Теорема Наполеона

Наполеон Бонапарт

Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией. Бонапарт считается также автором задачи о делении на четыре равные части окружности с помощью одного лишь циркуля.

Тем не менее, впервые опубликовал эту теорему У. Резерфорд в публикации в “The Ladies’ Diary” в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона, так что возможно, что ее автором является и не полководец.

В различных источниках приводятся разные доказательства теоремы Наполеона. Чаще всего можно встретить доказательства, основанные на свойствах поворота или использующие комплексные числа. Привожу здесь доказательство, которое кажется мне наиболее простым и доступным для школьников. Все, что нужно для понимания его — знание теоремы косинусов.

Теорема Наполеона. На сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Центры этих треугольников являются вершинами еще одного равностороннего треугольника.

Доказательство. Обозначим длины сторон треугольника

    \[ABC\]

следующим образом:

    \[|AB|=c,|BC|=a,|AC|=b\]

.

Центры построенных равносторонних треугольников обозначим через

    \[P,Q\]

и

    \[R\]

(см. рис.).

Найдем

    \[|QR|\]

из треугольника

    \[CRQ\]

. Имеем

    \[\displaystyle |QC|=\frac{2}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}\]

(здесь пользуемся тем, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, кроме того, в равностороннем треугольнике медиана является и высотой)

и

    \[\displaystyle |CR|=\frac{2}{3}\cdot b\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{\sqrt{3}}\]

.

Кроме того,

    \[\displaystyle \angle QCR=\angle C+\angle QCB+\angle RCA=\angle C+\frac{\pi}{3},\]

    \[\displaystyle\cos\angle QCR=-\frac{1}{2}\cos\angle C-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\angle C .\]

По теореме косинусов для

    \[\triangle ABC\]

    \[\displaystyle \cos\angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\]

.

Из формулы для площади треугольника

    \[ABC\]

    \[\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\sin\angle C\]

    \[\displaystyle \sin\angle C=\frac{2S}{ab}\]

.

Находим

    \[|QR|^2\]

:

    \[\displaystyle |QR|^2=\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{3}-\frac{2ab}{3}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2S}{ab}\right)=\]

    \[\displaystyle=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2S}{\sqrt{3}}\]

.

Поскольку выражение для

    \[|QR|\]

симметрично относительно

    \[a,b\]

и

    \[c\]

(а можно еще два раза проделать выкладки), получаем

    \[|PQ|^2=|PR|^2=|QR|^2\displaystyle=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2S}{\sqrt{3}}\]

,

то все стороны треугольника

    \[PQR\]

равны, что и требовалось доказать.

Нужно отметить, что теорема Наполеона остается справедливой, если строить равносторонние треугольники не вовне, а вовнутрь (см. рис.). Доказывается она аналогично. Для стороны треугольника получается выражение

    \[|PQ|^2=|PR|^2=|QR|^2\displaystyle=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}-\frac{2S}{\sqrt{3}}.\]

Источники: http://en.wikipedia.org/wiki/Napoleon’s_theorem

http://botanikliferu.504.com1.ru:8025/WWW/cie/vestnik/pdf/2006/n6p3/Lakoba-n6p3.pdf

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение