Распечатать запись Распечатать запись

Необоснованная неэффективность математического образования

Алекс Рейнхарт

В американских школах математика преподается как темные искусства. Узнайте эти священные методы, и вы станете магистром древних символов. Вы должны запомнить алгоритмы, чтобы мы считали это удовлетворительным, или ваша работа на экзамене будет настолько плоха, что будут вынуждены снизить проходной балл. Не обращайте внимания на основополагающие принципы, доказательства, дифференцирование — вы узнаете это все позже в установленном порядке.

Почему? Почему математика? Потому что вам она нужна, вот почему. Вы будете использовать ее при изучении физики. И я уверена, что могу привести примеры того, как вы будете использовать математику в “реальной жизни’’, независимо от выбранной карьеры, может быть. Верно? Верно. Я знаю, что инженеры должны уметь решать дифференциальные уравнения, например, а прежде чем вы сможете это делать, вам нужно изучить логарифмы. Так что вернемся к главе 14 и продолжим работу.

Это то, что мы говорим нашим детям, и неудивительно, что так мало учеников интересуются математикой. Спросите любого математика. Специальность математика подразумевает не запоминание некоторых формул и обучение, как перемножать многочлены. Это… ну, это что-то гораздо более глубокое. Это интересно. Но что же именно?

Правила правила правила

Вселенная, оказывается, работает по правилам. Гравитация притягивает нас к земле одинаково каждый день. Свет ведет себя точно так же в течение миллионов лет. Движущиеся объекты стремятся оставаться в движении, если на них не действуют внешние силы. Магниты и электричество подчиняется сегодня тем же законам, что и в 1860-х годах, когда Максвелл открыл эти законы.

Большая часть человеческого мира также подчиняется правилам. Проценты и сборы накапливаются на счетах в банках в соответствии с правилами, изложенными очень мелким шрифтом на листах бумаги, которые сразу же отказываются принимать во внимание владельцы счетов. Интернет-трафик накапливается в буферы и направляется к месту назначения в соответствии со сложными наборами стандартов. Модули управления двигателями выполняют операции, считанные сенсорными датчиками из миллионов строк кода и обрабатывают инструкции оператора, чтобы поддерживать синхронную работу поршней с низкой эмиссией. Автопилот самолета использует умные математические алгоритмы, чтобы определить, как удержать металлические трубки с крыльями от падения с неба.

Я могла бы продолжать, но вы уже поняли идею. Многие вещи подчиняются определенному набору правил. Как мы можем точно выразить эти правила так, чтобы они были полезны?

Мы могли бы использовать английский (или испанский, или любой другой выбранный язык), но язык, как известно, неоднозначен, с ним сложно работать. Точное описание уравнений электродинамики Максвелла на английском языке заняло бы много страниц, и что еще более важно, с полученным результатом было бы невозможно работать.

В конце концов, вы хотите использовать когда-то изложенные правила: делать прогнозы о поведении реальности, изобретать новые устройства, или вычислить, сколько еще коробок лапши быстрого приготовления вы можете себе позволить до получения зарплаты.

Как перейти от общих мировых правил к определенным правилам, которые описывают то, что будет происходить в данной конкретной ситуации? Если правила написаны на английском языке, я ограничена одним методом (этот метод известен как алгоритм Фейнмана решения задач, но он работает только в том случае, если вы — Ричард Фейнман):

1. Записать правила и положения.
2. Подумать очень много.
3. Записать ответ.

Нет системы, по которой я могу манипулировать правилами, написанными на английском языке и получать новые факты о конкретной ситуации. Если бы я дала вам правила Монополии, вы могли бы выяснить, какие предприятия лучше для инвестиций, основываясь на ожидаемой вероятности того, что игрок попадет на поле с каждым предприятием? (Если вы вынуждены прибегать к математике, вы доказали мою точку зрения.)

Правила не будут полезными, если мы не сможем их использовать. К счастью, у нас есть математика.

Математика — это просто куча кирпичиков Lego

Забудьте про математику, которую вы узнали в школе. Давайте думать о математике абстрактно. Математика по своей сути является очень простым набором хорошо определенных правил. Правила описывают поведение и взаимодействие некоторых полностью воображаемых объектов. По этим правилам математики создали другие. Объединив правила, математики продемонстрировали некоторые свойства этих воображаемых объектов: когда определенные объекты расположены определенным образом, правила показывают, что они должны обладать определенными свойствами.

Вдобавок ко всем этим правилам математики создали вселенную. Обитающие в этой вселенной различные объекты: тензоры, матрицы, группы, гильбертовы пространства, обычные числа, комплексные числа, и так далее, и так далее, — определяются математическими наборами правил, которым они подчиняются. Многие из этих правил на самом деле определяются в терминах комбинаций гораздо более простых правил. Если математик хочет знать, как некий математический объект ведет себя при определенных обстоятельствах, он должен просто применять простые правила творческим способом, чтобы обнаружить то, что должно быть правдой.

Это очень похоже на то, что у вас есть чрезвычайно большая и сложная конструкция из кирпичиков Lego и вам нужно выяснить, что она делает и как работает. Кирпичики Lego чрезвычайно просты, и вы знаете, как именно они работают. Неуклюжие создания, которые вы получили, сделаны из кирпичиков Lego, поэтому вы должны просто принять то, что вы знаете об отдельных кирпичах, и разобраться, что происходит, когда они соединены вместе. Достаточно скоро вы разберетесь, что делает короткий обрубок слева, и вам больше не придется беспокоиться об отдельных кирпичах: вы просто знаете, что это фробнулятор, и теперь вы понимаете, как фробнулятор работает. В конце концов, изрядно поработав, вы сможете сделать вывод, что делает вся машина, и записать набор правил, описывающих ее поведение. Вы можете забыть об отдельных кирпичах и беспокоиться только обо всем творении.

Объекты математической конструкции являются почти такими же, хотя они причиняют намного меньше боли, если проходить сквозь них (хотя я как-то подвернула лодыжку, наступив на возмущенный гамильтониан).

Клееный Lego

Математика в старшей школе не сосредоточена на основных правил и конструкциях математики, они очень абстрактные, строго определены и сложны их связи с физической реальностью. Наша учебная программа вместо этого фокусируется на определенных конструкциях, которые относятся к реальности. Геометрия, например, основана на очень простом наборе правил, но позволяет доказать утверждения о реальных объектах в трехмерном пространстве. Умный математик может владеть правилами и основными фактами, чтобы узнать о всяких сложных формах, не выходя за пределы двумерного мира на листе бумаги.

Но этому умению не учат в школе. Школьная математика есть запоминание построенных математических объектов, а не обучение владению простыми правилами для построения новых объектов и анализа их поведения.

Математика в школе тогда очень похожа на выданный набор самолетов Lego, которые тщательно склеили. Вы можете узнать, как они работают, но у вас нет возможности разобрать их, и вы не имеете ни малейшего представления, как строить новые. Если вы когда-либо встретите эти самолеты снова, ваши знания будут полезны, иначе какой смысл? Это как 8-классник жалуется, что он никогда в своей жизни больше не будет использовать квадратное уравнение.

Но что вы можете сделать с основными правилами математики? Зачем нам это нужно?

Мы уже обсуждали, как много знакомых частей реальности подчиняется правилам. Для многих, таких как электромагнетизм, мы понятия не имеем, как Вселенная “умеет’’ следовать этим правилам, или почему она должна использовать эти правила, а не какой-то другой набор. Но мы можем строить сложные математические объекты, которые в некотором смысле являются совершенно аналогичными объектам физическим. Мы можем построить математический объект, который представляет собой электрическое поле, указать правила, которым он подчиняется, и использовать эти правила, чтобы разобраться, что происходит, когда математический объект, представляющий электрон, начинает блуждать.

Или мы могли бы разработать математические правила колебания раскрученной и брошенной в воздух тарелки (здесь под “мы’’ следует понимать Ричарда Фейнмана).

Или мы могли бы разработать правила, описывающие сцепление шины легкового автомобиля с дорожным покрытием в различных атмосферных условиях.

Или правила, описывающие, как мебель можно расположить в свободном пространстве вашей гостиной.

Или правила, описывающие ваш пенсионный план.

Или правила, описывающие… ну, все, что вы можете придумать, что может следовать правилам. Возможно, математики еще не разработали математические объекты, которые ведут себя по этим правилам, или, возможно, они есть, но непонятно, как ими манипулировать. Может быть, вы можете записать набор правил, но это ужасно сложно, так что компьютеру нужны годы, чтобы определить, что произойдет через десять секунд после того, как вы щелкнете выключателем. Но правила существуют, и математика, так или иначе, вероятно, может описать их.

Мы не должны научить наших учеников математике, потому что мы хотим, чтобы они критически мыслили, для этого они могут анализировать эссе и литературу или изучать философию. Мы не должны учить наших учеников быть человеком-калькулятором и выполнять простые арифметические действия, что является важной, но вряд ли самой полезной частью математики.

Мы должны научить наших учеников математике, потому что они могут использовать ее для описания реальности. Они могут использовать ее, чтобы обнаружить факты о Вселенной. Факты о своих пенсионных фондах, своих гостиных, и скорость потребления пищи рыбой в своих аквариумах.

Математика является инструментом для изучения реальности. Мы должны научить наших учеников использовать его.

Источник: http://www.refsmmat.com/articles/unreasonable-math.html

Один комментарий

  1. 1 zbl:

    > Математика по своей сути является очень простым набором хорошо определенных правил.
    > Вдобавок ко всем этим правилам математики создали вселенную.
    > Но что вы можете сделать с основными правилами математики?
    > Зачем нам это нужно?
    > Мы уже обсуждали, как много знакомых частей реальности подчиняется правилам.

    Между прочим, решительно все западные учебники построены по этому принципу: с неба упала теория и всё, что осталось сделать — приложить её к реальности. Так сложилось чисто исторически. Но ребёнок сразу чувствует, что такая наука ему не нужна и отторгает её, не осознавая почему. Теория-то откуда взялась? Фейнман озарился? Ну, так пусть он дальше озаряется, а я пойду пива попью с друзьями, чтобы ему не мешать. Это буквально инстинкт: мозг так устроен, что оптимизирует свою работу. В данном случае у ребёнка срабатывает именно механизм такой оптимизации. И ребёнок в том совершенно прав: если бы наука была такой, она бы ему была действительно не нужна.

    Право, меня таки передёргивает, когда начинают петь на темы, там, что проективная геометрия возникла в уме у математиков из эстетических соображений или, что теория чисел не нужна на практике. Да как же язык поворачивается? Как же язык поворачивается, если, посмотрев вокруг себя ты видишь проективную плоскость? Как же язык поворачивается, если асимптотики спектров — это задача теории чисел о количестве целочисленных точек плоскости, попавших внутрь эллипса? Как можно говорить подобное на голубом глазу, не крякнув? Или они совсем уже реальностью перестали интересоваться? Ушли в астрал совсем?

    Да нет же. Вокруг тебя вся эта математика. Ты с ней постоянно сталкиваешься каждый день и каждый час. Вокруг тебя вся эта тензорная алгебра и неевклидова геометрия — в быту, в повседневной жизни вокруг тебя. От туда она и взялась. Люди смотрели по сторонам и открывали закономерности, которые потом пытались максимально точно описать. Так и тебе для жизни приходится многое понять и многому научиться прежде, чем нитку в иголку вдеть сумеешь. Ты просто не помнишь уже, как учился это делать. А наука даёт возможность самому понимать и учиться, а не ждать, пока мама покажет, как это надо делать. И везде, в быту, на работе — везде и всегда, по любому поводу. Как же вот это всё можно так преподавать, что оно становится непонятным и неинтересным? Еже ли оно всё вот здесь, вокруг вот рядом везде и насквозь? До какого маразма нужно дойти, чтобы это вот всё дети пыткой называли?

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение