Олимпиада по математике (Испания)

13 Март 2013, 0:05

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи отборочного тура испанской математической олимпиады, которая проходила 12 января 2013 г.

Задача 1. Для целого числа $n$ , записанного в десятичной системе счисления, образуем новое целое число $k$ . Для этого из числа, образованного последними тремя цифрами $n$ вычитаем число, образованное оставшимися цифрами. Докажите, что $n$ делится на $7,11$ и $13$ тогда и только тогда, когда $k$ делится на эти числа.

Показать решение

Задача 2. Докажите, что суммы первых, вторых и третьих степеней корней полинома

$p(x)=x^3+2x^2+3x+4$

равны одному и тому же числу.

Показать решение

Задача 3. В танцевальном зале находятся 15 мальчиков и 15 девочек, расположенных в двух параллельных рядах, так что образуется 15 танцевальных пар. Получилось так, что разница между ростом мальчика и ростом девочки в каждой паре не превосходит 10 см. Докажите, что если расположить мальчиков и девочек в параллельные ряды по увеличению роста, также получится, что разница в росте у мальчика и девочки в каждой новой паре не будет превышать 10 см.

Показать решение