Олимпиада по математике (Испания)
Уважаемые посетители!
Предлагаю вам задачи отборочного тура испанской математической олимпиады, которая проходила 12 января 2013 г.
Задача 1. Для целого числа , записанного в десятичной системе счисления, образуем новое целое число
. Для этого из числа, образованного последними тремя цифрами
вычитаем число, образованное оставшимися цифрами. Докажите, что
делится на
и
тогда и только тогда, когда
делится на эти числа.
Задача 2. Докажите, что суммы первых, вторых и третьих степеней корней полинома
равны одному и тому же числу.
Задача 3. В танцевальном зале находятся 15 мальчиков и 15 девочек, расположенных в двух параллельных рядах, так что образуется 15 танцевальных пар. Получилось так, что разница между ростом мальчика и ростом девочки в каждой паре не превосходит 10 см. Докажите, что если расположить мальчиков и девочек в параллельные ряды по увеличению роста, также получится, что разница в росте у мальчика и девочки в каждой новой паре не будет превышать 10 см.
Источник: http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/loc2013.html
Оставьте свой отзыв