Распечатать запись Распечатать запись

Теорема о промежуточном значении в геометрических задачах

Первое объявление: “Лифт поднимается только на третий этаж (минуя второй).

Второе объявление: “Это невозможно. Подпись: Больцано”.


Сначала приведем формулировку теоремы Больцано — Коши, или теоремы о промежуточном значении — важного свойства вещественных непрерывных функций.

Теорема. Если функция f непрерывна в каждой точке отрезка [a,b], то любое число, лежащее между f(a) и f(b), является значением функции f в некоторой точке отрезка [a,b].

Пусть M лежит между f(a) и f(b). Доказательство теоремы о промежуточном значении в формулировке, приведенной выше, следует из доказательства, приведенного здесь, если рассмотреть функцию F(x)=M-f(x).

Теперь давайте рассмотрим задачи из задачника М. Башмакова, Б. Беккера, В. Гольхового и Ю. Ионина, в которых нужно применять теорему о промежуточном значении.

Задача 1. Многоугольник M и прямая l лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная l, которая разбивает многоугольник на два равновеликих многоугольника.

Показать решение

Задача 2. Многоугольник M и точка A лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, проходящая через точку A и разбивающая M на два равновеликих многоугольника.

Показать решение

Фотография взята отсюда: http://gaussianos.com/una-de-humor-matematico-ii/

Комментариев: 3

  1. 1 Лейб:

    В решении задачи 2 написано, что
    .
    /// Любая прямая, проходящая через центр тяжести многоугольника, делит его на два равновеликих многоугольника. ///
    .
    К сожалению, это довольно распространенное мнение, является ОШИБОЧНЫМ.
    Например, в любом треугольнике, как известно, центром тяжести является точка пересечения медиан.
    .
    Проведем через центр тяжести равностороннего треугольника прямую, параллельную одной из сторон. Эта прямая отсечет от данного треугольника другой треугольник – маленький.
    При этом высота маленького треугольника составляет 2/3 от высоты большого.
    Следовательно, площадь маленького треугольника будет составлять 4/9 площади большого.
    .
    Но это – НЕ ПОЛОВИНА площади большого треугольника.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Извиняюсь, приведенная цитата взята из решения к задаче 1.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лейб Александрович. спасибо! Конечно же, Вы правы.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение