Олимпиада по математике (Испания)
Уважаемые посетители!
Предлагаю вам задачи отборочного тура испанской математической олимпиады, которая проходила 12 января 2013 г.
Задача 1. Для целого числа 
, записанного в десятичной системе счисления, образуем новое целое число 
. Для этого из числа, образованного последними тремя цифрами вычитаем число, образованное оставшимися цифрами. Докажите, что делится на 
и 
тогда и только тогда, когда делится на эти числа.
— число, образованное последними тремя цифрами числа 
— число, образованное оставшимися цифрами. Тогда 
и 
. Имеем
,Задача 2. Докажите, что суммы первых, вторых и третьих степеней корней полинома
равны одному и тому же числу.
и 
— корни полинома 
(вещественные или комплексные). Пусть 
— сумма их 
. По формулам Виета имеем
.
. Действительно,
.
Задача 3. В танцевальном зале находятся 15 мальчиков и 15 девочек, расположенных в двух параллельных рядах, так что образуется 15 танцевальных пар. Получилось так, что разница между ростом мальчика и ростом девочки в каждой паре не превосходит 10 см. Докажите, что если расположить мальчиков и девочек в параллельные ряды по увеличению роста, также получится, что разница в росте у мальчика и девочки в каждой новой паре не будет превышать 10 см.
— пятнадцать исходных пар. Расположим теперь мальчиков по росту:
,
.
.
и для девочек ростом 
также выполняется условие 
. Рассмотрим исходные пары, в которые попали дети ростом 
. По принципу Дирихле, двое из этих 16 детей попадут в одну пару. Тем самым хотя бы в одной из исходных пар разница между ростом мальчика и ростом девочки должна быть больше 10 см.Источник: http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/loc2013.html
Оставьте свой отзыв