Распечатать запись Распечатать запись

Пары Рута – Аарона

Хэнк Аарон

Теплым облачным вечером 8 апреля 1974 года подающий левша “Доджерсов” Эл Даунинг бросил высокий фастбол в страйк-зону Хэнка Аарона. В 21.07 Аарон отбил мяч и послал его далеко за пределы поля. Толпа зрителей в 53 775 человек, поддерживавших “Атланту” у себя на поле, взревела, поскольку 715-й хоум ран Аарона затмил рекордные 714 хоум ранов Бэйба Рута 1935 года. “Я просто возблагодарил Бога за все,’’ — сказал Аарон, выражая такое же облегчение, которое испытывает математик после того как он решил задачу, которую не могли решить в течение сорока лет. Числа 714 и 715 были на устах болельщиков “Атланты” в течение нескольких месяцев, как вспоминал математик из университета Джорджии Карл Померанс, и вопросы типа “Когда, ты думаешь, он добьется 715?’’ были совершенно понятны, даже если при этом не упоминались Рут, Аарон и хоум раны.  В то время Померанс был молодым старшим преподавателем, он заметил, что произведение чисел 714 и 715 равно произведению первых семи простых чисел:

714\cdot715=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17 .

Студент одного из коллег Померанса также нашел одно из интересных свойств пары чисел 714 и 715: сумма простых делителей 714 равна сумме простых делителей 715, то есть

714=2\cdot3\cdot7\cdot17,\qquad 715=5\cdot11\cdot13,
2+3+7+17=5+11+13 .

Померанс назвал пары последовательных натуральных чисел, имеющих данное свойство, парами Рута — Аарона. Такие пары встречаются исключительно редко. Померанс искал их на компьютере, и среди 20000 первых натуральных чисел нашел только двадцать шесть таких пар, начиная от чисел 5 и 6 и заканчивая числами 18490 и 18491. Хотя пар становится меньше с возрастанием чисел, что характерно также и для простых чисел, Померанс подозревал, что пар Рута — Аарона бесконечно много. Однако у него не было идей, как доказать эту догадку. Померанс опубликовал легкомысленную статью в “Журнале развлекательной математики’’ (Journal of Recreational Mathematics). Через неделю после публикации статьи Померансу позвонил Эрдёш, которого тот никогда не видел, и сказал, что он доказал его гипотезу. Эрдёш также хотел, чтобы его пригласили в Атланту для демонстрации доказательства. Их последующая встреча была началом сотрудничества, результатом которого явилась 21 публикация.

В 1995 году Эрдёшу и Аарону были присуждены почетные степени университета Эмори. Померанс рассказал королю пробежек все о числах Рута — Аарона. “Он был джентльменом,’’ — рассказывал Померанс, — “и терпеливо слушал, как я объяснял ему, что то, что он сделал, изменило жизнь одного маленького математика’’. Померанс убедил Эрдёша и Аарона оставить ему автографы на бейсбольном мяче.

Источник: Paul Hoffman, The man who loved only numbers.
Правила игры в бейсбол здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Бейсбол

Комментариев: 5

  1. 1 Лейб:

    Заметка, как мне кажется, очень интересная.
    Понравились описанные свойства чисел 714 и 715.
    Появилось желание найти еще какие-нибудь любопытные свойства этих чисел.
    И вот, что мне удалось обнаружить.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 1.
    Сумма квадратов и квадрат суммы.
    715^2+714^2=102\, 102\, 1
    (715+714)^2=204\, 204\, 1
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 2.
    Произведение.
    715\cdot714=510\,510
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 3.
    Разность кубов.
    715^3-714^3=153\, 153\, 1

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    ЧАСТЬ 4.
    Число 715 и семерки.
    \begin{array}{l}<br />
715\cdot 7=5\, 00\, 5\\<br />
715\cdot 77=55\, 0\, 55\\<br />
715\cdot 777=555\, 555<br />
\end{array}
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 5.
    Число 715, семерки и нули.
    \begin{array}{l}<br />
715\cdot 707=50\, 55\, 05\\<br />
715\cdot 70707=50\, 5555\, 05\\<br />
715\cdot 7070707=50\, 555555\, 05\,<br />
\end{array}
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЧАСТЬ 6.
    Синусы.
    Можно доказать, что синус 714 градусов, а также синус 715 градусов являются числами иррациональными.
    Но при этом синус произведения этих чисел, то есть синус 714\cdot715 градусов равен одной второй.
    То есть, как ни странно, является числом рациональным.
    Постарайтесь доказать это самостоятельно.
    Или, в крайнем случае, проверьте на обычном калькуляторе.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лейб Александрович, спасибо! Красивые свойства получились.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    В связи с частью 6 из комментария 1 у меня возникла следующая ГИПОТЕЗА:
    =====================================
    Существует БЕСКОНЕЧНО МНОГО пар последовательных натуральных чисел x и y таких, что синус x градусов и синус y градусов являются числами иррациональными, а синус их произведения (в градусах) является числом рациональным.
    =====================================
    Такими числами, как указано выше, являются числа 714 и 715.
    Но я пока не выяснил, существует ли таких чисел бесконечно много.
    Поэтому мое утверждение – всего лишь ГИПОТЕЗА.
    Может кто-нибудь из читателей сайта докажет или опровергнет эту гипотезу.
    По-моему, это довольно любопытно.

    [Ответить]

  3. 3 Лейб:

    В пункте 2 я высказал ГИПОТЕЗУ:
    =====================================
    Существует БЕСКОНЕЧНО МНОГО пар последовательных натуральных чисел x и y таких, что синус x градусов и синус y градусов являются числами иррациональными, а синус их произведения (в градусах) является числом рациональным.
    =====================================
    Оказалось, что доказать этот факт не так уж сложно.
    Мне удалось найти такое доказательство.
    .
    Так что ГИПОТЕЗА превратилась в ТЕОРЕМУ.
    .
    Было бы интересно, если кто-то из читателей сайта найдет свое доказательство, обменяться этими доказательствами.

    [Ответить]

  4. 4 Лейб:

    Обнаружилось еще одно довольно любопытное свойство числа 714:
    .
    714\cdot 143\cdot1=102\, 102
    714\cdot 143\cdot2=204\, 204
    714\cdot 143\cdot3=306\, 306
    714\cdot 143\cdot4=408\, 408
    714\cdot 143\cdot5=510\, 510
    714\cdot 143\cdot6=612\, 612
    714\cdot 143\cdot7=714\, 714
    714\cdot 143\cdot8=816\, 816
    714\cdot 143\cdot9=918\, 918

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение