Распечатать запись Распечатать запись

Математика и природа связаны таинственным образом

В Куэрнаваке (Мексика) ``шпионская'' сеть делает децентрализованную систему автобусов более эффективной. Как следствие, времена отправления автобусов демонстрируют вездесущую картину, известную как ``универсальность''.

В 1999 году, сидя на автобусной остановке в Куэрнаваке (Мексика), чешский физик Петр Шеба заметил молодых людей, которые передавали листки бумаги водителям автобусов в обмен на наличные деньги. Он узнал, что это была не организованная преступность, а теневая торговля: каждый водитель платил “шпиону’’ за запись времени, когда автобус, идущий впереди, покинул остановку. Если автобус уехал только что, водитель замедлял движение, позволяя пассажирам накапливаться на следующей остановке. Если же предыдущий автобус ушел давно, водитель спешил, чтобы не позволить другим автобусам обогнать его. Эта система приносила максимальную прибыль для водителей. И это дало Шеба идею.

“Мы чувствовали, что здесь какое-то сходство с квантовыми хаотическими системами’’, — пояснил соавтор Шеба, Милан Крбалек.

После нескольких неудачных попыток самому поговорить со шпионами, Шеба попросил своих студентов объяснить им, что он не сборщик налогов и не преступник, что он просто “сумасшедший’’ ученый, готовый расплачиваться текилой за их данные. Ему отдали использованные листки. Когда исследователи ввели тысячи моментов отправления автобусов в компьютер, их подозрения подтвердились. Взаимодействие между водителями дало интервал между отправлениями автобусов, характерный для картины, которая наблюдалась ранее в квантовых экспериментах по физике.

“Я думал, что нечто подобное могло получиться, но я был очень удивлен, что получилось точное совпадение’’, — сказал Шеба.

Субатомные частицы имеют мало общего с децентрализованными системами автобусов. Но в годы, следующие за тем, как непонятная связь была обнаружена, ту же картину получили и в других ситуациях, не имеющих отношения к данным. Теперь ученые полагают, что это широко распространенное явление, известное как “универсальность’’, происходит из-за стоящей за всем этим математикой, и это помогает им моделировать сложные системы, начиная от Интернета и заканчивая климатом Земли.

Красный узор демонстрирует точный баланс случайности и закономерности, известный как ``универсальность’’, который наблюдается в спектрах многих сложных взаимосвязанных систем. В этом спектре математическая величина, которая называется ``корреляционная функция’’, дает точную вероятность нахождения двух линий расположенных на заданном расстоянии друг от друга.

Данная закономерность впервые была обнаружена в природе в 1950-х годах при изучении энергетического спектра ядра урана, монстру с сотнями движущихся частиц, которые вибрируют и растягиваются бесконечно многими способами, создавая бесконечную последовательность энергетических уровней. В 1972 году специалист по теории чисел Хью Монтгомери обнаружил ее для нулей дзета-функции Римана, математического объекта, тесно связанного с распределением простых чисел. В 2000 году Крбалек и Шеба обнаружили ее в движении автобусов в Куэрнаваке. А в последние годы она выявилась в спектральных измерениях композитных материалов, таких как морской лед и человеческие кости, и в динамике сигналов в модели Эрдёша — Реньи, упрощенной версии Интернета, названной в честь Пола Эрдёша и Альфреда Реньи.

Каждая из этих систем имеет спектр — похожую на штрих-код последовательность, представляющую данные, такие как уровни энергии, нули дзета-функции, интервалы между отправлениями автобусов или скорости сигналов. Во всех спектрах имеется одна отличительная черта: данные кажутся случайно распределенными, однако расстояния между соседними линиями несколько упорядочены. Этот тонкий баланс между хаосом и порядком определяется точной формулой, появляющейся также в чисто математической задаче. Он определяет расстояния между собственными значениями огромной матрицы, элементы которой — случайные числа.

“Почему так много физических систем ведут себя как случайные матрицы, до сих пор остается загадкой’’, — сказал Хорнг-Цер Яу, математик из Гарвардского университета. “Но в последние три года мы сделали очень важный шаг в понимании’’.

Исследуя феномен “универсальности’’ в случайных матрицах, исследователи смогли лучше понять, почему он возникает в других местах, и как он может быть использован. В своих последних статьях Яу и другие математики определили многие новые типы случайных матриц, которым могут соответствовать различные числовые распределения и правила симметрии. Например, числа, заполняющие строки и столбцы матрицы могут быть взяты лежащими на кривой нормального распределения возможных значений, или они могут быть просто равны 1 и -1. Верхняя правая и нижняя левая части матрицы могут быть зеркальным отражением друг друга, а могут и не быть. Снова и снова, независимо от конкретных характеристик случайных матриц обнаруживается та же хаотическая закономерность в распределении их собственных чисел. Вот почему математики называют это явление “универсальностью’’.

“Кажется, это закон природы’’, — сказал Ван Ву, математик из Йельского университета, который совместно Теренсом Тао из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе доказал универсальность для широкого класса случайных матриц.

Универсальность, как полагают, возникают тогда, когда имеется очень сложная система, которая состоит из многих частей, тесно взаимодействующих друг с другом при создании спектра. Например, картина наблюдается в спектре случайных матриц, потому что все элементы матрицы учитываются при расчете спектра. Но случайные матрицы — это всего лишь “игрушечные системы’’, которые представляют интерес, поскольку они могут быть до конца изучены, а также они достаточно разнообразны, чтобы представлять собой модели реальных систем, по словам Ву. Универсальность является гораздо более распространенной. Гипотеза Вигнера (по имени Юджина Вигнера, физика, который открыл универсальность атомных спектров) утверждает, что во всех сложных, связанных системах, от кристаллической решетки до Интернета, имеется универсальность.

“Чем сложнее система, тем более устойчивой должна быть ее универсальность’’, — сказал Ласло Эрдеш из Мюнхенского университета, один из сотрудников Яу. “Это так, поскольку мы считаем универсальность типичным поведением системы’’.

Математики используют модели со случайными матрицами для изучения и предсказания некоторых свойств Интернета, таких как размер обычных компьютерных кластеров.

Во многих простых системах, отдельные компоненты оказывают слишком большое влияние на выход системы, изменяя спектральную картину. Для больших систем нет ни одной доминирующей компоненты. “Это как если в комнате с большим количеством людей эти люди решили сделать что-то, личность одного человека не так важна’’, — сказал Ву.

Всякий раз, когда система обладает универсальностью, ее поведение удостоверяет, что это сложная система и ее компоненты достаточно связаны, чтобы ее можно было рассматривать как случайную матрицу. “Это означает, что для моделирования этой системы можно использовать случайную матрицу’’, — говорит Ву. “Вы можете рассчитать другие параметры матричной модели и использовать их для предсказания, что система может вести себя как параметры, которые вычислены.’’

Этот метод позволяет ученым понять структуру и эволюцию Интернета. Некоторые свойства этой огромной компьютерной сети, такие как типичный размер кластера компьютеров, могут быть достаточно точно оценены измеримыми величинами соответствующих случайных матриц. “Люди очень интересуются кластерами и их расположением, что частично объясняется практическими целями, такими как реклама’’, — говорит Ву.

Аналогичная методика может привести к улучшению в моделей изменения климата. Ученые обнаружили, что присутствие универсальности в свойствах, сходных с энергетическим спектром материала, показывает, что его компоненты тесно связаны, и что, следовательно, он проводит жидкости, электричество или тепло. И наоборот, отсутствие универсальности может показать, что материал является разреженным и действует как изолятор. В новой работе, представленной в январе на конференции по математике в Сан-Диего, Кен Голден, математик из университета штата Юта, и его ученик, Бен Мерфи, использовали это различие, чтобы предсказать теплообмен и потоки жидкости в морском льду, как на микроскопическом уровне, так и через мозаику арктических талых прудов, охватывающих тысячи километров.

Когда арктические талые пруды достаточно связаны, как изображенные здесь, они обладают свойством универсальности, которое, как считают исследователи, является общим для всех сложных, взаимосвязанных систем.

Спектральная мера мозаики талых прудов, снятых с вертолета, или аналогичные измерения образца морского льда из ледяного керна, сразу показывает состояние системы. “Течение жидкости через морской лед связано с очень важными процессами, которые нужно понимать для того, чтобы понять климат системы’’, — говорит Голден. “Переход к статистике собственных чисел представляет собой совершенно новый, математически строгий подход к включению морского льда в климатические модели’’.

Такой же прием может со временем помочь создать простой тест на остеопороз. Голден, Мерфи и их коллеги обнаружили, что спектр плотной, здоровой кости проявляет универсальность, в то время как спектр пористой, пораженной остеопорозом кости — нет.

“Мы имеем дело с системами, где “частицы’’ могут быть размера миллиметра или даже километра’’, — сказал Мерфи о частях компонент системы. “Это удивительно, что одна и та же математика описывает и те, и другие.’’

Причина, по которой система в реальном мире будет обладать тем же спектральным поведением, что и случайная матрица, может быть самой простой для понимания в случае ядра тяжелого атома. Все квантовые системы, в том числе атомы, регулируются по математическим правилам, и в частности, матрицами. “Это то, о чем вся квантовая механика’’, — сказал Фримен Дайсон, бывший математик и физик, помогавший разрабатывать теорию случайных матриц в 1960-х и 1970-х годах, в Принстонском институте перспективных исследований. “Каждая квантовая система описывается матрицей, представляющей полную энергию системы, а собственные значения матрицы — это уровни энергии квантовой системы.’’

Матрицы простых атомов, таких как водород или гелий, могут быть найдены точно, давая собственные значения, которые с потрясающей точностью соответствуют измеренным уровням энергии атомов. Но матрицы, соответствующие более сложным квантовым системам, таким как ядро урана, растут быстро и слишком сложным образом, чтобы в этом можно было разобраться. По словам Дайсона, поэтому такие ядра и можно сравнить со случайными матрицами. Многие из взаимодействий внутри урана — элементы его неизвестной матрицы — настолько сложны, что они становятся размытыми, как смешение звуков, переходящее в шум. Следовательно, неизвестная матрица, которая описывает ядро, ведет себя как матрица, заполненная случайными числами, и поэтому ее спектр имеет универсальность.

Ученым еще предстоит развить интуитивное понимание того, почему эта случайность-закономерность, а не какая-то другая модель, возникает для сложных систем. “Мы это знаем только из вычислений’’, — сказал Ву. Еще одна загадка — что делать с дзета-функцией Римана, спектр которой обнаруживает универсальность. Нули дзета-функции тесно связаны с распределением простых чисел — неразложимых на множители целых чисел, являющихся множителями всех остальных чисел. Математики давно задавались вопросом о случайном порядке, в котором простые числа разбросаны вдоль числовой прямой от единицы до бесконечности, и универсальность предлагает ключ. Некоторые думают, что существует матрица — основа дзета-функции Римана, достаточно сложная и согласованная, чтобы обладать универсальностью. Открытие такой матрицы будет иметь “большие последствия’’ для окончательного понимания распределения простых чисел, сказал Пол Бургэйд, математик из Гарварда.

Или, возможно, объяснение лежит еще глубже. “Может случиться, что не матрица — основа универсальности Вигнера и дзета-функции, но некоторая другая, еще не открытая математическая структура’’, — сказал Эрдеш. — “Матрица Вигнера и дзета-функция могут быть тогда просто различными представлениями этой структуры.’’

Многие математики ищут ответ, хотя нет гарантии, что он существует. “Никто не предполагал, что автобусы в Куэрнаваке окажутся примером этого. Никто не предполагал, что нули дзета-функции будет еще одним примером’’, — сказал Дайсон. — “Красота науки совершенно непредсказуема, и таким образом, все полезное получается из сюрпризов.’’

Источник: http://www.wired.com/wiredscience/2013/02/math-and-nature-universality/all/

Один комментарий

  1. 1 Саша:

    Спасибо Вам

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение