Теорема о промежуточном значении в геометрических задачах
Первое объявление: “Лифт поднимается только на третий этаж (минуя второй).
Второе объявление: “Это невозможно. Подпись: Больцано”.
Сначала приведем формулировку теоремы Больцано — Коши, или теоремы о промежуточном значении — важного свойства вещественных непрерывных функций.
Теорема. Если функция 
непрерывна в каждой точке отрезка ![[a,b]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d5a36a58abbb8baa651f5e3cfbe8035_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, то любое число, лежащее между 
и 
, является значением функции в некоторой точке отрезка .
Пусть 
лежит между и . Доказательство теоремы о промежуточном значении в формулировке, приведенной выше, следует из доказательства, приведенного здесь, если рассмотреть функцию 
.
Теперь давайте рассмотрим задачи из задачника М. Башмакова, Б. Беккера, В. Гольхового и Ю. Ионина, в которых нужно применять теорему о промежуточном значении.
Задача 1. Многоугольник и прямая 
лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная , которая разбивает многоугольник на два равновеликих многоугольника.
обозначим через 
площадь фигуры, состоящей из всех точек многоугольника 
. Тогда для любых чисел 
и ![\[|f(x)-f(a)|\le p|x-a|,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aabee9d70c6cc65fe167d4c85ce8a53f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a).\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bdb26089af42494a0f1ec3fc7d86099b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
— площадь многоугольника 
и 
, что 
. Но тогда для некоторого числа 
выполняется равенство 
.Задача 2. Многоугольник и точка 
лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, проходящая через точку и разбивающая на два равновеликих многоугольника.
точку с координатами 
, а через 
— площадь фигуры, состоящей из всех точек многоугольника 
, где ![\beta\in[\alpha;\alpha+\pi]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2971a5a01bad1d5e32496f94f0908f12_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Функция ![\[\alpha\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3263de5d6be4c5ee85b26245bccf4ad8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[f(\alpha)+f(\alpha+\pi)\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b62d513c6e79709625483ffad54be56d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[S\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-564d18bf42d38675fe779207978e64f4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, то 
, а если 
, то 
, и в любом случае существует число Фотография взята отсюда: http://gaussianos.com/una-de-humor-matematico-ii/
1 Лейб:
В решении задачи 2 написано, что
.
/// Любая прямая, проходящая через центр тяжести многоугольника, делит его на два равновеликих многоугольника. ///
.
К сожалению, это довольно распространенное мнение, является ОШИБОЧНЫМ.
Например, в любом треугольнике, как известно, центром тяжести является точка пересечения медиан.
.
Проведем через центр тяжести равностороннего треугольника прямую, параллельную одной из сторон. Эта прямая отсечет от данного треугольника другой треугольник – маленький.
При этом высота маленького треугольника составляет 2/3 от высоты большого.
Следовательно, площадь маленького треугольника будет составлять 4/9 площади большого.
.
Но это – НЕ ПОЛОВИНА площади большого треугольника.
[Ответить]
Лейб Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 9:20
Извиняюсь, приведенная цитата взята из решения к задаче 1.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 11:59
Лейб Александрович. спасибо! Конечно же, Вы правы.
[Ответить]