Пары Рута – Аарона

Хэнк Аарон

Теплым облачным вечером 8 апреля 1974 года подающий левша “Доджерсов” Эл Даунинг бросил высокий фастбол в страйк-зону Хэнка Аарона. В 21.07 Аарон отбил мяч и послал его далеко за пределы поля. Толпа зрителей в 53 775 человек, поддерживавших “Атланту” у себя на поле, взревела, поскольку 715-й хоум ран Аарона затмил рекордные 714 хоум ранов Бэйба Рута 1935 года. “Я просто возблагодарил Бога за все,’’ — сказал Аарон, выражая такое же облегчение, которое испытывает математик после того как он решил задачу, которую не могли решить в течение сорока лет. Числа 714 и 715 были на устах болельщиков “Атланты” в течение нескольких месяцев, как вспоминал математик из университета Джорджии Карл Померанс, и вопросы типа “Когда, ты думаешь, он добьется 715?’’ были совершенно понятны, даже если при этом не упоминались Рут, Аарон и хоум раны.  В то время Померанс был молодым старшим преподавателем, он заметил, что произведение чисел 714 и 715 равно произведению первых семи простых чисел:

    \[714\cdot715=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17 .\]

Студент одного из коллег Померанса также нашел одно из интересных свойств пары чисел 714 и 715: сумма простых делителей 714 равна сумме простых делителей 715, то есть

    \[714=2\cdot3\cdot7\cdot17,\qquad 715=5\cdot11\cdot13,\]

    \[2+3+7+17=5+11+13 .\]

Померанс назвал пары последовательных натуральных чисел, имеющих данное свойство, парами Рута — Аарона. Такие пары встречаются исключительно редко. Померанс искал их на компьютере, и среди 20000 первых натуральных чисел нашел только двадцать шесть таких пар, начиная от чисел 5 и 6 и заканчивая числами 18490 и 18491. Хотя пар становится меньше с возрастанием чисел, что характерно также и для простых чисел, Померанс подозревал, что пар Рута — Аарона бесконечно много. Однако у него не было идей, как доказать эту догадку. Померанс опубликовал легкомысленную статью в “Журнале развлекательной математики’’ (Journal of Recreational Mathematics). Через неделю после публикации статьи Померансу позвонил Эрдёш, которого тот никогда не видел, и сказал, что он доказал его гипотезу. Эрдёш также хотел, чтобы его пригласили в Атланту для демонстрации доказательства. Их последующая встреча была началом сотрудничества, результатом которого явилась 21 публикация.

В 1995 году Эрдёшу и Аарону были присуждены почетные степени университета Эмори. Померанс рассказал королю пробежек все о числах Рута — Аарона. “Он был джентльменом,’’ — рассказывал Померанс, — “и терпеливо слушал, как я объяснял ему, что то, что он сделал, изменило жизнь одного маленького математика’’. Померанс убедил Эрдёша и Аарона оставить ему автографы на бейсбольном мяче.

Источник: Paul Hoffman, The man who loved only numbers.
Правила игры в бейсбол здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Бейсбол

Комментариев: 5

  1. 1 Лейб:

    Заметка, как мне кажется, очень интересная.
    Понравились описанные свойства чисел 714 и 715.
    Появилось желание найти еще какие-нибудь любопытные свойства этих чисел.
    И вот, что мне удалось обнаружить.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 1.
    Сумма квадратов и квадрат суммы.

        \[715^2+714^2=102\, 102\, 1\]

        \[(715+714)^2=204\, 204\, 1\]

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 2.
    Произведение.

        \[715\cdot714=510\,510\]

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 3.
    Разность кубов.

        \[715^3-714^3=153\, 153\, 1\]

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    ЧАСТЬ 4.
    Число

        \[715\]

    и семерки.

        \[\begin{array}{l} 715\cdot 7=5\, 00\, 5\\  715\cdot 77=55\, 0\, 55\\  715\cdot 777=555\, 555 \end{array}\]

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 5.
    Число

        \[715\]

    , семерки и нули.

        \[\begin{array}{l} 715\cdot 707=50\, 55\, 05\\  715\cdot 70707=50\, 5555\, 05\\  715\cdot 7070707=50\, 555555\, 05\,  \end{array}\]

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 6.
    Синусы.
    Можно доказать, что синус

        \[714\]

    градусов, а также синус

        \[715\]

    градусов являются числами иррациональными.
    Но при этом синус произведения этих чисел, то есть синус

        \[714\cdot715\]

    градусов равен одной второй.
    То есть, как ни странно, является числом рациональным.
    Постарайтесь доказать это самостоятельно.
    Или, в крайнем случае, проверьте на обычном калькуляторе.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лейб Александрович, спасибо! Красивые свойства получились.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    В связи с частью 6 из комментария 1 у меня возникла следующая ГИПОТЕЗА:
    =====================================
    Существует БЕСКОНЕЧНО МНОГО пар последовательных натуральных чисел

        \[x\]

    и

        \[y\]

    таких, что синус

        \[x\]

    градусов и синус

        \[y\]

    градусов являются числами иррациональными, а синус их произведения (в градусах) является числом рациональным.
    =====================================
    Такими числами, как указано выше, являются числа

        \[714\]

    и

        \[715\]

    .
    Но я пока не выяснил, существует ли таких чисел бесконечно много.
    Поэтому мое утверждение – всего лишь ГИПОТЕЗА.
    Может кто-нибудь из читателей сайта докажет или опровергнет эту гипотезу.
    По-моему, это довольно любопытно.

    [Ответить]

  3. 3 Лейб:

    В пункте 2 я высказал ГИПОТЕЗУ:
    =====================================
    Существует БЕСКОНЕЧНО МНОГО пар последовательных натуральных чисел

        \[x\]

    и

        \[y\]

    таких, что синус

        \[x\]

    градусов и синус

        \[y\]

    градусов являются числами иррациональными, а синус их произведения (в градусах) является числом рациональным.
    =====================================
    Оказалось, что доказать этот факт не так уж сложно.
    Мне удалось найти такое доказательство.
    .
    Так что ГИПОТЕЗА превратилась в ТЕОРЕМУ.
    .
    Было бы интересно, если кто-то из читателей сайта найдет свое доказательство, обменяться этими доказательствами.

    [Ответить]

  4. 4 Лейб:

    Обнаружилось еще одно довольно любопытное свойство числа

        \[714\]

    :
    .

        \[714\cdot 143\cdot1=102\, 102\]

        \[714\cdot 143\cdot2=204\, 204\]

        \[714\cdot 143\cdot3=306\, 306\]

        \[714\cdot 143\cdot4=408\, 408\]

        \[714\cdot 143\cdot5=510\, 510\]

        \[714\cdot 143\cdot6=612\, 612\]

        \[714\cdot 143\cdot7=714\, 714\]

        \[714\cdot 143\cdot8=816\, 816\]

        \[714\cdot 143\cdot9=918\, 918\]

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение