Распечатать запись Распечатать запись

Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр и его теорема

Л.Э.Я. Брауэр (1881—1966) — выдающийся голландский математик, который известен прежде всего благодаря своей теореме о неподвижной точке. Тем не менее, он внес существенный вклад в развитие многих областей математики.

В топологии Брауэр открыл характеристики топологических отображений на Декартовой плоскости и доказал ряд теорем о неподвижной точке. Он придумал также методы, которые теперь являются стандартными. В частности, он использовал приближение непрерывных отображений кусочно-линейными. Ему принадлежат идея степени отображения, обобщение теоремы Жордана на n-мерные пространства и определение топологического пространства. Занимался Брауэр также логическими основаниями математики, теорией множеств. Идеи Брауэра сегодня применяются в теоретической информатике. Например, то, что все элементы множества обладают некоторым свойством, значило для Брауэра, что имеется некоторая конструкция, которая за конечное число шагов позволяет проверить, обладает ли кажый элемент данного множества указанным свойством.

Брауэр был членом редколлегии журнала Mathematische Annalen, был членом муниципального совета города Бларикум неподалеку от Амстердама, в котором он жил, активно участвовал в создании нового математического журнала Compositio Mathematica и был его первым редактором.

Во время Второй мировой войны Брауэр активно помогал голландскому сопротивлению, в частности, оказывал поддержку студентам-евреям в это сложное время. Однако именно с этим периодом связан противоречивый момент в его жизни. В 1943 году Брауэр побуждал студентов подписывать декларацию о лояльности Германии. Позже он говорил, что делал это, для того чтобы студенты имели возможность закончить обучение и помогать сопротивлению. Однако после освобождения Амстердама Брауэр был временно освобожден от своей должности в связи с этими действиями. Он был очень обижен и даже думал об эмиграции.

После ухода в отставку в 1951 г. Брауэр в 1952 г. читал лекции в Южной Африке, в 1953 г. — в Америке и Канаде. Умер он в 1966 г. в результате дорожной аварии.

А теперь та самая известная теорема Брауэра о неподвижной точке.

Теорема Брауэра. Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Теорема очень красива. Представить себе, о чем она, можно следующим образом. Возьмем прямоугольную коробку и лист бумаги, в точности покрывающий ее дно. Таким образом, каждой точке листа соответсвует точка коробки, находящаяся точно под ней. Теперь скомкаем этот лист бумаги и бросим на дно коробки. Согласно теореме Брауэра, всегда найдется хотя бы одна точка листа бумаги, которая будет располагаться в точности над соответствующей ей точкой коробки.

Источник: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Brouwer.html

Комментариев: 28

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    А если для круга?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, конечно, для круга она сначала и была доказана.

    [Ответить]

  2. 2 Андрей Прокопьев:

    /Заполним замкнутый цилиндрический сосуд жидкостью. Как бы мы не /трясли сосуд с жидкостью, всегда найдется точка, в которой будет /находиться та же самая точечная частичка жидкости, которая была там /изначально.
    Странно, но у меня впечатление, что это утверждение неверно:
    Например поворот цилиндра относительно жидкости на любой угол кроме 2*n*Pi где n -целое и перемещение центральной оси жидкости в любое другое место приведет к нарушению утверждения (а при тряске – вероятность такого события отлична от 0)
    Хотя в теореме говорится о непрерывном отображении!!!
    Я хотел сказать, что эта иллюстрация не полностью соответствует теореме.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Андрей, не очень поняла. Рассматриваем замкнутую систему и непрерывное отображение.

    [Ответить]

    Андрей Прокопьев Reply:

    1. При тряске – нарушается непрерывность и соответственно возможно такое расположение частичек (молекул) жидкости которое не удовлетворит условию теоремы.
    2. В случае с листом бумаги – если его не разрывать, то все выполняется!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласна, пример плохой, если учитывать молекулярное строение вещества. Убрала, спасибо.

    [Ответить]

  3. 3 Вячеслав:

    Из данной статьи у меня сложилось мнение, что теорема о неподвижной точке имеет большее отношение к теории вероятности, чем к топологии. В объеме шара или любого трехмерного тела имеется бесконечное множество точек. При любых деформациях такого тела всегда есть вероятность, что хотя бы одна точка тела сохранила своё одномоментное местоположение. Какой-то практической пользы от этой теоремы не усматривается.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вячеслав, посмотрите здесь: http://golovolomka.hobby.ru/books/gardner/gotcha/ch3/11.html

    [Ответить]

  4. 4 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, спасибо за предложенную головоломку. Она забавна, но практической пользы от такой забавы не вижу, также как от утверждения, что в атмосфере земле где-то есть точка, в которой нет ветра, и есть точки, в которых равны температуры и атмосферное давление.

    [Ответить]

    мимо проходил Reply:

    “Какой-то практической пользы от этой теоремы не усматривается.”
    Думаю Брауэра безусловно глубоко тревожило отсутствие практической пользы доказанной им теоремы да и большинство математиков в первую очередь задают себе вопрос.. а будут ли мне, семье, стране, человечеству (нужное подчеркнуть) плюшки от доказательства той или иной теоремы. Ведь всем известно какие математики практичные люди.

    P.S. В 1945 году пятизвездочный адмирал Уильям Лихи уверял президента Трумэна: «Это будет самая глупая вещь, которую мы когда-либо делали. Атомная бомба никогда не взорвется. Это я вам говорю как эксперт-взрывотехник».

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вячеслав, бывают задачи, в которых неизвестно, существует решение или нет. Теорема Брауэра в ряде случаев помогает доказать именно существование решения. А потом уже можно это решение искать каким-либо способом. Согласитесь, что это лучше, чем искать то, чего вообще нет.

    [Ответить]

  5. 5 Вячеслав:

    Если допустить, что адмирал Уильям Лихи в 1945 году действительно уверял президента Трумэна, что атомная бомба никогда не взорвется, то вопреки этим уверениям уже в том же 1945 году США произвели атомную бомбардировку японских городов Хиросима и Нагасаки. Со времени публикации теоремы Брауэра, теории относительности Энштейна и неевклидовой геометрии Лобачевского прошло более 100 лет, но практических результатов от этих теорий так и нет. Почувствуйте разницу. Спасибо за Ваш комментарий.

    [Ответить]

    мимо проходил Reply:

    Боже мой… ладно Вы ограничились бы теоремой Брауэра, я не специалист в математике и не нашел бы довода о ее практической пользе, но после добавления в кучу бесполезных ТО и неевклидовой геометрии у меня сложилось впечатление что Вы очень “тонко” издеваетесь :) “Почувствуйте разницу” говорите? :) Ну-ну… но все же если это была не толстый шютка, то узнайте правду – более чем практичное применение ТО в GPS навигации. http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2003-1/fulltext.html надеюсь германский журнал института Макса Планка не сочтете за желтую прессу, а GPS навигатор за забавный бесполезный девайс, иначе это уже будет не смешно, а печально.
    P.S. Ну а, собственно, в предыдущем комментарии писал не совсем об этом. Суть была в том, что математиков-теоретиков (а также и многих физиков-теоретиков) мало волнует практическое применение (странно, да? :) . Ну совсем мало. Практически никак. Говоря языком математики, в пределе стремится к нулю :) Тем не менее, многие их открытия со временем внезапно оказываются более чем значимыми, иногда даже в неожиданных областях (Джон Нэш передает привет, а ведь казалось бы – при чем тут экономика? ). Это приятно и это плюс, если такое случилось. А если нет – так и горя нет. Математика – прежде всего искусство, а как едко заметил еще Оскар Уайльд, всякое искусство совершенно бесполезно :)

    [Ответить]

  6. 6 Лейб:

    Полностью согласен с “мимо проходил Reply”, который ответил на комментарий 5.
    .
    Только хотел бы добавить, что в свое время даже не все математики хотели принимать в качестве нормальных объектов для изучения КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА со своей МНИМОЙ ЕДИНИЦЕЙ (какой ужас! – корень из минус единицы!).
    Ни о каком практическом применении никто даже и не заикался.
    .
    Зато теперь комплексные числа находят самое широкое применение и в электротехнике, и в аэродинамике, и во многом другом.
    .
    См., например, здесь:
    http://www.moluch.ru/archive/37/4252/

    [Ответить]

  7. 7 Вячеслав:

    На “мимо проходил Reply” и пункт 6. Ни GPS навигация, ни комплексные числа не имеют ни какого отношения ни к теории относительности ни к комплексным числам. И то и другое базируется на классической евклидовой геометрии и алгебре.

    [Ответить]

    Андрей Прокопьев Reply:

    А вот тут вы не правы, величина коррекции частот – в зависимости от расположения спутника величина рассчитываемая исходя из теории относительности, и комплексные числа являются основополагающими.

    //И то и другое базируется на классической евклидовой геометрии и алгебре.
    А почему тогда один и тот же кварцевый генератор на поверхности планеты и на спутнике генерирует разные частоты относительно неподвижного наблюдателя и одинаковые частоты при наблюдении в единых системах отсчета!?

    [Ответить]

  8. 8 Вячеслав:

    Андрей Прокопьев Reply, то, что “один и тот же кварцевый генератор на поверхности планеты и на спутнике генерирует разные частоты” это не подтвержденный факт. Часы космонавтов после возвращения из длительного космического полета показывают то же время, что и часы на земле. Теория относительности – это не теория, а гипотеза, которая никогда не будет подтверждена, так как для её подтверждения требуется, чтобы относительная скорость объектов была близкой к скорости света, что практически недостижимо. То, что время на объектах, летящих со скоростями, близкими к скорости света, замедляется и космонавтов, вернувшихся из полета на таком корабле будут встречать их правнуки – это всего лишь фантазии ученых и журналистов.

    [Ответить]

    Андрей Прокопьев Reply:

    Я и не утверждал, что ОТО и СТО – не гипотезы, однако они предоставляют достаточно сформулированный математический аппарат для описания эффектов не объяснимых с точки зрения евклидовой геометрии и классической алгебре. Более того существуют эффекты противоречащие теории относительности (орбита меркурия). Но разница между частотными параметрами передатчиков на спутнике и приемников на земле существует, правда эти разницы подобраны эмпирически, но объяснены с помощью ТО. Правда мне в институте этого не объясняли, а просто поставили перед фактом – эффект есть.
    Есть одна интересная ссылка http://www.polynumbers.ru
    Начать интересно с фильмов.

    [Ответить]

    мимо проходил Reply:

    “Теория относительности – это не теория, а гипотеза, которая никогда не будет подтверждена, так как для её подтверждения требуется, чтобы относительная скорость объектов была близкой к скорости света, что практически недостижимо. ”
    После этой авторитетной фразы дальше разговаривать бессмысленно :) Весь научный мир физиков по какой-то вопиющей вселенской несправедливости не знает о существовании Вячеслава и спокойно тратит деньги честных налогоплательщиков на постройку коллайдеров, разгоняя там частицы до скоростей близких к световым, наблюдая эффекты ТО, вообщем вы поняли… это вселенский заговор против Вячеслава и честного трудового народа, отмывка денег и промывка мозгов. Но мы то здесь знаем всю правду! :)
    Конечно, стоит сказать что у ТО есть проблемы, но у кого их нет? У классической механики проблем не меньше, при переходе в кватновый мир. Так же и ТО не может все описать без проблем, она не совершенна, но. Отличие ТО от других гипотез описания мира, которые мы тут с Вячеславом сами можем придумать вагон и тележку за один вечер, если будет хорошая компания и закуска, в том, что она… внезапно… подтвердилась експериментом. Да-да, Вячеслав. Именно поэтому она произвела такой фурор во всем научном мире. Думаю многие физики вначале тоже долго в нее не верили, но факты как известно, упертая штука. А с квантовой механикой, прости Господи, творится вообще лютый…капец. Ее никто толком и объяснить то не может… объяснений столько, что доходит вплоть до множественных параллельных вселенных, что в конце концов настолько достало кого-то из физиков, что он придумал самую ее лаконичную и практичную интерпретацию, которая звучит очень просто “Заткнись и считай!”(гуглится). Другими словами, никто не знает как, но она работает и дает реальные результаты, которые подтверждаются экспериментально. Ок, сказали физики, а нам большего и не надо.
    Но, я так чувствую, что зря катаю тут телеги..ведь это все настолько очевидные вещи, что достаточно один вечер почитать Вики или погуглить немного. Поэтому, думаю сейчас поспеет опровержение всего чего только можно, ведь “Врагу не сдается наш гордый варяг!”
    Запасаюсь попокорном…

    [Ответить]

  9. 9 Вячеслав:

    На мимо проходил Reply от 29.01.2013.
    “ТО не может всё описать без проблем, она не совершенна… Думаю многие физики вначале тоже долго в неё не верили.” Я всего лишь повторяю сомнения многих физиков, и не претендую на авторство таких сомнений. Что касается Фактов, то надеюсь Вам известно, что физики недавно сообщили об открытии элементарных частиц, обладающих скоростью больше скорости света и тем самым лишний раз дали фактическое основание для опровержения ТО. Не секрет, что очень многие ученые удовлетворяют собственное любопытство за счет трудового народа, не заботясь о практической пользе своих научных и не научных исследований.

    [Ответить]

  10. 10 мимо проходил:

    Вячеслав, пруфлинк на открытие сверхсветовых частиц в студию, с серьезного ресурса. Насколько я слышал краем уха, речь шла о экспериментальном измерении скорости нейтрино на 0,00..циферка% больше скорости света, что в конечном итоге оказалось ошибкой техников, не подключивших все нужные кабеля к измерительным приборам :D Но понимаете, Вячеслав, в чем тут соль… даже если бы сейчас экспериментально нашли факты противоречащие СТО, как, например, сверхсветовые частицы с отличной от нуля массой покоя, то физики не выбросили бы ТО как ложную, а просто начали бы думать что в ней надо усовершенствовать, потому что она УЖЕ РАБОТАЕТ, давая реальные результаты, подтверждаемыми многими независимыми экспериментаторами, следовательно полностью ложной она не может оказаться в принципе. Опять же, припомню классическую механику, ибо очень наглядный пример. Ведь она принципиально не верна, чтобы узнать когда вы доедете из рынка на квартиру нельзя делить расстояние на скорость трамвая, это не правильно.. ведь Вы не учитываете релятивистских эффектов, а следовательно, получите ошибку в вычислениях в 0, 00.(очень много нуликов)..циферка%. Конечно, такой ошибкой Вы вправе справедливо пренебречь, что успешно и делается в классической механике. Отсюда следует очень важный вывод. Новая теория – это не та, которая опровергает все и вся что было до нее, а которая просто расширяет старую теорию, привносит в нее новизну, но, при определенных условиях ( скорость трамвая значительно меньше 300 тыс км/с) сводится к этой самой старой теории.
    Другой пример (Остапа уже не остановить) – планетарная модель атома Резерфорда – в корне не верна, ибо квантовая механика и электрон никак не шарик движущийся по орбите, так как в этом случае должен терять энергию и упасть быстренько на ядро. (можно почитать детальнее, гугл в помощь, если интересно) Тем не менее, она успешно объясняет и подтверждает экспериментально проводимость металлов, диэлектриков, эффекты в полупроводниках где большая точность, привносимая квантовой механикой не нужна. Но она же пасует на эффекте сверхпроводимости, где уже свое берут квантово-механические эффекты. Мораль сего – всему свой инструмент, и если мы не видим в обычном мире атомов, квантов и релятивистских эффектов, это не значит что они не существуют.
    Насчет же всяких фриков от науки кто выдвигает революционные теории опровергающие одним махом все и вся… ну тут думаю понятно. Сомнения вещь хорошая, и нужная! Сомнения двигают науку. Но к счастью в науке очень просто доказать свою правоту, критерий истинности один – эксперимент. А пока экспериментальных данных нет – их теории так и останутся всего лишь сомнениями и теориями.
    Фух, вот это меня понесло… :D

    [Ответить]

  11. 11 Вячеслав:

    На 10 мимо проходил.
    С философской точки зрения всё в окружающем нас мире относительно, поэтому любое утверждение, любую теорию можно считать теорией относительности и в то же время всё можно подвергать сомнению. Я согласен, что сомнения могут инициировать развитие науки, но не всякие. Например, мои сомнения в ТО абсолютно бесполезны, в отличие от сомнений ученых физиков. Я не согласен, что “в науке очень просто доказать свою правоту, критерий истинности один – эксперимент”. Любой эксперимент можно поставить под сомнение, как и в рассматриваемом случае со сверхсветовым нейтрино. Естественно, что физики не выбросят ТО как ложную пока большинство не согласятся с этим. Критерий истинности не эксперимент, а признание её большинством авторитетов. Однако наука должно ставить своей первоочередной целью достижение практической пользы, как например теория электромагнитного взаимодействия и создание электродвигателя. И не важно, какова модель атома.

    [Ответить]

    мимо проходил Reply:

    “Любой эксперимент можно поставить под сомнение, как и в рассматриваемом случае со сверхсветовым нейтрино.”
    Сомневаться можно во всем. Проблема в том, что результаты эксперимента имеют свойство повторяться, если они истинны, независимо от того, кто ставит эксперимент. В случае с нейтрино, результат не подтвердился при повторной проверке. Вот и все.

    [Ответить]

  12. 12 Вячеслав:

    На мимо проходил Reply от 31.01.2013
    “Проблема в том, что результаты эксперимента имеют свойство повторяться, если они истинны, независимо от того, кто ставит эксперимент. В случае с нейтрино результат не подтвердился при повторной проверке. Вот и всё.”

    Далеко не всё так однозначно. Результаты эксперимента более всего зависят от того, кто ставит эксперимент. Если эксперимент по определению скорости света будет ставить не специалист в области оптики, то велика вероятность ошибки даже при многократном повторении эксперимента. В случае с нейтрино первый результат следует рассматривать с точки зрения статистки столь же правомерным, как и результат повторной проверки при условии, что оба эксперимента проводили одни и те же экспериментаторы и на них не было давления со стороны сторонников ТО. Если повторную проверку проводили другие сторонники ТО, то такая проверка весьма сомнительна. Одним словом, делать окончательный вывод преждевременно. Возможно истина откроется в исторической перспективе, а более вероятно, что познать истину человечеству не суждено никогда.

    [Ответить]

    мимо проходил Reply:

    Вы слишком пессимистически смотрите. Сторонники ТО не имеют никаких веских доводов защищать эту самую ТО. Скорее наоборот, найдя несовпадения с СТО они обеспечат себе известность как минимум, а если несоответствие будет критическим, подрывающим основы ТО, то это будет революционным прорывом в физике, и даст шанс такому экспериментатору встать в один ряд с Бором и Эйнштейном. Подумайте сами теперь, что более выгодно в данном случае для экспериментатора и Вы поймете почему в случае с нейтрино так быстро подняли шум, даже не перепроверив все как следует.

    [Ответить]

  13. 13 Вячеслав:

    На мимо проходил Reply от 03. 02. 2013
    Странно слышать от сторонника ТО, что “сторонники ТО не имеют никаких веских доводов защитить эту самую ТО.” Найдя несовпадения с ТО стороннику выгодно умолчать об этом. В противном случае он будет подвергнут критике со стороны сторонников и ему не светит дальнейшее продвижение в научном мире, где сегодня господствуют сторонники ТО. Самым веским доводом для защиты ТО является большинство сторонников этой теории среди современных ученых физиков.

    [Ответить]

  14. 14 мимо проходил:

    Волка бояться – в лес не ходить. Критика встречается повсеместно в науке и это в общем-то нормально. Все зависит смогут ли те или иные выдвигаемые тезисы выдержать критику. Хотя в целом, в ваших словах есть доля правды. Если не ошибаюсь, Эйлер впервые дошел до принципов не евклидовой геометрии, но будучи человеком замкнутым и не скандальным, умолчал о них, “дабы тупые болваны не подняли шумиху” :) А времена тогда покруче теперешних были… Лобачевский же, хоть и позже открыл, не убоялся вражины и был презрен вначале и непонят, зато теперь имеем геометрию Лобачевского. Справедливо или нет…думаю да, справедливо.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Хотел бы уточнить, что это был не Эйлер, а Гаусс.
    Но это не меняет сути дела.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение