Распечатать запись Распечатать запись

Олимпиада по математике (Испания)

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи отборочного тура испанской математической олимпиады, которая проходила 12 января 2013 г.

Задача 1. Для целого числа n, записанного в десятичной системе счисления, образуем новое целое число k. Для этого из числа, образованного последними тремя цифрами n вычитаем число, образованное оставшимися цифрами. Докажите, что n делится на 7,11 и 13 тогда и только тогда, когда k делится на эти числа.

Показать решение

Задача 2. Докажите, что суммы первых, вторых и третьих степеней корней полинома

p(x)=x^3+2x^2+3x+4

равны одному и тому же числу.

Показать решение

Задача 3. В танцевальном зале находятся 15 мальчиков и 15 девочек, расположенных в двух параллельных рядах, так что образуется 15 танцевальных пар. Получилось так, что разница между ростом мальчика и ростом девочки в каждой паре не превосходит 10 см. Докажите, что если расположить мальчиков и девочек в параллельные ряды по увеличению роста, также получится, что разница в росте у мальчика и девочки в каждой новой паре не будет превышать 10 см.

Показать решение

Источник: http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/loc2013.html

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение