Распечатать запись Распечатать запись

Задача о правильном многоугольнике

Эту красивую задачу предложил Евгений в комментариях здесь.

Задача. Дан правильный n-угольник, вписанный в окружность единичного радиуса. Одна из его вершин соединяется отрезками со всеми остальными. Докажите, что произведение длин всех этих отрезков равно n.

Интересно, что данная задача оказалась связанной с задачей, которая, на мой взгляд, довольно известна. По крайней мере, я ее встречала неоднократно в разных местах. Решения правда нигде не видела.

Задача 1. Доказать, что справедливо следующее тождество

\displaystyle 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi k}{n}=n.

Действительно, пусть вершины рассматриваемого многоугольника — корни степени n из единицы на комплексной плоскости 1,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_{n-1}. Тогда искомое произведение равно произведению следующих чисел

\displaystyle \left|1-\cos\frac{2\pi k}{n}-i\sin\frac{2\pi k}{n}\right|,\qquad k=1,2,\ldots,n-1 .

Имеем

\displaystyle 1-\cos\frac{2\pi k}{n}-i\sin\frac{2\pi k}{n}=2\sin^2\frac{\pi k}{n}-2i\sin\frac{\pi k}{n}\cos\frac{\pi k}{n}=

\displaystyle =-2i\sin\frac{\pi k}{n}\left(\cos\frac{\pi k}{n}+i\sin\frac{\pi k}{n}\right),

откуда модуль каждого из таких чисел равен

\displaystyle 2\sin\frac{\pi k}{n},

и получаем тожедство, эквивалентное требуемому в задаче.

И как всегда большая просьба не смотреть сразу решение, а подумать над задачей самостоятельно ;) .

Показать решение

Комментариев: 19

  1. 1 юра:

    Cпасибо большое за интересную задачу повышенной
    трудности,но из людей со средним и даже высшим
    мало кто ее решит. Или на решение ее уйдет много времени.
    Эта задача для чистых математиков и практической пользы
    от ее решения мало. Но условие задачи интересное и
    хочется сразу узнать ответ.Правда,условие задачи понял плохо
    или оно неряшливо составлено. Я под ( n )понимаю натуральный
    ряд чисел и не могу сообразить,как может произведение
    отрезков быть равно ряду чисел. С нетерпением предвкушаю
    посмотреть решение.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юра, условие задачи составлено вполне нормально. Имеется n-угольник (число углов и сторон n). Так произведение длин отрезков равно именно этому n. Натуральный ряд чисел тут ни при чем, разве что n — натуральное число, n\ge3.

    Решение можно увидеть, если кликнете на Показать решение.

    [Ответить]

  2. 2 юра:

    Спасибо,Евгений! Хотя я мало что понял в Вашем
    решении,но сами формулы меня просто завораживают !
    Впервые в жизни слышу об определителе Вандермонда.
    В институте техническом этому не учили.
    У нас были просто определители и матрицы без имени
    их изобретателей.

    [Ответить]

  3. 3 Евгений:

    Рад, что задача Копылова вам понравилась.
    “..практической пользы”, наверно, мало,- но сам факт красив.
    Большинство длин отрезков- числа не целые, не рациональные, а трансцендентные,
    а их произведение равно натуральному n, по числу вершин многоугольника!
    п.с.
    Когда я решал её, ни матрицы, ни “товарища Волан-де-Морта” :)
    не привлекал.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Евгений, Лейб Александрович Штейнгарц прислал свое решение, в котором используются только комплексные числа. Постараюсь поскорее его тоже выложить.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Нет, длины отрезков не трансцендентные, а алгебраические. Ведь корни степени n алгебраичны.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Не всегда.

    [Ответить]

  4. 4 Евгений:

    п.с.2
    И уже из задачи получилось вот эта интересная формула:



    А потом я её нашел в справочнике Брычкова.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, формула красивая, и я ее раньше встречала, поэтому она и связалась с Вашей задачей.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Евгений, а Вы решение Лейба Александровича Штейнгарца видели: http://hijos.ru/2013/01/17/zadacha-o-pravilnom-mnogougolnike-bolee-prostoe-reshenie/? Оно похоже на Ваше?

    [Ответить]

    Евгений Reply:

    Да, увидел.
    Не совсем похоже. Я решал сразу для n-угольника.
    Разберусь, как рисунки делать и вставлять мат.символы,- и отпишусь.
    Пока не знаю, практики не было.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Евгений, Вы можете прислать мне решение по электронной почте, адрес есть в контактах, скажем, отсканированное. А я выложу на сайт.

    [Ответить]

  5. 5 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, поясните пожалуйста, как понимать “вершины рассматриваемого многоугольника – корни степени n из единицы комплексной плоскости” и покажите это на рисунке.

    [Ответить]

  6. 6 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, спасибо за ответ. Приведенные Вами ссылки для меня слишком сложны и не понятны. Не могли бы Вы пояснить как-то проще? Любопытно, много ли выпускников школ и студентов вузов понимают подобные выкладки?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вячеслав, есть более простое решение задачи, посмотрите: http://hijos.ru/2013/01/17/zadacha-o-pravilnom-mnogougolnike-bolee-prostoe-reshenie/

    Хотя там тоже есть комплексные числа…

    Определители должны проходить в технических вузах, комплексные числа вроде бы проходят в физмат школах. Сейчас таких школ очень много. Правда, по большей части это всего лишь название…

    [Ответить]

  7. 7 Вячеслав:

    Елизавета Александровна и Лейб Александрович, большое Вам спасибо за отзывчивость на мои назойливые вопросы. Последнее частное решение действительно более простое и понятное для меня, но всё же не до конца. Конечно, если вспомнить определители, уравнение Виета для n-х степеней и дополнительно изучить решение, то можно более досконально разобраться в нём. Я приведу ещё более простые частные решения для квадрата и правильного шестиугольника. Сторона квадрата,вписанного в окружность, равна корню квадратному из 2, а произведение двух сторон имеющих общую вершину равно 2. Диагональ квадрата равна 2. Произведение 2*2 = 4. Сторона 6-ти угольника равна радиусу = 1. Малая диагональ 6-ти угольника равна корню квадратному из 3, а произведение 2-х малых диагоналей равно 3. Большая диагональ равна 2. Произведение 1*1*3*2=6.

    [Ответить]

  8. 8 Лейб:

    Это – НЕ частное решение (как написано в пункте 7).
    Там показан способ, как утверждение задачи может быть доказано для ЛЮБОГО правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность.

    [Ответить]

  9. 9 Саша:

    Юра, по поводу практической пользы и “чистой математики”. Дирак писал, что новая физика строится следующим образом – создаётся красивая математическая теория, и если она действительно красива, то в окружающей действительности найдутся процессы и явления, которые она описывает (привёл не дословно). Сто лет назад теория чисел тоже казалась (да и была) совершенно оторванной от действиельности…

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение