Распечатать запись Распечатать запись
«
»

Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса

2 Октябрь 2013, 21:36

Вячеслав Ларионов

E-mail: larionov.1939@mail.ru

Начнем с приближенного построения правильного 17-угольника, показанного ниже на рисунке (далее в тексте не будем повторять слово правильный, когда будет говориться о 17-угольнике). Центральный угол 17-угольника равен 1/17 части полного круга или 360^{\circ}/17\approx 21,176^{\circ}. В дальнейшем будем обозначать полный круг через (1)Ø, тогда центральный угол 17-угольника точно равен (1/17)Ø. Как видим, центральный угол 17-угольника отличается от угла 21^{\circ} менее чем на 0,18^{\circ}.

Реальные геометрические построения в принципе не могут быть абсолютно точными, и вполне достаточно, в качестве иллюстрации, построить угол 21^{\circ}. Этот угол можно построить с помощью транспортира или, пользуясь арифметикой углов в окружности, с помощью циркуля и линейки, имея в виду, что 21 = 12 + 9. Угол 12^{\circ} = (1/30)Ø равен разности (1/5)Ø -(1/6)Ø= 72^{\circ}-60^{\circ}, а угол 9^{\circ}=72^{\circ}/8.


Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке O. Через точку O проведем вертикальную диаметральную прямую, которая пересечет окружность в точках P_1 и V. Точку P_1 примем за одну из вершин 17-ти угольника. По методу Евклида построим \angle P_1OE = 72^{\circ}. От точки E сделаем на окружности засечку радиусом 1 в сторону к точке P_1 и получим точку F, \angle EOF = 60^{\circ}, \angle FOP_1 = 12^{\circ}. Для построения угла 9^{\circ} = 72^{\circ}/8 отложим от точки F \angle FOE_1 = 72^{\circ} и, разделив его пополам, получим \angle FOE_2 = 36^{\circ}. Разделив \angle FOE_2 пополам, получим \angle FOE_3 = 18^{\circ} и, разделив \angle FOE_3 пополам, получим искомые \angle FOE_4 = 9^{\circ} и \angle P_1OE_4 = 21^{\circ}. Отложив по окружности от точки P_1 (на рисунке против часовой стрелки) отрезки, равные P_1E_4, построим приближенно правильный 17-ти угольник.

На рисунке, чтобы излишне не загромождать его, изображены только вершины P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_9, P_{10} и P_{17}, совпадающая с точкой E_4. Изложенное приближенное построение более простое, понятное и, возможно, не менее точное по сравнению с построением, опубликованным в 1825 году Йоханнесом Эрхингером (см. Википедию).

Стороны правильного 17-ти угольника, являющиеся хордами его центральных углов, будем обозначать X_{17} (так, P_1P_2 = X_{17}), диагонали, соединяющие вершины через одну — d_{17} (так, P_2E_4= d_{17}), а самые большие диагонали — D_{17} (так, P_1P_9 = D_{17}). Диаметр P_1V делит круг и 17-ти угольник на две равные части, следовательно, \angle P_9OV = (1/34)Ø, отрезок P_9M = X_{17}/2 = \sin(1/34)Ø. Отрезок OM, являющийся апофемой 17-ти угольника, обозначим через a_{17}.

Угол P_1P_2E_4 как вписанный, опирающийся на дугу (1/17)Ø , равен половине этой дуги и равен \angle P_9OV, поэтому прямоугольные треугольники P_1P_2Z и P_9OM подобны, тогда P_1P_2/P_2Z = OP_9/OM, или X_{17}/(d_{17}/2) = 1/a_{17}, или d_{17} = 2a_{17}X_{17}, а d_{17}^2 = 4a_{17}^2X_{17}^2. Из прямоугольного треугольника P_1MP_9 по теореме Пифагора находим

D_{17}^2 = X_{17}^2/4 + (1+ a_{17})^2,

а из прямоугольного треугольника P_9MO:

P_9M^2 = P_9O^2-MO^2, или X_{17}^2/4=1-a_{17}^2,

тогда

D_{17}^2 = 1-a_{17}^2 + 1 +2a_{17}+a_{17}^2 = 2(1 + a_{17}), X_{17}^2=4(1-a_{17}^2),

X_{17}= 2\sqrt{1-a_{17}^2} , d_{17} = 4a_{17}\sqrt{1-a_{17}^2}.

\angle P_1OP_5 = \angle P_5OP_9 = (4/17)Ø, поэтому радиус P_5O перпендикулярен диагонали P_1P_9=D_{17}, и поэтому треугольники P_1SP_5 и OSP_1 прямоугольные, тогда из прямоугольного треугольника OSP_1 получаем:

OS^2=1-D_{17}^2/4,

\displaystyle OS=\sqrt{1-\frac{D_{17}^2}{4}}=\sqrt{1-\frac{2(1+a_{17}}{4}}=\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},

\displaystyle P_5S=1-OS=1-\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}},

\displaystyle P_5S^2=1-2\sqrt{\frac{1-a_{17}}{2}}+\frac{1-a_{17}}{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2},

\displaystyle P_1P_5^2=P_5S^2+P_1S^2=P_5S^2+\frac{D_{17}^2}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2(1-a_{17})}-\frac{a_{17}}{2}+\frac{2(1+a_{17})}{4}=

=2-\sqrt{2(1-a_{17})},

а P_1P_5=\sqrt{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}.

Центральные углы P_1OP_3 и P_3OP_5 равны по построению и поэтому точка Y делит хорду P_1P_5 пополам, тогда

P_1Y=P_1P_5/2,

\displaystyle P_1Y^2=\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},

\displaystyle OY^2=1-P_1Y^2=\frac{1}{2}+\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17}}}{4},

\displaystyle OY=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{2},

\displaystyle P_3Y=P_3O-OY=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17}}}}{2},

\displaystyle P_3Y^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+

\displaystyle +\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}.

Из прямоугольного треугольника P_1P_3Y имеем

\displaystyle P_1P_3^2=P_3Y^2+P_1Y^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}+\frac{\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}+

\displaystyle +\frac{2-\sqrt{2(1-a_{17})}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}},

\displaystyle P_1P_3=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.

Пусть точка K делит хорду P_1P_3 пополам, тогда

\displaystyle P_1K=P_1P_3/2, P_1K^2=\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},

\displaystyle OK^2=1-PK^2=\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},

\displaystyle OK=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},

\displaystyle P_2K=1-OK=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}}{2},

тогда

\displaystyle P_2K^2=1-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=

\displaystyle =\frac{3}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4},

\displaystyle P_1P_2^2=P_2K^2+P_1K^2,

или

\displaystyle X_{17}^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}+

\displaystyle +\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}{4}=2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}.

Окончательно получаем уравнение

2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1-a_{17})}}}-4(1-a_{17}^2)=0.

Решая полученное уравнение методом последовательных приближений (методом итераций), можно вычислить апофему правильного 17-ти угольника с любой требуемой точностью. Это доказательство формулы апофемы, способ приближенного построения правильного 17-ти угольника и полученное уравнение понятно любому выпускнику средней школы и гораздо проще уравнения, полученного К.Ф. Гауссом для косинуса центрального угла:

\displaystyle \cos\frac{360^{\circ}}{17}=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}-2\sqrt{2\left(17+\sqrt{17}\right)}}\right).

Теги: , ,
Рубрика: Разные задачи  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 3

  1. 1 юра:

    Спасибо большое !Формулы своей красотой просто завораживают !
    Молодец Вячеслав !!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Октябрь 3rd, 2013 at 21:22

    Да, красиво. А еще мне почему-то кажется, что можно обобщить формулы на случай 2^n+1-угольника.

    [Ответить]

    3 Октябрь 2013, 20:44

  2. 2 Вячеслав:

    В дополнение к этой формуле предлагаю формулу для стороны правильного 7-ми угольника: 2+√(2-√(4-х^2))=4*x^2-x^4. Прошу проверить это равенство. Если оно заинтересует Вас, то я опубликую вывод этого равенства на основе графического построения 7-ми угольника с использованием невсиса.

    [Ответить]

    12 Март 2016, 20:03

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение