Распечатать запись Распечатать запись

Задачи олимпиады Балеарских островов 2013

Предлагаю вам две задачи, которые предлагались на олимпиаде по математике, проходившей на Балеарах 13 января 2013 г.

Первая задача, на мой взгляд, довольно простая.

Задача. Найдите все функции f(x), определенные на множестве вещественных чисел и принимающие вещественные значения, которые удовлетворяют функциональному уравнению

f(x)+xf(-x)=1.


Показать решение

Вторая задача, как мне кажется, гораздо красивее и сложнее.

Задача. Имеется пять квадратов, расположенных так, как показано на рисунке:

Докажите, что квадрат ABCD и треугольник AEF имеют одинаковые площади.

Показать решение

Источник: http://www.xeix.org/Enunciats-i-solucions-de-la-fase-2081

Комментариев: 3

  1. 1 Владимир:

    Действительно, симпатичная задачка. Я думаю, подразумевалось более элегантное решение, без построений. В точках B и D сходятся по два треугольника, площади которых попарно равны по той же причине, что и с треугольниками FAE и GAH. Далее можно рассмотреть пятиугольник, образованный точками G, A, H и нижним основанием. С одной стороны, он состоит из 3-х квадратов и 4-х треугольников; учитывая предыдущее замечание, площади всех этих составляющих легко выразить через отрезки GB и DH (стороны “образующих” квадратов). С другой, это треугольник GAH и трапеция, площадь которой тоже выражается через GB и DH. Приравниваем и получаем ответ.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Владимир, видимо, Ваше решение проще. Но идея примерно та же. По ссылке после статьи приводится три различных решения: евклидово (близкое к приведенному и вашему), тригонометрическое и с помощью метода координат.

    [Ответить]

  2. 2 Александр:

    Можно с помощью векторов:

    f = -b x k – 2 a
    g = a x k – 2 b

    f’ = -f x k
    g’ = g x k

    S = 1/2 |f’ x g’|

    После алгебраических действий получим искомое: S = a*a+b*b

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение