Полином

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам следующую задачу, которая показалась мне интересной.

Задача. Пусть даны целые неотрицательные числа

    \[n\]

и

    \[r\]

. Докажите, что рациональная функция

    \[\displaystyle P_{n,r}=\frac{(1-x^{n+1})(1-x^{n+2})\ldots(1-x^{n+r})}{(1-x)(1-x^2)\ldots(1-x^r)}\]

после сокращения всех общих множителей числителя и знаменателя будет полиномом от

    \[x\]

степени

    \[nr\]

.

Показать решение

Задача найдена здесь: http://gaussianos.com/fraccion-polinomica/

Комментариев: 2

  1. 1 Лейб:

    К сожалению, не могу полностью согласиться, что данная функция является ПОЛИНОМОМ, так как при

        \[x=1\]

    и при

        \[x=-1\]

    она не определена (если рассматривается функция от комплексной переменной, то таких особых точек, конечно, еще больше).
    Ведь полином должен быть НЕПРЕРЫВЕН В КАЖДОЙ ТОЧКЕ.
    .
    Но данную функцию можно так ДООПРЕДЕЛИТЬ, что она станет полиномом.
    Например, функция
    .

        \[f(x)=\frac{1-x^2}{1-x}\]

    .
    полиномом не является – так как она разрывна в точке

        \[x=1\]

    .
    А вот следующая функция – уже полином.
    .

        \[f(x)=\begin{cases}  \frac{1-x^2}{1-x}, & \text{ if } x\neq 1  \\   \, \, 2, & \text{ if } x= 1  \end{cases}\]

    .

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лецб Александрович, спасибо! Условие, конечно же, не совсем корректно. Исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение