Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса
Вячеслав Ларионов
E-mail: larionov.1939@mail.ru
Начнем с приближенного построения правильного 17-угольника, показанного ниже на рисунке (далее в тексте не будем повторять слово правильный, когда будет говориться о 17-угольнике). Центральный угол 17-угольника равен 1/17 части полного круга или . В дальнейшем будем обозначать полный круг через (1)Ø, тогда центральный угол 17-угольника точно равен (1/17)Ø. Как видим, центральный угол 17-угольника отличается от угла
менее чем на
.
Реальные геометрические построения в принципе не могут быть абсолютно точными, и вполне достаточно, в качестве иллюстрации, построить угол . Этот угол можно построить с помощью транспортира или, пользуясь арифметикой углов в окружности, с помощью циркуля и линейки, имея в виду, что
. Угол
Ø равен разности
Ø
Ø
, а угол
.
Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке . Через точку
проведем вертикальную диаметральную прямую, которая пересечет окружность в точках
и
. Точку
примем за одну из вершин 17-ти угольника. По методу Евклида построим
. От точки
сделаем на окружности засечку радиусом 1 в сторону к точке
и получим точку
,
,
. Для построения угла
отложим от точки
и, разделив его пополам, получим
. Разделив
пополам, получим
и, разделив
пополам, получим искомые
и
. Отложив по окружности от точки
(на рисунке против часовой стрелки) отрезки, равные
, построим приближенно правильный 17-ти угольник.
На рисунке, чтобы излишне не загромождать его, изображены только вершины и
, совпадающая с точкой
. Изложенное приближенное построение более простое, понятное и, возможно, не менее точное по сравнению с построением, опубликованным в 1825 году Йоханнесом Эрхингером (см. Википедию).
Стороны правильного 17-ти угольника, являющиеся хордами его центральных углов, будем обозначать (так,
), диагонали, соединяющие вершины через одну —
(так,
), а самые большие диагонали —
(так,
). Диаметр
делит круг и 17-ти угольник на две равные части, следовательно,
Ø, отрезок
Ø. Отрезок
, являющийся апофемой 17-ти угольника, обозначим через
.
Угол как вписанный, опирающийся на дугу
Ø , равен половине этой дуги и равен
, поэтому прямоугольные треугольники
и
подобны, тогда
, или
, или
, а
. Из прямоугольного треугольника
по теореме Пифагора находим
а из прямоугольного треугольника :
, или
тогда
Ø, поэтому радиус
перпендикулярен диагонали
, и поэтому треугольники
и
прямоугольные, тогда из прямоугольного треугольника
получаем:
а
Центральные углы и
равны по построению и поэтому точка
делит хорду
пополам, тогда
Из прямоугольного треугольника имеем
Пусть точка делит хорду
пополам, тогда
тогда
или
Окончательно получаем уравнение
Решая полученное уравнение методом последовательных приближений (методом итераций), можно вычислить апофему правильного 17-ти угольника с любой требуемой точностью. Это доказательство формулы апофемы, способ приближенного построения правильного 17-ти угольника и полученное уравнение понятно любому выпускнику средней школы и гораздо проще уравнения, полученного К.Ф. Гауссом для косинуса центрального угла:
1 юра:
Спасибо большое !Формулы своей красотой просто завораживают !
Молодец Вячеслав !!!
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 3rd, 2013 at 21:22
Да, красиво. А еще мне почему-то кажется, что можно обобщить формулы на случай
-угольника.
[Ответить]
2 Вячеслав:
В дополнение к этой формуле предлагаю формулу для стороны правильного 7-ми угольника: 2+√(2-√(4-х^2))=4*x^2-x^4. Прошу проверить это равенство. Если оно заинтересует Вас, то я опубликую вывод этого равенства на основе графического построения 7-ми угольника с использованием невсиса.
[Ответить]
12 Март 2016, 20:03