Теорема о промежуточном значении в геометрических задачах
Первое объявление: “Лифт поднимается только на третий этаж (минуя второй).
Второе объявление: “Это невозможно. Подпись: Больцано”.
Сначала приведем формулировку теоремы Больцано — Коши, или теоремы о промежуточном значении — важного свойства вещественных непрерывных функций.
Теорема. Если функция непрерывна в каждой точке отрезка
, то любое число, лежащее между
и
, является значением функции
в некоторой точке отрезка
.
Пусть лежит между
и
. Доказательство теоремы о промежуточном значении в формулировке, приведенной выше, следует из доказательства, приведенного здесь, если рассмотреть функцию
.
Теперь давайте рассмотрим задачи из задачника М. Башмакова, Б. Беккера, В. Гольхового и Ю. Ионина, в которых нужно применять теорему о промежуточном значении.
Задача 1. Многоугольник и прямая
лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная
, которая разбивает многоугольник на два равновеликих многоугольника.
Задача 2. Многоугольник и точка
лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, проходящая через точку
и разбивающая
на два равновеликих многоугольника.
Фотография взята отсюда: http://gaussianos.com/una-de-humor-matematico-ii/
1 Лейб:
В решении задачи 2 написано, что

.
/// Любая прямая, проходящая через центр тяжести многоугольника, делит его на два равновеликих многоугольника. ///
.
К сожалению, это довольно распространенное мнение, является ОШИБОЧНЫМ.
Например, в любом треугольнике, как известно, центром тяжести является точка пересечения медиан.
.
Проведем через центр тяжести равностороннего треугольника прямую, параллельную одной из сторон. Эта прямая отсечет от данного треугольника другой треугольник – маленький.
При этом высота маленького треугольника составляет 2/3 от высоты большого.
Следовательно, площадь маленького треугольника будет составлять 4/9 площади большого.
.
Но это – НЕ ПОЛОВИНА площади большого треугольника.
[Ответить]
Лейб Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 9:20
Извиняюсь, приведенная цитата взята из решения к задаче 1.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 11:59
Лейб Александрович. спасибо! Конечно же, Вы правы.
[Ответить]