Распечатать запись Распечатать запись

Элементарное доказательство иррациональности числа e

Конечно же, “элементарность’’ данного доказательства относительна. Однако оно должно быть понятно студенту первого курса вуза, изучающему высшую математику.

Будем доказывать от противного. Предположим, что

\displaystyle e=\frac{a}{b},

где a и b — натуральные числа.

Учитывая данное равенство и рассматривая разложение e^x в ряд:

\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},

получаем следующее равенство:

\displaystyle\frac{b}{a}=e^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!} .

Представим данную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых — сумма членов ряда по n от 0 до a, а второе — сумма всех остальных членов ряда:

\displaystyle\frac{b}{a}=\sum_{n=0}^{a}\frac{(-1)^n}{n!}+ \sum_{n=a+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!} .

Теперь перенесем первую сумму в левую часть равенства:

\displaystyle\frac{b}{a}-\sum_{n=0}^{a}\frac{(-1)^n}{n!}= \sum_{n=a+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!} .

Умножим обе части полученного равенства на (-1)^{a+1}a!. Получим

\displaystyle(-1)^{a+1}a!\cdot \frac{b}{a}-(-1)^{a+1}a!\cdot\sum_{n=0}^{a}\frac{(-1)^n}{n!}= (-1)^{a+1}\cdot a!\cdot\sum_{n=a+1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!} .

Теперь упростим полученное выражение:

\displaystyle(-1)^{a+1}(a-1)!\cdot b-(-1)^{a+1}\cdot\sum_{n=0}^{a}(-1)^n \frac{a! }{n!}= (-1)^{a+1}\cdot \sum_{n=a+1}^{\infty}(-1)^n \frac{a! }{n!} .

Рассмотрим левую часть полученного равенства. Очевидно, что число (-1)^{a+1}a!\cdot b целое. Целым является также и число \displaystyle -(-1)^{a+1}\cdot\sum_{n=0}^{a}(-1)^n \frac{a! }{n!}, поскольку n\le a (отсюда следует, что все числа вида \displaystyle (-1)^n \frac{a! }{n!} целые). Тем самым левая часть полученного равенства — целое число.

Перейдем теперь к правой части. Эта сумма имеет вид

\displaystyle\sum_{n=a+1}^{\infty}(-1)^{a+n+1}\cdot\frac{a!}{n!}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)}-\ldots

По признаку Лейбница этот ряд сходится, и его сумма S есть вещественной число, заключенное между первым слагаемым и суммой первых двух слагаемых (со знаками), т.е.

\displaystyle\frac{1}{a+1}\ge S\ge \frac{1}{a+1}-\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{a+1}{(a+1)(a+2)}=\frac{1}{a+2}.

Оба эти числа при a>1 лежат между 0 и 1. Следовательно, 0< S<1, т.е. S — правая часть равенства — не может быть целым числом. Получили противоречие: целое число не может быть равно числу, которое не является целым.

Это противоречие доказывает, что число e не является рациональным.

Источник: http://gaussianos.com/demostracion-elemental-de-que-el-numero-e-es-irracional/

Комментариев: 7

  1. 1 Зоя Гребнева:

    интересно, как это n от 0?! Ведь оно в знаменателе

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Зоя, по определению 0!=1.

    [Ответить]

  2. 2 Алексей:

    А почему не через цепную дробь ?

    [Ответить]

  3. 3 Александр:

    Хорошее доказательство, понятное. Думается мне, и иррациональность других чисел можно доказывать разложением в ряд – отделением “целой части”, и демонстрацией противоречия целое-дробное. Главная проблема найти подходящий ряд…

    [Ответить]

  4. 4 Влад:

    После упрощения допущена небольшая ошибка. У вас было произведение а! и b/а, которое очевидно равно (а-1)!.

    У вас же было а!*b /a, а стало а!*b.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила!

    [Ответить]

  5. 5 Святослав:

    1.Доказательство является примерами дедуктивного рассуждения и отличаются от индуктивных или эмпирических аргументов. Доказательство должно продемонстрировать, что доказываемое утверждение всегда верно, иногда путем перечисления всех возможных случаев и показывая, что утверждение выполняется в каждом из них. Доказательство может опираться на очевидные или общепринятые явления или случаи, известные как аксиомы. Вопреки этому, доказывается иррациональность “корня квадратного из двух”.
    2.Вмешательство топологии здесь объясняется самой природой вещей, что означает, что чисто алгебраического способа доказательства иррациональности, в частности, исходя из рациональных чисел нет.Вот пример, за вами право выбора: 1+1/2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 или 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
    Если вы примете 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, что считается “алгебраическим” подходом, то совсем не составляет труда показать, что существует n/m ∈ ℚ, которое на бесконечной последовательности является иррациональным и конечным числом.Это подсказывает, что иррациональные числа являются замыканием поля ℚ, но это относится к топологической особенности.
    Так для чисел Фибоначчи, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim{F(k+1)/F(k)} = φ
    Это лишь показывает, что существует непрерывный гомоморфизм ℚ → I, и можно показать строго, что существования такого изоморфизма не является логическим следствием алгебраических аксиом.

    из сообщества Mathematics & +Google

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение