}\]

(так,

    \[P_1P_9 = D_{17}\]

). Диаметр

    \[P_1V\]

делит круг и 17-ти угольник на две равные части, следовательно,

    \[\angle P_9OV = (1/34)\]

Ø, отрезок

    \[P_9M = X_{17}/2 = \sin(1/34)\]

Ø. Отрезок

    \[OM\]

, являющийся апофемой 17-ти угольника, обозначим через

    \[a_{17}\]

.

Угол

    \[P_1P_2E_4\]

как вписанный, опирающийся на дугу

    \[(1/17)\]

Ø , равен половине этой дуги и равен

    \[\angle P_9OV\]

, поэтому прямоугольные треугольники

    \[P_1P_2Z\]

и

    \[P_9OM\]

подобны, тогда

    \[P_1P_2/P_2Z = OP_9/OM\]

, или

    \[X_{17}/(d_{17}/2) = 1/a_{17}\]

, или

    \[d_{17} = 2a_{17}X_{17}\]

, а

    \[d_{17}^2 = 4a_{17}^2X_{17}^2\]

. Из прямоугольного треугольника

    \[P_1MP_9\]

по теореме Пифагора находим

    \[D_{17}^2 = X_{17}^2/4 + (1+ a_{17})^2,\]

а из прямоугольного треугольника

    \[P_9MO\]

:

    \[P_9M^2 =  P_9O^2-MO^2\]

, или

    \[X_{17}^2/4=1-a_{17}^2,\]

тогда

    \[D_{17}^2 = 1-a_{17}^2 + 1 +2a_{17}+a_{17}^2 = 2(1 + a_{17}),  X_{17}^2=4(1-a_{17}^2),\]

    \[X_{17}= 2\sqrt{1-a_{17}^2} , d_{17} = 4a_{17}\sqrt{1-a_{17}^2}.\]

    \[\angle P_1OP_5 = \angle P_5OP_9 = (4/17)\]

Ø, поэтому радиус

    \[P_5O\]

перпендикулярен диагонали

    \[P_1P_9=D_{17}\]

, и поэтому треугольники

    \[P_1SP_5\]

и

    \[OSP_1\]

прямоугольные, тогда из прямоугольного треугольника

    \[OSP_1\]

получаем:

    \[OS^2=1-D_{17}^2/4,\]

    \[\displaystyle OS=\sqrt{1-\frac{D_{17}^2}{4}}=\sqrt{1-\frac{2(1+a_{17}}{4}}=\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},\]

    \[\displaystyle P_5S=1-OS=1-\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},\]

    \[\displaystyle P_5S^2=1-2\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}}+\frac{1-a_{17}}{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2},\]

    \[\displaystyle P_1P_5^2=P_5S^2+P_1S^2=P_5S^2+\frac{D_{17}^2}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2}+\frac{2(1+a_{17})}{4}=\]

    \[=2-\sqrt{2(1-a_{17})},\]

а

    \[P_1P_5=\sqrt{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}.\]

Центральные углы

    \[P_1OP_3\]

и

    \[P_3OP_5\]

равны по построению и поэтому точка

    \[Y\]

делит хорду

    \[P_1P_5\]

пополам, тогда

    \[P_1Y=P_1P_5/2,\]

    \[\displaystyle P_1Y^2=\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},\]

    \[\displaystyle OY^2=1-P_1Y^2=\frac{1}{2}+\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},\]

    \[\displaystyle OY=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{2},\]

    \[\displaystyle P_3Y=P_3O-OY=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17}}}}{2},\]

    \[\displaystyle P_3Y^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\]

    \[\displaystyle +\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}.\]

Из прямоугольного треугольника

    \[P_1P_3Y\]

имеем

    \[\displaystyle P_1P_3^2=P_3Y^2+P_1Y^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}+\]

    \[\displaystyle +\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}},\]

    \[\displaystyle P_1P_3=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.\]

Пусть точка

    \[K\]

делит хорду

    \[P_1P_3\]

пополам, тогда

    \[\displaystyle P_1K=P_1P_3/2, P_1K^2=\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},\]

    \[\displaystyle OK^2=1-PK^2=\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},\]

    \[\displaystyle OK=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},\]

    \[\displaystyle P_2K=1-OK=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},\]

тогда

    \[\displaystyle P_2K^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=\]

    \[\displaystyle =\frac{3}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},\]

    \[\displaystyle P_1P_2^2=P_2K^2+P_1K^2,\]

или

    \[\displaystyle X_{17}^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}+\]

    \[\displaystyle +\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.\]

Окончательно получаем уравнение

    \[2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}-4(1-a_{17}^2)=0.\]

Решая полученное уравнение методом последовательных приближений (методом итераций), можно вычислить апофему правильного 17-ти угольника с любой требуемой точностью. Это доказательство формулы апофемы, способ приближенного построения правильного 17-ти угольника и полученное уравнение понятно любому выпускнику средней школы и гораздо проще уравнения, полученного К.Ф. Гауссом для косинуса центрального угла:

    \[\displaystyle \cos\frac{360^{\circ}}{17}=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}-2\sqrt{2\left(17+\sqrt{17}\right)}}\right).\]

Комментариев: 3

  1. 1 юра:

    Спасибо большое !Формулы своей красотой просто завораживают !
    Молодец Вячеслав !!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, красиво. А еще мне почему-то кажется, что можно обобщить формулы на случай

        \[2^n+1\]

    -угольника.

    [Ответить]

  2. 2 Вячеслав:

    В дополнение к этой формуле предлагаю формулу для стороны правильного 7-ми угольника: 2+√(2-√(4-х^2))=4*x^2-x^4. Прошу проверить это равенство. Если оно заинтересует Вас, то я опубликую вывод этого равенства на основе графического построения 7-ми угольника с использованием невсиса.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение