Распечатать запись Распечатать запись

Число пи четверками

Джон Конуэй, Майкл Гай

Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре 4-ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа \pi.

Разрешены символы +,-,\times и \div, обычные обозначения для корней \sqrt{\mbox{ }} и \sqrt[4]{\mbox{ }}, степени, факториалы и десятичные обозначения 44. и .4. Само число \pi, логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе \pi=\sqrt{\left(-\sqrt{4}/4\right)!^4}. Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как .\sqrt{4}.

Например,

\displaystyle\sqrt{\sqrt{\left(\frac{4!!+4}{4!!}\right)^{4!!}}}


очень хорошее приближение e, и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку n/\sqrt[n]{n!}\to e при n\to\infty.

Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так, n\sqrt[n]{a}-n\to{\rm ln}\, a, так что можно получить последовательность приближений \ln 2,\ln5 и {\rm log}_ba (например, \lg2 или \lg3). В нашем лучшем результате такого вида для \pi используется семь четверок, и он выведен из формулы

\displaystyle\pi=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^nn!}{\sqrt{\sqrt{n}}\sqrt{(2n)!}}\right)^4.

Также можно записать \ln\pi с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера \gamma.

Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре 4-ки и обычные действия.

Доказательство. Из формулы

n\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\right)\to\ln(a/b)

следует, что для достаточно больших n

2^m<2^n\left(4^{2^{-(n-m-1)}}-4^{2^{-(n-m)}}\right)<2^{m+1},

поскольку предел этого выражения при n\to\infty равен 2^m\ln4 и 1<\ln4<2. Пусть теперь m натуральное число, и n>m, n-m и n-m-1 положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как

2^n\left(\sqrt{}^{n-m-1}{4}-\sqrt{}^{n-m}{4}\right),

где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень k раз, получаем

2^{m/2^k}<\sqrt{}^k{\left(\sqrt{4^n}\left(\sqrt{}^{n-m-1}{4}-\sqrt{}^{n-m}{4}\right)\right)}<2^{(m+1)/2^k}.

Теперь мы можем взять n в виде 4(!)^p, так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре 4-ки. Так как числа 2^{m/2^k} для целых m и натуральных k плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.

Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.

Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число p/q равно m/4(!)^n для подходящих целых значений m и n.

Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.

Остаются вопросы:

1. Существует ли “точная’’ формула для \pi с менее, чем семью четверками?

2. Существует ли какая-либо точная формула для \gamma?

3. Являются ли числа \sqrt{}^n{4(!)^m} плотными на множестве x>1?

Источник: http://www.mathigon.org/eureka.pdf

Тем, кому интересна тема записи чисел с помощью какой-либо цифры (или нескольких выбранных цифр) предлагаю прочитать также статью Лейба Александровича Штейнгарца в журнале “Квант”: http://kvant.mirror1.mccme.ru/1987/08/iz_chego_ugodno_-_chto_ugodno.htm

Фотография с сайта wikipedia.org

Комментариев: 5

  1. 1 Murad:

    Не знали свойства целых чисел.Любое целое число n есть степени 10, имеет: – n и +n, +1/ n и -1/ n, нечетное и четное:
    - (n + n +…+ n) =-nст.2; – (n x n x…x n) = -nст.n; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -nст.-n;
    + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + nст.-n.
    Ясно, что если любое целое число сложить само себя, то увеличиться в 2 раза, а произведение будет квадратом: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a =a2. Это считали теоремой Виета – ошибка!
    Если в данное число добавить и отнять число b, то сумма не меняется, а произведение меняется, например:
    X = a + b, Y =a – b, X+Y = a + b + a – b = 2a; XY = (a + b) x (a –b) = a2- b2.
    X = a +√b , Y = a -√b , X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2- b.
    X = a + bi, Y =a – bi, X+Y = a + bi + a – bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2+ b2.
    X = a +√b i, Y = a – √bi, X+Y = a +√bi+ a – √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
    Если вместо букв a и b поставить целые числа, то получим парадоксы, абсурды, и недоверия математике.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Это способ нахождения числа \pi, присланный Вячеславом Ларионовым.

    Уважаемые читатели сайта, я хочу поделиться с Вами моей находкой алгоритма вычисления числа Пи. Занимаясь построениями правильных многоугольников с числом сторон кратным 2 мне удалось вывести следующую последовательность: \sqrt 2; \sqrt{2-\sqrt 2}; \sqrt{2-\sqrt{2+√2}}; \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+√2}}}\ldots. Члены этой последовательности есть длины сторон правильных 4-х, 8-ми, 16-ти и 32-х сторонних многоугольников, вписанных в окружность с радиусом равным 1. Эту последовательность можно продолжать до бесконечности, добавляя в подкоренное выражение после знака минус в новых скобках число 2 и знак плюс. Общее число цифр 2 в каждом члене последовательности должно быть на единицу меньше логарифма от числа сторон многоугольника по основанию 2. Зная длины сторон, можно вычислить периметры этих многоугольников, которые при стремлении числа сторон к бесконечности будут стремиться к длине окружности. Следовательно, по этой последовательности можно вычислить число Пи с любой точностью. У этой последовательности есть замечательное свойство – для нахождения любого её члена не обязательно вычислять все предыдущие члены, поэтому количество вычислительных действий резко сокращается. Так для вычисления длины стороны многоугольника с числом сторон 2^10 = 1024 мне потребовалось, с помощью 32-х разрядного калькулятора, всего несколько минут, чтобы вычислить длину его стороны x_{1024}=0,0061359\ldots и получить приблизительное значение \pi с точностью по 4-й знак включительно после запятой, \pi= 3,1415887\ldots. Вычисления производятся в следующей последовательности. К корню квадратному из 2 прибавляется 2, из полученной суммы извлекается корень квадратный, к этому результату прибавляется следующая двойка и из результата опять извлекается корень квадратный и так далее пока не закончатся все двойки после знака минус (для x_{1024} это 8 двоек), затем из 2 вычитается последний корень и из этой разницы извлекается квадратный корень который и будет равен стороне N-угольника. В Википедии такого простого и очевидного алгоритма вычисления \pi я не нашел. В ней наиболее простой алгоритм дан на основе ряда Лейбница: 1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-\ldots= \pi/4. Но этот ряд не отражает связь числа \pi$$ с его геометрическим представлением и необходимо доказательство этого равенства. К тому же этот ряд требует проводить последовательно вычисления каждой суммы, что значительно увеличивает объём вычислений.
    / В.В.Ларионов /.

    [Ответить]

  3. 3 vasil stryzhak:

    Созданный древними математиками метод вычисления длинны окружности посредством вписанных и описанных в окружность многоугольников оставался основным на протяжении почти двух тысячелетий. Новая эра в решении данной задачи пришла с развитием математического анализа, методов дифференциального и интегрального исчислений, когда было найдено много определенных бесконечно сходящихся рядов, приводящих к числу π.
    Ряд, предложенный Вячеславом известен давно. Его автором является индийский математик и астроном VI в. Ариабхата. Формула основана на удвоении сторон вписанного в окружность многоугольника, где в качестве исходного выбран квадрат. Ознакомиться можно в познавательной книге А.В. Жукова «Вездесущее число π» (стр.131,1320), скачав ее с http://techlibrary.ru каталога научно-технической литературы. В III веке н.э. математик Лю Хуэй из царства Вэй вычислял длину окружности от исходного вписанного правильного шестиугольника аналогичным итеративным алгоритмом. Об этом информация есть ru.wikipedia.org›Пи (число) . Интерес представляет описание данного ряда в качестве формулы Антифонта на сайте altera-pars.narod.ru›Qadra/form_A.htm . В виду того, что Вячеслав получил последовательность самостоятельно, можно считать его результат неплохим.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    vasil stryzhak, мне не удаётся скачать и открыть файл с книгой А.В.Жукова. Подскажите как это сделать.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Вячеслав, на сайте технической библиотеки книги загружаются без проблем, достаточно открыть раздел «Алфавитный каталог» и найти автора. Кстати, здесь есть ряд других интересных популярных книг по математике и не только. Не открытие файла возможно связано с отсутствием программного обеспечения для просмотра книг в формате djvu. Его можно загрузить, например, тоже с данного сайта, если открыть раздел «Программы» или интернета.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение