Число пи четверками

12 Декабрь 2012, 0:04

Джон Конуэй, Майкл Гай

Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре -ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа $\pi$ .

Разрешены символы $+,-,\times$ и $\div$ , обычные обозначения для корней $\sqrt{\mbox{ }}$ и $\sqrt[4]{\mbox{ }}$ , степени, факториалы и десятичные обозначения 44. и . Само число $\pi$ , логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе $\pi=\sqrt{\left(-\sqrt{4}/4\right)!^4}$ . Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как $.\sqrt{4}$ .

Например,

$\displaystyle\sqrt{\sqrt{\left(\frac{4!!+4}{4!!}\right)^{4!!}}}$

очень хорошее приближение , и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку $n/\sqrt[n]{n!}\to e$ при $n\to\infty$ .

Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так, $n\sqrt[n]{a}-n\to{\rm ln}\, a$ , так что можно получить последовательность приближений $\ln 2,\ln5$ и ${\rm log}_ba$ (например, $\lg2$ или $\lg3$ ). В нашем лучшем результате такого вида для $\pi$ используется семь четверок, и он выведен из формулы

$\displaystyle\pi=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^nn!}{\sqrt{\sqrt{n}}\sqrt{(2n)!}}\right)^4$ .

Также можно записать $\ln\pi$ с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера $\gamma$ .

Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре -ки и обычные действия.

Доказательство. Из формулы

$n\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\right)\to\ln(a/b)$

следует, что для достаточно больших

$2^m<2^n\left(4^{2^{-(n-m-1)}}-4^{2^{-(n-m)}}\right)<2^{m+1}$ ,

поскольку предел этого выражения при $n\to\infty$ равен $2^m\ln4$ и $1<\ln4<2$ . Пусть теперь натуральное число, и n>m , n-m и n-m-1 положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как

$2^n\left(\sqrt{}^{n-m-1}{4}-\sqrt{}^{n-m}{4}\right),$

где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень раз, получаем

$2^{m/2^k}<\sqrt{}^k{\left(\sqrt{4^n}\left(\sqrt{}^{n-m-1}{4}-\sqrt{}^{n-m}{4}\right)\right)}<2^{(m+1)/2^k}$ .

Теперь мы можем взять в виде 4(!)^p , так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре -ки. Так как числа $2^{m/2^k}$ для целых и натуральных плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.

Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.

Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число p/q равно m/4(!)^n для подходящих целых значений и .

Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.

Остаются вопросы:

1. Существует ли “точная’’ формула для $\pi$ с менее, чем семью четверками?

2. Существует ли какая-либо точная формула для $\gamma$ ?

3. Являются ли числа $\sqrt{}^n{4(!)^m}$ плотными на множестве x>1 ?

Источник: http://www.mathigon.org/eureka.pdf

Тем, кому интересна тема записи чисел с помощью какой-либо цифры (или нескольких выбранных цифр) предлагаю прочитать также статью Лейба Александровича Штейнгарца в журнале “Квант”: http://kvant.mirror1.mccme.ru/1987/08/iz_chego_ugodno_-_chto_ugodno.htm

Фотография с сайта wikipedia.org

Теги: математика, средняя и старшая школа
Рубрика: Статьи по математике | Отзывы (RSS) | Трекбек

Комментариев: 5

1 Murad:

Не знали свойства целых чисел.Любое целое число n есть степени 10, имеет: – n и +n, +1/ n и -1/ n, нечетное и четное:
- (n + n +…+ n) =-nст.2; – (n x n x…x n) = -nст.n; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -nст.-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + nст.-n.
Ясно, что если любое целое число сложить само себя, то увеличиться в 2 раза, а произведение будет квадратом: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a =a2. Это считали теоремой Виета – ошибка!
Если в данное число добавить и отнять число b, то сумма не меняется, а произведение меняется, например:
X = a + b, Y =a – b, X+Y = a + b + a – b = 2a; XY = (a + b) x (a –b) = a2- b2.
X = a +√b , Y = a -√b , X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2- b.
X = a + bi, Y =a – bi, X+Y = a + bi + a – bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2+ b2.
X = a +√b i, Y = a – √bi, X+Y = a +√bi+ a – √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Если вместо букв a и b поставить целые числа, то получим парадоксы, абсурды, и недоверия математике.

[Ответить]
12 Декабрь 2012, 10:47
2 Елизавета Александровна Калинина:

Это способ нахождения числа $\pi$ , присланный Вячеславом Ларионовым.

Уважаемые читатели сайта, я хочу поделиться с Вами моей находкой алгоритма вычисления числа Пи. Занимаясь построениями правильных многоугольников с числом сторон кратным 2 мне удалось вывести следующую последовательность: $\sqrt 2; \sqrt{2-\sqrt 2}; \sqrt{2-\sqrt{2+√2}}; \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+√2}}}\ldots$ . Члены этой последовательности есть длины сторон правильных 4-х, 8-ми, 16-ти и 32-х сторонних многоугольников, вписанных в окружность с радиусом равным 1. Эту последовательность можно продолжать до бесконечности, добавляя в подкоренное выражение после знака минус в новых скобках число 2 и знак плюс. Общее число цифр 2 в каждом члене последовательности должно быть на единицу меньше логарифма от числа сторон многоугольника по основанию 2. Зная длины сторон, можно вычислить периметры этих многоугольников, которые при стремлении числа сторон к бесконечности будут стремиться к длине окружности. Следовательно, по этой последовательности можно вычислить число Пи с любой точностью. У этой последовательности есть замечательное свойство – для нахождения любого её члена не обязательно вычислять все предыдущие члены, поэтому количество вычислительных действий резко сокращается. Так для вычисления длины стороны многоугольника с числом сторон мне потребовалось, с помощью 32-х разрядного калькулятора, всего несколько минут, чтобы вычислить длину его стороны $x_{1024}=0,0061359\ldots$ и получить приблизительное значение $\pi$ с точностью по 4-й знак включительно после запятой, $\pi= 3,1415887\ldots$ . Вычисления производятся в следующей последовательности. К корню квадратному из 2 прибавляется 2, из полученной суммы извлекается корень квадратный, к этому результату прибавляется следующая двойка и из результата опять извлекается корень квадратный и так далее пока не закончатся все двойки после знака минус (для $x_{1024} это 8 двоек), затем из 2 вычитается последний корень и из этой разницы извлекается квадратный корень который и будет равен стороне$ N\pi1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-\ldots= \pi/4\pi$$ с его геометрическим представлением и необходимо доказательство этого равенства. К тому же этот ряд требует проводить последовательно вычисления каждой суммы, что значительно увеличивает объём вычислений.
/ В.В.Ларионов /.

[Ответить]
30 Декабрь 2014, 22:59
3 vasil stryzhak:

Созданный древними математиками метод вычисления длинны окружности посредством вписанных и описанных в окружность многоугольников оставался основным на протяжении почти двух тысячелетий. Новая эра в решении данной задачи пришла с развитием математического анализа, методов дифференциального и интегрального исчислений, когда было найдено много определенных бесконечно сходящихся рядов, приводящих к числу π.
Ряд, предложенный Вячеславом известен давно. Его автором является индийский математик и астроном VI в. Ариабхата. Формула основана на удвоении сторон вписанного в окружность многоугольника, где в качестве исходного выбран квадрат. Ознакомиться можно в познавательной книге А.В. Жукова «Вездесущее число π» (стр.131,1320), скачав ее с http://techlibrary.ru каталога научно-технической литературы. В III веке н.э. математик Лю Хуэй из царства Вэй вычислял длину окружности от исходного вписанного правильного шестиугольника аналогичным итеративным алгоритмом. Об этом информация есть ru.wikipedia.org›Пи (число) . Интерес представляет описание данного ряда в качестве формулы Антифонта на сайте altera-pars.narod.ru›Qadra/form_A.htm . В виду того, что Вячеслав получил последовательность самостоятельно, можно считать его результат неплохим.

[Ответить]
Вячеслав Reply:
Январь 27th, 2015 at 22:09
vasil stryzhak, мне не удаётся скачать и открыть файл с книгой А.В.Жукова. Подскажите как это сделать.

[Ответить]
vasil stryzhak Reply:
Январь 28th, 2015 at 23:35
Вячеслав, на сайте технической библиотеки книги загружаются без проблем, достаточно открыть раздел «Алфавитный каталог» и найти автора. Кстати, здесь есть ряд других интересных популярных книг по математике и не только. Не открытие файла возможно связано с отсутствием программного обеспечения для просмотра книг в формате djvu. Его можно загрузить, например, тоже с данного сайта, если открыть раздел «Программы» или интернета.

[Ответить]
8 Январь 2015, 15:10