Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Наполеона

Наполеон Бонапарт

Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией. Бонапарт считается также автором задачи о делении на четыре равные части окружности с помощью одного лишь циркуля.

Тем не менее, впервые опубликовал эту теорему У. Резерфорд в публикации в “The Ladies’ Diary” в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона, так что возможно, что ее автором является и не полководец.

В различных источниках приводятся разные доказательства теоремы Наполеона. Чаще всего можно встретить доказательства, основанные на свойствах поворота или использующие комплексные числа. Привожу здесь доказательство, которое кажется мне наиболее простым и доступным для школьников. Все, что нужно для понимания его — знание теоремы косинусов.

Теорема Наполеона. На сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Центры этих треугольников являются вершинами еще одного равностороннего треугольника.

Доказательство. Обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом:

|AB|=c,|BC|=a,|AC|=b.

Центры построенных равносторонних треугольников обозначим через P,Q и R (см. рис.).

Найдем |QR| из треугольника CRQ. Имеем

\displaystyle |QC|=\frac{2}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}

(здесь пользуемся тем, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, кроме того, в равностороннем треугольнике медиана является и высотой)

и

\displaystyle |CR|=\frac{2}{3}\cdot b\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{\sqrt{3}}.

Кроме того,

\displaystyle \angle QCR=\angle C+\angle QCB+\angle RCA=\angle C+\frac{\pi}{3},

\displaystyle\cos\angle QCR=-\frac{1}{2}\cos\angle C-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\angle C .

По теореме косинусов для \triangle ABC

\displaystyle \cos\angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

Из формулы для площади треугольника ABC \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\sin\angle C

\displaystyle \sin\angle C=\frac{2S}{ab}.

Находим |QR|^2:

\displaystyle |QR|^2=\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{3}-\frac{2ab}{3}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2S}{ab}\right)=

\displaystyle=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2S}{\sqrt{3}}.

Поскольку выражение для |QR| симметрично относительно a,b и c (а можно еще два раза проделать выкладки), получаем

|PQ|^2=|PR|^2=|QR|^2\displaystyle=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2S}{\sqrt{3}},

то все стороны треугольника PQR равны, что и требовалось доказать.

Нужно отметить, что теорема Наполеона остается справедливой, если строить равносторонние треугольники не вовне, а вовнутрь (см. рис.). Доказывается она аналогично. Для стороны треугольника получается выражение

|PQ|^2=|PR|^2=|QR|^2\displaystyle=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}-\frac{2S}{\sqrt{3}}.

Источники: http://en.wikipedia.org/wiki/Napoleon’s_theorem

http://botanikliferu.504.com1.ru:8025/WWW/cie/vestnik/pdf/2006/n6p3/Lakoba-n6p3.pdf

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение