Предлагаю вам две задачи, которые предлагались на олимпиаде по математике, проходившей на Балеарах 13 января 2013 г.
Первая задача, на мой взгляд, довольно простая.
Задача. Найдите все функции
, определенные на множестве вещественных чисел и принимающие вещественные значения, которые удовлетворяют функциональному уравнению
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f(x)+xf(-x)=1.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f869bf6c8764733471b76d6a9d96f867_l3.png)
Показать решение
Заменим
на
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f(-x)-xf(x)=1.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-774e355790565dfbbe78ab785f76ba8b_l3.png)
Рассмотрим систему уравнений
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f(x)+xf(-x)=1,\ f(-x)-xf(x)=1.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-11330bc1ee84431463b7f20c290e0319_l3.png)
Второе уравнение домножим на
и вычтем из первого, получим:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f(x)+x^2f(x)=1-x,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7ff26f1dfcf0ff176880dc543fe514b_l3.png)
откуда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f(x)=\frac{1-x}{1+x^2}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-585e635b787837dfd88afbbb4a84374b_l3.png)
Нетрудно убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет условию задачи.
Вторая задача, как мне кажется, гораздо красивее и сложнее.
Задача. Имеется пять квадратов, расположенных так, как показано на рисунке:

Докажите, что квадрат
и треугольник
имеют одинаковые площади.
Показать решение
Разумеется, это только одно из возможных решений, впрочем, довольно простое и понятное.
Поскольку
(эти углы в сумме дают
), то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{FAE}=S_{GAH}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-786694b9c939a7d895a5174eba5468c3_l3.png)
Проведем через точку
перпендикуляр к “основанию’’ фигуры. Пусть этот перпендикуляр пересекает продолжение отрезка
в точке
, а продолжение отрезка
— в точке
. Проведем также перпендикуляр к “основанию’’ через точку
. Пусть этот перпендикуляр пересекает продолжение отрезка
в точке
, а продолжение отрезка
— в точке
.

Тогда
.
(Действительно, так как точка
— середина основания, то треугольник получается из пятиугольника добавлением и отрезанием равных треугольников).
Пятиугольник
— объединение треугольника
, квадрата
и треугольника
.
Сторона квадрата
равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[PB-RB=DH-BG,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f3509a051f64b7821106f7500a40852_l3.png)
и площадь этого квадрата
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{SRPQ}=(DH-BG)^2.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5c22170f25e7012304aa288d0d34874_l3.png)
Площадь треугольника 
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{AGR}=DH\cdot BG,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1043809004763956b4325bb7f11c2ed_l3.png)
поскольку сторона
, а высота, опущенная на эту сторону, — это
.
Аналогично
.
Таким образом, получаем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{AGPQH}=(DH-BG)^2+2DH\cdot BG=DH^2+BG^2.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71d958e381d750db4b31a46fd5c57d9d_l3.png)
Полученная сумма квадратов по теореме Пифагора равна
, что и требовалось доказать.
Источник: http://www.xeix.org/Enunciats-i-solucions-de-la-fase-2081
1 Владимир:
Действительно, симпатичная задачка. Я думаю, подразумевалось более элегантное решение, без построений. В точках B и D сходятся по два треугольника, площади которых попарно равны по той же причине, что и с треугольниками FAE и GAH. Далее можно рассмотреть пятиугольник, образованный точками G, A, H и нижним основанием. С одной стороны, он состоит из 3-х квадратов и 4-х треугольников; учитывая предыдущее замечание, площади всех этих составляющих легко выразить через отрезки GB и DH (стороны “образующих” квадратов). С другой, это треугольник GAH и трапеция, площадь которой тоже выражается через GB и DH. Приравниваем и получаем ответ.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 31st, 2013 at 23:46
Владимир, видимо, Ваше решение проще. Но идея примерно та же. По ссылке после статьи приводится три различных решения: евклидово (близкое к приведенному и вашему), тригонометрическое и с помощью метода координат.
[Ответить]
2 Александр:
Можно с помощью векторов:

f = -b x k – 2 a
g = a x k – 2 b
f’ = -f x k
g’ = g x k
S = 1/2 |f’ x g’|
После алгебраических действий получим искомое: S = a*a+b*b
[Ответить]
2 Февраль 2013, 1:37