Число пи четверками

Джон Конуэй, Майкл Гай

Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре

    \[4\]

-ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа

    \[\pi\]

.

Разрешены символы

    \[+,-,\times\]

и

    \[\div\]

, обычные обозначения для корней

    \[\sqrt{\mbox{ }}\]

и

    \[\sqrt[4]{\mbox{ }}\]

, степени, факториалы и десятичные обозначения

    \[44.\]

и

    \[.4\]

. Само число

    \[\pi\]

, логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе

    \[\pi=\sqrt{\left(-\sqrt{4}/4\right)!^4}\]

. Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как

    \[.\sqrt{4}\]

.

Например,

    \[\displaystyle\sqrt{\sqrt{\left(\frac{4!!+4}{4!!}\right)^{4!!}}}\]


очень хорошее приближение

    \[e\]

, и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку

    \[n/\sqrt[n]{n!}\to e\]

при

    \[n\to\infty\]

.

Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так,

    \[n\sqrt[n]{a}-n\to{\rm ln}\, a\]

, так что можно получить последовательность приближений

    \[\ln 2,\ln5\]

и

    \[{\rm log}_ba\]

(например,

    \[\lg2\]

или

    \[\lg3\]

). В нашем лучшем результате такого вида для

    \[\pi\]

используется семь четверок, и он выведен из формулы

    \[\displaystyle\pi=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^nn!}{\sqrt{\sqrt{n}}\sqrt{(2n)!}}\right)^4\]

.

Также можно записать

    \[\ln\pi\]

с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера

    \[\gamma\]

.

Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре

    \[4\]

-ки и обычные действия.

Доказательство. Из формулы

    \[n\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}\right)\to\ln(a/b)\]

следует, что для достаточно больших

    \[n\]

    \[2^m<2^n\left(4^{2^{-(n-m-1)}}-4^{2^{-(n-m)}}\right)<2^{m+1}\]

,

поскольку предел этого выражения при

    \[n\to\infty\]

равен

    \[2^m\ln4\]

и

    \[1<\ln4<2\]

. Пусть теперь

    \[m\]

натуральное число, и

    \[n>m\]

,

    \[n-m\]

и

    \[n-m-1\]

положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как

    \[2^n\left(\sqrt{}^{n-m-1}{4}-\sqrt{}^{n-m}{4}\right),\]

где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень

    \[k\]

раз, получаем

    \[2^{m/2^k}<\sqrt{}^k{\left(\sqrt{4^n}\left(\sqrt{}^{n-m-1}{4}-\sqrt{}^{n-m}{4}\right)\right)}<2^{(m+1)/2^k}\]

.

Теперь мы можем взять

    \[n\]

в виде

    \[4(!)^p\]

, так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре

    \[4\]

-ки. Так как числа

    \[2^{m/2^k}\]

для целых

    \[m\]

и натуральных

    \[k\]

плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.

Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.

Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число

    \[p/q\]

равно

    \[m/4(!)^n\]

для подходящих целых значений

    \[m\]

и

    \[n\]

.

Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.

Остаются вопросы:

1. Существует ли “точная’’ формула для

    \[\pi\]

с менее, чем семью четверками?

2. Существует ли какая-либо точная формула для

    \[\gamma\]

?

3. Являются ли числа

    \[\sqrt{}^n{4(!)^m}\]

плотными на множестве

    \[x>1\]

?

Источник: http://www.mathigon.org/eureka.pdf

Тем, кому интересна тема записи чисел с помощью какой-либо цифры (или нескольких выбранных цифр) предлагаю прочитать также статью Лейба Александровича Штейнгарца в журнале “Квант”: http://kvant.mirror1.mccme.ru/1987/08/iz_chego_ugodno_-_chto_ugodno.htm

Фотография с сайта wikipedia.org

Комментариев: 5

  1. 1 Murad:

    Не знали свойства целых чисел.Любое целое число n есть степени 10, имеет: – n и +n, +1/ n и -1/ n, нечетное и четное:
    - (n + n +…+ n) =-nст.2; – (n x n x…x n) = -nст.n; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -nст.-n;
    + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + nст.-n.
    Ясно, что если любое целое число сложить само себя, то увеличиться в 2 раза, а произведение будет квадратом: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a =a2. Это считали теоремой Виета – ошибка!
    Если в данное число добавить и отнять число b, то сумма не меняется, а произведение меняется, например:
    X = a + b, Y =a – b, X+Y = a + b + a – b = 2a; XY = (a + b) x (a –b) = a2- b2.
    X = a +√b , Y = a -√b , X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2- b.
    X = a + bi, Y =a – bi, X+Y = a + bi + a – bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2+ b2.
    X = a +√b i, Y = a – √bi, X+Y = a +√bi+ a – √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
    Если вместо букв a и b поставить целые числа, то получим парадоксы, абсурды, и недоверия математике.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Это способ нахождения числа

        \[\pi\]

    , присланный Вячеславом Ларионовым.

    Уважаемые читатели сайта, я хочу поделиться с Вами моей находкой алгоритма вычисления числа Пи. Занимаясь построениями правильных многоугольников с числом сторон кратным 2 мне удалось вывести следующую последовательность:

        \[\sqrt 2; \sqrt{2-\sqrt 2}; \sqrt{2-\sqrt{2+√2}}; \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+√2}}}\ldots\]

    . Члены этой последовательности есть длины сторон правильных 4-х, 8-ми, 16-ти и 32-х сторонних многоугольников, вписанных в окружность с радиусом равным 1. Эту последовательность можно продолжать до бесконечности, добавляя в подкоренное выражение после знака минус в новых скобках число 2 и знак плюс. Общее число цифр 2 в каждом члене последовательности должно быть на единицу меньше логарифма от числа сторон многоугольника по основанию 2. Зная длины сторон, можно вычислить периметры этих многоугольников, которые при стремлении числа сторон к бесконечности будут стремиться к длине окружности. Следовательно, по этой последовательности можно вычислить число Пи с любой точностью. У этой последовательности есть замечательное свойство – для нахождения любого её члена не обязательно вычислять все предыдущие члены, поэтому количество вычислительных действий резко сокращается. Так для вычисления длины стороны многоугольника с числом сторон

        \[2^10 = 1024\]

    мне потребовалось, с помощью 32-х разрядного калькулятора, всего несколько минут, чтобы вычислить длину его стороны

        \[x_{1024}=0,0061359\ldots\]

    и получить приблизительное значение

        \[\pi\]

    с точностью по 4-й знак включительно после запятой,

        \[\pi= 3,1415887\ldots\]

    . Вычисления производятся в следующей последовательности. К корню квадратному из 2 прибавляется 2, из полученной суммы извлекается корень квадратный, к этому результату прибавляется следующая двойка и из результата опять извлекается корень квадратный и так далее пока не закончатся все двойки после знака минус (для

        \[x_{1024} это 8 двоек), затем из 2 вычитается последний корень и из этой разницы извлекается квадратный корень который и будет равен стороне\]

    N

        \[-угольника. В Википедии такого простого и очевидного алгоритма вычисления\]

    \pi

        \[я не нашел. В ней наиболее простой алгоритм дан на основе ряда Лейбница:\]

    1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-\ldots= \pi/4

        \[. Но этот ряд не отражает связь числа\]

    \pi с его геометрическим представлением и необходимо доказательство этого равенства. К тому же этот ряд требует проводить последовательно вычисления каждой суммы, что значительно увеличивает объём вычислений.
    / В.В.Ларионов /.

    [Ответить]

  3. 3 vasil stryzhak:

    Созданный древними математиками метод вычисления длинны окружности посредством вписанных и описанных в окружность многоугольников оставался основным на протяжении почти двух тысячелетий. Новая эра в решении данной задачи пришла с развитием математического анализа, методов дифференциального и интегрального исчислений, когда было найдено много определенных бесконечно сходящихся рядов, приводящих к числу π.
    Ряд, предложенный Вячеславом известен давно. Его автором является индийский математик и астроном VI в. Ариабхата. Формула основана на удвоении сторон вписанного в окружность многоугольника, где в качестве исходного выбран квадрат. Ознакомиться можно в познавательной книге А.В. Жукова «Вездесущее число π» (стр.131,1320), скачав ее с http://techlibrary.ru каталога научно-технической литературы. В III веке н.э. математик Лю Хуэй из царства Вэй вычислял длину окружности от исходного вписанного правильного шестиугольника аналогичным итеративным алгоритмом. Об этом информация есть ru.wikipedia.org›Пи (число) . Интерес представляет описание данного ряда в качестве формулы Антифонта на сайте altera-pars.narod.ru›Qadra/form_A.htm . В виду того, что Вячеслав получил последовательность самостоятельно, можно считать его результат неплохим.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    vasil stryzhak, мне не удаётся скачать и открыть файл с книгой А.В.Жукова. Подскажите как это сделать.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Вячеслав, на сайте технической библиотеки книги загружаются без проблем, достаточно открыть раздел «Алфавитный каталог» и найти автора. Кстати, здесь есть ряд других интересных популярных книг по математике и не только. Не открытие файла возможно связано с отсутствием программного обеспечения для просмотра книг в формате djvu. Его можно загрузить, например, тоже с данного сайта, если открыть раздел «Программы» или интернета.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение