Распечатать запись Распечатать запись

Краткая история числа пи

С тех пор, как у людей появилась возможность считать и они начали исследовать свойства абстрактных объектов, называемых числами, поколения пытливых умов совершали завораживающие открытия. По мере того как наши знания о числах увеличивались, некоторые из них привлекали особое внимание, а некоторым даже придавали мистические значения. Был 0, который обозначает ничего, и который при умножении на любое число дает себя. Была 1, начало всего, также обладающая редкостными свойствами, простые числа. Затем обнаружили, что существуют числа, которые не являются целыми, а иногда получаются в результате деления двух целых чисел, — числа рациональные. Иррациональные числа, которые не могут быть получены как отношение целых чисел, и т.д. Но если и есть число, которое очаровало и вызвало написание массы трудов, то это \pi (пи). Число, которое, несмотря на долгую историю, не называли так, как мы называем его сегодня, до восемнадцатого века.

Начало

Число пи получается делением длины окружности на ее диаметр. При этом размер окружности не важен. Большая или маленькая, отношение длины к диаметру одно и то же. Хотя вполне вероятно, что это свойство было известно ранее, самые первые свидетельства об этом знании — Московский математический папирус 1850 г. до н.э. и папирус Ахмеcа 1650 г. до н.э. (хотя это копия более старого документа). В нем имеется большое количество математических задач, в некоторых из которых \pi приближается как 256/81, что чуть более чем на 0,6% отличается от точного значения. Примерно в это же время вавилоняне считали \pi равным 25/8. В Ветхом Завете, написанном более десяти столетий спустя, Яхве не усложняет жизнь и божественным указом устанавливает, что \pi в точности равно 3.

Однако великими исследователями этого числа были древние греки, такие как Анаксагор, Гиппократ из Хиоса и Антифон из Афин. Ранее значение \pi определялось, почти наверняка, с помощью экспериментальных измерений. Архимед был первым, кто понял, как теоретически оценить его значение. Использование описанного и вписанного многоугольников (больший описан около окружности, в которую вписан меньший) позволило определить, что \pi больше 223/71 и меньше 22/7. С помощью метода Архимеда другие математики получили лучшие приближения, и уже в 480 г. Цзу Чунчжи определил, что значения \pi находится между 3,1415926 и 3,1415927. Тем не менее метод многоугольников требует много вычислений (напомним, что все делалось вручную и не в современной системе счисления), так что у него не было будущего.

Представления

Нужно было дождаться XVII века, когда с открытием бесконечного ряда свершилась революция в вычислении \pi, хотя первый результат не был рядом, это было произведение. Бесконечные ряды — это суммы бесконечного числа членов, образующих некоторую последовательность (например, все числа вида 1/n, где n принимает значения от 1 до бесконечности). Во многих случаях сумма конечна и может быть найдена различными методами. Оказывается, что некоторые из этих рядов сходятся к \pi или некоторой величине, имеющей отношение к \pi. Для того чтобы ряд сходился, необходимо (но не достаточно), чтобы с ростом n суммируемые величины стремились к нулю. Таким образом, чем больше чисел мы складываем, тем точнее мы получаем значение \pi. Теперь у нас есть две возможности получения более точного значения \pi. Или сложить больше чисел, или найти другой ряд, сходящийся быстрее, так чтобы складывать меньшее количество чисел.

Благодаря этому новому подходу точность вычисления \pi резко возросла, и в 1873 году Уильям Шенкс опубликовал результат многолетней работы, приведя значение \pi с 707 десятичными знаками. К счастью, он не дожил до 1945 года, когда было обнаружено, что он сделал ошибку и все цифры, начиная с 528, были неправильными. Тем не менее, его подход был наиболее точным до появления компьютеров. Это была предпоследняя революция в вычислении \pi. Математические операции, которые при выполнении их вручную занимают несколько минут, в настоящее время выполняются в доли секунды, причем ошибки практически исключены. Джону Ренчу и Л. Р. Смиту удалось вычислить 2000 цифр за 70 часов на первом электронном компьютере. Барьер в миллион цифр был достигнут в 1973 году.

Последнее (на данный момент) достижение в вычислении \pi — открытие итерационных алгоритмов, которые сходятся к \pi быстрее, чем бесконечные ряды, так что можно достичь намного более высокой точности при той же вычислительной мощности. Текущий рекорд составляет чуть более 10 триллионов верных цифр. Зачем же так точно вычислять \pi? Учитывая, что, зная 39 цифр этого числа, можно вычислить объем известной Вселенной с точностью до атома, не за чем… пока.

Некоторые интересные факты

Однако вычисление значения \pi является лишь малой частью его истории. Это число обладает свойствами, благодаря которым эта константа столь любопытна.

Возможно, самой большой проблемой, связанной с \pi, является известная задача о квадратуре круга, задача о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Квадратура круга мучила поколения математиков в течение двадцати четырех столетий, пока фон Линдеман не доказал, что \pi — трансцендентное число (оно не является решением никакого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами) и, следовательно, невозможно объять необъятное. До 1761 г. не было доказано, что число \pi иррациональное, то есть что не существует двух натуральных чисел a и b таких, что a/b=\pi. Трансцендентность \pi не была доказана до 1882 года, однако пока неизвестно, являются ли числа \pi+e,\pi/e или \ln\pi (e — это еще одно иррациональное трансцендентное число) иррациональными. Появляется много соотношений, которые не связаны с окружностями. Это часть коэффициента нормализации нормальной функции, видимо, наиболее широко используемой в статистике. Как уже упоминалось ранее, число \pi появляется как сумма многих рядов и равно бесконечным произведениям, оно важно и при изучении комплексных чисел. В физике его можно найти (в зависимости от применяемой системы единиц) в космологической постоянной (самая большая ошибка Альберта Эйнштейна) или константе постоянного магнитного поля. В системе счисления с любым основанием (в десятичной, двоичной…), цифры \pi проходят все тесты на случайность, не наблюдается никакого порядка или последовательности. Дзета-функция Римана тесно связывает число \pi с простыми числами. Это число имеет долгую историю и наверняка до сих пор хранит множество сюрпризов.

Источник: http://lacienciaysusdemonios.com/2013/02/14/breve-historia-de-pi/

Комментариев: 15

  1. 1 юра:

    Спасибо большое-очень интересная
    статья !

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юра, я рада, что Вам нравится.

    [Ответить]

  2. 2 Murrad:

    Число пи равно 3. Окружность радиусом делиться на 6, то диаметром 3.В квадрат вписывается единственный окружность. Правильный шестиугольник с диагоналями вписанный в окружность, где радиус равен стороне 6-угольника – есть проекция куба внутри шара.Если шар внутри куба, то длина диаметра шара равна дине ребра куба. Каждое число куб и одновременно рубик!

    [Ответить]

    Алексей Reply:

    А Вы, Murrad, экспериментально проверьте Ваше утверждение!

    [Ответить]

    Айдар Reply:

    Вы самый умный сферический конь в вакууме, которого я когда либо встречал.

    [Ответить]

  3. 3 Вячеслав:

    В древние времена соотношение длины окружности к диаметру определяли экспериментально с практической целью – изготовление колес для облегчения перевозки грузов. В Википедии начало использования колес относят к 5000 лет до н.э., что значительно раньше чем в Московском математическом папирусе.

    [Ответить]

  4. 4 сергей:

    исправьте пожалуйста слово чило в предпоследней строке…спасибо за сайт!!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо! Исправила.

    [Ответить]

  5. 5 Murad:

    Модель Земли считали глобусом, а это не так. Глобус находится внутри куба, и куб находит внутри глобуса. Окружность – фигура, внешне ограничивающая глобус радиусом делить на 6 частей. Если соединим точки деления и проведем диагонали, то получим правильный 6 – угольник. Это есть куб внутри глобуса, где длина ребра куба равна радиусу глобуса. Если этот глобус поместим внутри куба, то он касается в 6 точках, причем в середине основания и длина диаметра равна ребру куба. Значит внешний куб в 2 раза больше, чем внутренний. Из 8 кубов можно составить большой куб и одновременно рубик порядка 2 – четный. В алгебре система линейных уравнений начинается с 2. В рубике порядке 3 центрального куба окружают 6 кубов, то внутри выполняется 1+6n, а внешне 1 +8n. Пифагоровы числа (6n)2 + (8n)2 = (10n)2. (3n)2 + (4n)2 = (5n)2. Равенство R3=X3+Y3+Z3 есть уравнение шара, центр находится в начале координат и радиус R. Уравнение шара имеет вид (6n)3= (3n)3+ (4n)3:+ (5n)3. Если в делении окружности радиусом на 6 частей, точки деления соединим через одну, то получим пересечения 2- правильных треугольников, что изображено флаге Израиля, где каждая 3 диагональ является диаметром окружности. Тогда окружность диаметром делится на 3. Это можно представить как куб внутри глобуса. Интересно то, что уравнение (R3-X3- Y3)X3Y3 = (R3-X3-Z3)X3Z3 = (R3-Y3-Z3)Y3Z3 имеет решение R3 = X3+ Y3+Z3, тогда уравнение (R3+X3+ Y3)X3Y3 = (R3+X3+Z3)X3Z3 = (R3+Y3+Z3)Y3Z3 имеет решение R3 = – (X3+ Y3+Z3). Это равносильно тому, что уравнение (V – X – Y)XY = (V – X – Z)XZ = (V – Y – Z)YZ, а его решение V = + (X + Y + Z). Уравнение (V + X + Y)XY = (V + X + Z)XZ = (V + Y + Z)YZ, а его решение V = – (X + Y + Z). Значит, перепутали решение с уравнением, не зная само уравнение!
    Из свойства целых чисел о том, что они через 3 разряда переходят в следующую систему счисления, то основанием их является +1000 и -1000, то +Zn = +(Xn + Yn) и – Zn = -(Xn + Yn) можно записать:
    +103n = + (500 х 103(n-1) + 500 х 103(n-1)), -103n = -(500 х 103(n-1) + 500 х 103(n-1)),
    где 500 х103(n-1) нечетные и четные коды – номера – это от 3n нулей по 3n девяток.
    Число 103n = 500 х 103(n-1) + 500 х 103(n-1) можно представить в виде двудольного графа G = (X, Y, Z), где X =500 х 103(n-1) , Y= 500 х 103(n-1) , Z = X + Y, Z = XY. Количество четных X и нечетных Y целых чисел равно, поэтому X = Y. Если номера вершин X расположим в возрастающем порядке, начиная 3n нулей, а Y расположим в убывающем порядке, начиная 3n девяток, то парасочетание Z = X + Y будет 3n девяток.

    [Ответить]

  6. 6 Вячеслав:

    Согласен с первым комментарием, очень интересная история. Меня особенно заинтересовал метод вычисления числа Пи, предложенный Архимедом с использованием вписанных многоугольников. Я опубликовал здесь найденный мной до прочтения этой статьи алгоритм вычисления Пи с использованием последовательностей алгебраических выражений для длин сторон правильных многоугольников вписанных в единичную окружность с числом сторон кратных только 2. В той моей публикации я привел результаты вычисления Пи с точностью по 4-й знак после запятой. Позднее я за 10 минут вычислил длину многоугольника с числом сторон 2^32=4294967296 равную 0,000000001462918…476 и умножив её на 2^31 = 2147483648 получил значение Пи = 3,14159265358979323815… с точностью по 18-й знак после запятой. Прошу читателей высказать мнение о найденном мной алгоритме, является ли он новым, ранее неизвестным?

    [Ответить]

  7. 7 Шипилова.П.С:

    Прикольно, спасибо)

    [Ответить]

  8. 8 Шипилова.Reply:

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Почему-то не видна картинка (

    [Ответить]

  9. 9 Васильев Юрий=75 лет:

    Здравствуйте, фанаты, любители и поклонники числа Пи, если Вам интересно узнать, как заставить бесконечное Число Пи = 3,14159… построиться в обыкновенный Отрезок длиной этого же Числа Пи, получить новейшую точную Формулу Числа Пи и посчитать по ней, но уже по новому, значение бесконечного Числа Пи, всё это с положительными заключениями Рецензента. А также Решения некоторых Античных задач, которые находятся на рассмотрении у Рецензента. Напишите мне Ваше мнение на адрес Vasipapa@yandex.ru будет интересно, автор. Васильев Юрий Павлович, пенсионер = 75 лет. Город Тольятти.

    [Ответить]

  10. 10 Вячеслав:

    В комментарии 6 я спрашивал, является ли новым найденный мной алгоритм вычисления Пи с помощью последовательности периметров правильных многоугольников с числом сторон кратных только 2. Позднее мне подсказали, что такой алгоритм был известен индийскому астроному и математику Ариабхата, жившему в 5-ом веке. О нём и об алгоритме написал в новой книге А.В Жуков “Вездесущее число Пи”.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение