Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса

2 Октябрь 2013, 21:36

Вячеслав Ларионов

E-mail: larionov.1939@mail.ru

Начнем с приближенного построения правильного 17-угольника, показанного ниже на рисунке (далее в тексте не будем повторять слово правильный, когда будет говориться о 17-угольнике). Центральный угол 17-угольника равен 1/17 части полного круга или

$360^{\circ}/17\approx 21,176^{\circ}$

. В дальнейшем будем обозначать полный круг через (1)Ø, тогда центральный угол 17-угольника точно равен (1/17)Ø. Как видим, центральный угол 17-угольника отличается от угла

$21^{\circ}$

менее чем на

$0,18^{\circ}$

Реальные геометрические построения в принципе не могут быть абсолютно точными, и вполне достаточно, в качестве иллюстрации, построить угол

$21^{\circ}$

. Этот угол можно построить с помощью транспортира или, пользуясь арифметикой углов в окружности, с помощью циркуля и линейки, имея в виду, что

$21 = 12 + 9$

. Угол

$12^{\circ} = (1/30)$

Ø равен разности

$(1/5)$

$-(1/6)$

$= 72^{\circ}-60^{\circ}$

, а угол

$9^{\circ}=72^{\circ}/8$

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке

$O$

. Через точку

$O$

проведем вертикальную диаметральную прямую, которая пересечет окружность в точках

$P_1$

$V$

. Точку

$P_1$

примем за одну из вершин 17-ти угольника. По методу Евклида построим

$\angle P_1OE = 72^{\circ}$

. От точки

$E$

сделаем на окружности засечку радиусом 1 в сторону к точке

$P_1$

и получим точку

$F$

$\angle EOF = 60^{\circ}$

$\angle FOP_1 = 12^{\circ}$

. Для построения угла

$9^{\circ} = 72^{\circ}/8$

отложим от точки

$F$

$\angle FOE_1 = 72^{\circ}$

и, разделив его пополам, получим

$\angle FOE_2 = 36^{\circ}$

. Разделив

$\angle FOE_2$

пополам, получим

$\angle FOE_3 = 18^{\circ}$

и, разделив

$\angle FOE_3$

пополам, получим искомые

$\angle FOE_4 = 9^{\circ}$

$\angle P_1OE_4 = 21^{\circ}$

. Отложив по окружности от точки

$P_1$

(на рисунке против часовой стрелки) отрезки, равные

$P_1E_4$

, построим приближенно правильный 17-ти угольник.

На рисунке, чтобы излишне не загромождать его, изображены только вершины

$P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_9, P_{10}$

$P_{17}$

, совпадающая с точкой

$E_4$

. Изложенное приближенное построение более простое, понятное и, возможно, не менее точное по сравнению с построением, опубликованным в 1825 году Йоханнесом Эрхингером (см. Википедию).

Стороны правильного 17-ти угольника, являющиеся хордами его центральных углов, будем обозначать

$X_{17}$

(так,

$P_1P_2 = X_{17}$

), диагонали, соединяющие вершины через одну —

$d_{17}$

(так,

$P_2E_4= d_{17}$

), а самые большие диагонали —

$D_{17}$

(так,

$P_1P_9 = D_{17}$

). Диаметр

$P_1V$

делит круг и 17-ти угольник на две равные части, следовательно,

$\angle P_9OV = (1/34)$

Ø, отрезок

$P_9M = X_{17}/2 = \sin(1/34)$

Ø. Отрезок

$OM$

, являющийся апофемой 17-ти угольника, обозначим через

$a_{17}$

Угол

$P_1P_2E_4$

как вписанный, опирающийся на дугу

$(1/17)$

Ø , равен половине этой дуги и равен

$\angle P_9OV$

, поэтому прямоугольные треугольники

$P_1P_2Z$

$P_9OM$

подобны, тогда

$P_1P_2/P_2Z = OP_9/OM$

, или

$X_{17}/(d_{17}/2) = 1/a_{17}$

, или

$d_{17} = 2a_{17}X_{17}$

, а

$d_{17}^2 = 4a_{17}^2X_{17}^2$

. Из прямоугольного треугольника

$P_1MP_9$

по теореме Пифагора находим

$D_{17}^2 = X_{17}^2/4 + (1+ a_{17})^2,$

а из прямоугольного треугольника

$P_9MO$

$P_9M^2 = P_9O^2-MO^2$

, или

$X_{17}^2/4=1-a_{17}^2,$

тогда

$D_{17}^2 = 1-a_{17}^2 + 1 +2a_{17}+a_{17}^2 = 2(1 + a_{17}), X_{17}^2=4(1-a_{17}^2),$

$X_{17}= 2\sqrt{1-a_{17}^2} , d_{17} = 4a_{17}\sqrt{1-a_{17}^2}.$

$\angle P_1OP_5 = \angle P_5OP_9 = (4/17)$

Ø, поэтому радиус

$P_5O$

перпендикулярен диагонали

$P_1P_9=D_{17}$

, и поэтому треугольники

$P_1SP_5$

$OSP_1$

прямоугольные, тогда из прямоугольного треугольника

$OSP_1$

получаем:

$OS^2=1-D_{17}^2/4,$

$\displaystyle OS=\sqrt{1-\frac{D_{17}^2}{4}}=\sqrt{1-\frac{2(1+a_{17}}{4}}=\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},$

$\displaystyle P_5S=1-OS=1-\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},$

$\displaystyle P_5S^2=1-2\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}}+\frac{1-a_{17}}{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2},$

$\displaystyle P_1P_5^2=P_5S^2+P_1S^2=P_5S^2+\frac{D_{17}^2}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2}+\frac{2(1+a_{17})}{4}=$

$=2-\sqrt{2(1-a_{17})},$

$P_1P_5=\sqrt{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}.$

Центральные углы

$P_1OP_3$

$P_3OP_5$

равны по построению и поэтому точка

$Y$

делит хорду

$P_1P_5$

пополам, тогда

$P_1Y=P_1P_5/2,$

$\displaystyle P_1Y^2=\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},$

$\displaystyle OY^2=1-P_1Y^2=\frac{1}{2}+\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},$

$\displaystyle OY=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{2},$

$\displaystyle P_3Y=P_3O-OY=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17}}}}{2},$

$\displaystyle P_3Y^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+$

$\displaystyle +\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}.$

Из прямоугольного треугольника

$P_1P_3Y$

имеем

$\displaystyle P_1P_3^2=P_3Y^2+P_1Y^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}+$

$\displaystyle +\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}},$

$\displaystyle P_1P_3=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.$

Пусть точка

$K$

делит хорду

$P_1P_3$

пополам, тогда

$\displaystyle P_1K=P_1P_3/2, P_1K^2=\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},$

$\displaystyle OK^2=1-PK^2=\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},$

$\displaystyle OK=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},$

$\displaystyle P_2K=1-OK=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},$

тогда

$\displaystyle P_2K^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=$

$\displaystyle =\frac{3}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},$

$\displaystyle P_1P_2^2=P_2K^2+P_1K^2,$

или

$\displaystyle X_{17}^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}+$

$\displaystyle +\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.$

Окончательно получаем уравнение

$2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}-4(1-a_{17}^2)=0.$

Решая полученное уравнение методом последовательных приближений (методом итераций), можно вычислить апофему правильного 17-ти угольника с любой требуемой точностью. Это доказательство формулы апофемы, способ приближенного построения правильного 17-ти угольника и полученное уравнение понятно любому выпускнику средней школы и гораздо проще уравнения, полученного К.Ф. Гауссом для косинуса центрального угла:

$\displaystyle \cos\frac{360^{\circ}}{17}=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}-2\sqrt{2\left(17+\sqrt{17}\right)}}\right).$

Теги: геометрия, математика, планиметрия
Рубрика: Разные задачи | Отзывы (RSS) | Трекбек

Комментариев: 3

1 юра:

Спасибо большое !Формулы своей красотой просто завораживают !
Молодец Вячеслав !!!

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 3rd, 2013 at 21:22
Да, красиво. А еще мне почему-то кажется, что можно обобщить формулы на случай
$2^n+1$

-угольника.

[Ответить]
3 Октябрь 2013, 20:44
2 Вячеслав:

В дополнение к этой формуле предлагаю формулу для стороны правильного 7-ми угольника: 2+√(2-√(4-х^2))=4*x^2-x^4. Прошу проверить это равенство. Если оно заинтересует Вас, то я опубликую вывод этого равенства на основе графического построения 7-ми угольника с использованием невсиса.

[Ответить]
12 Март 2016, 20:03

Математика, которая мне нравится

Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса

Комментариев: 3

1 юра:

2 Вячеслав:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Хороший книжный магазин

Подписка на обновления сайта

Твиттер