Египетский треугольник складыванием бумаги
Если соединить вершины квадрата с серединами сторон, не примыкающих к этим вершинам (всего восемь отрезков), то получится многоугольник в форме звезды. В этом многоугольнике можно разглядеть египетский треугольник, то есть известный прямоугольный треугольник с соотношениями сторон 3:4:5.
Из рисунка слева видно, как получить такой треугольник, складывая бумагу.
В действительности таких треугольников всего 32, по 8 каждого типа 
и 
.
Доказательство “без слов” приведено на рисунке справа. Из рисунка следует справедливость утверждения для треугольника 
. Для остальных треугольников доказательство в точности такое же.
А вот еще один способ получить египетский треугольник, складывая бумагу.
Прямоугольный лист бумаги складывают так, что один угол попадает в середину короткой стороны прямоугольника. Треугольники I и II равны. Известно, что длина короткой стороны листа равна 8. Найдите длину его большей стороны.
Это задача с Московской математической олимпиады 2011 г. (7 класс).
и 
длины отрезков, как показано на рисунке:
, так что его большая сторона равна 
.
, а сумма второго катета и гипотенузы равна 
. По теореме пифагора имеем
, и 
, получаем известный египетский треугольник со сторонами 
и 
.
, то получить такой треугольник будет очень легко. Сначала нужно сложить прямоугольник так, чтобы образовался квадрат, потом разделить сгибанием этот квадрат на 4 квадрата, так что получится прямоугольник с относительными размерами 
:
Источники: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/345Triangle.shtml
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/345Triangle2.shtml
1 Вова:
Поколениям составителей “олимпиадных задач”, составителям учебников “со строгим изложением элементарной геометрии” удалось вымарать из геометрии главное – предназначение предмета. Да так хорошо что и сами граждане составители олимпиадных задач уже и не понимают для чего же ПРЕДНАЗНАЧЕН “египетский треугольник”.
А предназначен он как не странно для построения прямого угла. Но про этот факт не возможно прочитать в учебнике геометрии! И про этот простейший способ построения прямого угла на местности ни знают ни дачники, прокладывающие межу, между участками, ни доценты с кандидатами, ни инженеры. Ну не учили их такому факту…
[Ответить]
4 Июль 2013, 21:072 Вова:
Теперь о предложенном “решении” задачи. Решение догло и заумно.
Правильное решение таково:
Так как лист бумаги предполагается квадратным то для сложения из бумаги заданного треугольника достаточно на одной стороне надо отметить 1/4 длины листа и свернуть лист от этой отметки до вершины квадрата на противоположной стороне. Треугольник, который получится, и будет искомым. Всё.
Теперь расскажу почему так. Так как стороны треугольника относятся ка 3:4:5 то косинус угла противоположный наибольшей стороне стороне равен 0, а значит треугольник – прямоугольный. Прямой угол у нас уже есть – это угол квадрата, используем его. Обозначим его через А.
Теперь строим катеты искомого треугольника. Для какого-то упрощения обозначим через L длину стороны квадрата. Самый простой способ принять что больший катет равен длине стороны квадрата т.е. L. Тогда другой катет равен 3L/4. Осталось отложить 3L/4 от угла А и задача решена.
Для откладывания сложим квадрат по стороне где мы пытаемся отложить 3L/4, один раз, а потом полученный прямоугольник сложим по короткой стороне еще раз. Развернем сложенную бумагу. У нас есть отметки от сгибов от точки А на расстоянии L/4, 2L/4, 3L/4.
Берем последнюю отметку и сгибаем листок от неё до противоположной стороны. Всё.
В модификации задачи, где “ничего сгибать нельзя”, а нужно лишь “построить с помощью циркуля и линейки искомый сабж” изменяется только алгоритм получения 3L/4.
[Ответить]
5 Июль 2013, 11:39