Распечатать запись Распечатать запись

Задача о правильном многоугольнике, более простое решение

Напоминаю условие задачи.

Задача. Дан правильный n-угольник, вписанный в окружность единичного радиуса. Одна из его вершин соединяется отрезками со всеми остальными. Докажите, что произведение длин всех этих отрезков равно n.

Приведу здесь решение этой задачи, которое гораздо проще найденного мною. Его прислал Лейб Александрович Штейнгарц.

Докажем утверждение задачи (только для простоты изложения) для правильного пятиугольника.

По самому ходу доказательства будет ясно, что аналогичное доказательство проходит для любого правильного многоугольника. Но так будет удобнее для того, чтобы это доказательство смогли понять школьники.

Пусть z_1,z_2,z_3,z_4,z_5 все (комплексные) корни уравнения

z^5=-1.

Как известно, они расположены в вершинах правильного пятиугольника.
Примем для определенности, что z_1=-1.

Искомое произведение можно записать так:

|z_2+1|\cdot|z_3+1|\cdot|z_4+1|\cdot|z_5+1|.

Или (по свойству модуля произведения) так:

|(z_2+1)(z_3+1)(z_4+1)(z_5+1)|.

Докажем, что данное число (даже без модуля) равно пяти. Обозначим число внутри модуля через X.

Тогда будем иметь

X=(z_2+1)(z_3+1)(z_4+1)(z_5+1)=

=\underbrace{z_2z_3z_4z_5}_A+\underbrace{z_2z_3z_4+z_2z_3z_5+z_2z_4z_5+z_3z_4z_5}_B+

+\underbrace{z_2z_3+z_2z_4+z_2z_5+z_3z_4+z_3z_5+z_4z_5}_C+\underbrace{z_2+z_3+z_4+z_5}_D+1.

Покажем, что каждое из выделенных слагаемых равно 1.

При этом мы воспользуемся формулами Виета для корней многочлена

P(z)=z^5+1.

См., например, http://ru.wikipedia.org/wiki/Формулы_Виета

Действительно:

D=\underbrace{z_1+z_2+z_3+z_4+z_5}_0-z_1=0-(-1)=1.

C=\underbrace{z_2z_3+z_2z_4+z_2z_5+z_3z_4+z_3z_5+z_4z_5+z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_1z_5}_0-

-(z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_1z_5)=-z_1\cdot(\underbrace{z_2+z_3+z_4+z_5}_{D=1})=1\cdot1=1.

B=\underbrace{(z_2z_3z_4+z_2z_3z_5+z_2z_4z_5+z_3z_4z_5)+(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_2z_5+z_1z_3z_4+z_1z_3z_5+z_1z_4z_5)}_0-

-(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_2z_5+z_1z_3z_4+z_1z_3z_5+z_1z_4z_5)=

=-z_1(\underbrace{z_2z_3+z_2z_4+z_2z_5+z_3z_4+z_3z_5+z_4z_5}_{C=1})=1\cdot1=1.

\displaystyle A=\frac{z_1z_2z_3z_4z_5}{z_1}=\frac{-1}{-1}=1.

Поэтому

X=1+1+1+1+1=5.

Отсюда и следует утверждение задачи.

Комментариев: 4

  1. 1 Владислав:

    А имеет ли решение этой задачи практический смысл???

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Владислав, пока, скорее всего, нет, но никто не может поручиться, что оно не потребуется когда-нибудь потом…

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Модули комплексных чисел на практике обычно — это какие-то амплитуды волн или спектров мощности. Если амплитуды имеют свойства меры, то их произведение возникает при наложении. Например, в квантовой механике модуль волновой функции — это амплитуда вероятности, поэтому произведение модулей даст вероятность сложного события. А иррациональные числа в значениях параметров динамических систем могут давать плотную траекторию (хаос). Например, траектория бильярдного шара зачертит весь стол, если тангенс прицельного угла с бортом будет иррациональным числом. Когда имеется соотношение между несколькими иррациональными числами, есть какая-то регулярная система, которую можно составить из нерегулярных хаотических подсистем. Чем сложнее соотношение между числами, тем хитрее составлена система так, что её конструкцию без этого соотношения не угадаешь.

    [Ответить]

  2. 2 zbl:

    Вот ещё более простое решение, хотя и с долей эквилибристики. Я выберу z^n=1 и индекс начну с нуля: a_0=1. Нам нужно произведение (1 – a_1)(1 – a_2)(1 – a_3)(1 – a_4), то есть, значение многочлена (x – a_1)(x – a_2)(x – a_3)(x – a_4) при x=1. Но у этого многочлена корни те же самые, только без единицы. То есть он есть \frac{x^n-1}{x-1}, но это ж геометрическая прогрессия 1+x+x^2+x^3+x^4. Подставим в неё x=1 — получим 5.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение