Распечатать запись Распечатать запись

Еврейские задачи

Таня Хованова

Наверное, многим известно, что в советское время в хорошие вузы брали не всех. Кого не брать, указывалось сверху, это могло меняться (так, например, это могли быть иногородние девушки). Однако почти всегда и почти везде не брали абитуриентов, которые имели “нехорошую” национальность, иначе говоря, были евреями. Об этом написано у В.В. Ткачука в книге “Математика абитуриенту’’, об этом сейчас много говорят. Вот и данная история тоже об этом.

Просто не взять человека в вуз по причине неправильной национальности было нельзя, поэтому абитуриенту давали такую задачу, чтобы он ее заведомо не решил, так называемый “гроб’’. Разумеется, эта задача должна была иметь элементарное решение, так чтобы не к чему было придраться.

Таня Хованова в 1975 году была в команде, которая ехала от Советского Союза на Международную олимпиаду школьников по математике. Ребят готовили к олимпиаде на сборах. Валерию Сендерову, который в то время преподавал в одной из лучших московских специализированных математических школ, с друзьями удалось собрать некоторые еврейские задачи — из тех, что использовались для ограждения вузов от нежелательных студентов. Эти задачи было предложено порешать команде наших самых сильных школьников. В течение месяца ребята пытались решить задачи. Им удалось решить лишь половину из них. Это говорит о сложности “еврейских задач” (название не мое, так назвала их Таня Хованова).

Разумеется, сейчас эти задачи уже не кажутся такими сложными. Методы их решения рассказываются детям, особенно тем, кто готовится к олимпиадам по математике. Однако стоит учесть, что такие задачи могли предлагаться поступающему одна за другой, до тех пор, пока какую-то из них он не решал.

А теперь несколько алгебраических “еврейских задач”, чтобы вы могли их тоже порешать.

Задача 1. Решите следующее неравенство для положительных x:

x\left(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)\le11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x} .

Показать решение

Задача 2. Найдите все вещественные y, удовлетворяющие уравнению

2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1 .

Показать решение

Задача 3. Решите уравнение

\displaystyle \sin^7x+\frac{1}{\sin^3 x}=\cos^7x+\frac{1}{cos^3x} .

Показать решение

Задача 4. Докажите, что \sin10^{\circ} — иррациональное число.

Показать решение

Задача 5. Что больше: \log_23 или \log_35?

Показать решение

Задача 6. Сколько десятичных цифр в числе 125^{100}?

Показать решение

Источник: http://arxiv.org/pdf/1110.1556v2.pdf

Комментариев: 16

  1. 1 Лейб:

    Мне, к сожалению, в свое время тоже пришлось испытать на себе несколько из таких «еврейских» задач.
    На вид эти задачи могут показаться совсем несложными.
    Но это только на вид …
    Вот две из таких задач.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЗАДАЧА 1.
    Сколько решений имеет следующая система уравнений ?
    \begin{cases}<br />
x^2+y=7  \\<br />
x+y^2=11<br />
\end{cases}
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    ЗАДАЧА 2.
    Сколько корней имеет следующее уравнение ?
    \displaystyle\sin\, x=\frac{1}{100}
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Вторую задачу дал мне декан математического факультета на моем устном вступительном экзамене.
    При этом он добавил:
    - Если ты не решишь эту задачу, тебе будет очень плохо.
    После такого “дружелюбного” напутствия настроение у меня было, мягко говоря, не совсем бодрым.
    Совершенно случайно, мне удалось решить эту задачу (хотя далеко не сразу).
    .
    Лишь добавлю для тех, кто захочет решать ЗАДАЧУ 2, что это уравнение имеет ровно 63 корня (!)

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Извиняюсь, ошибся при наборе второй задачи.
    Там должно быть такое уравнение:
    \displaystyle\sin\, x=\frac{x}{100}

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Для выпускника школы, да и вообще для человека, который никогда в жизни с такими задачами не сталкивался, они действительно очень сложны. А сейчас эти задачи в самом деле кажутся проще, потому что различных идей в элементарной математике не бесконечное количество, а многие идеи специально готовящимся к поступлению школьникам рассказывают.

    Вообще говоря, для школьника, которому никогда в жизни не показывали методов решения олимпиадных задач, даже задачи регионального этапа, думаю, будут очень сложны.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Почти полностью с Вами согласен.
    .
    Единственно, с чем, возможно, не совсем соглашусь, так это с утверждением, что:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
    “различных идей в элементарной математике не бесконечное количество”.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А если сюда добавить слово “известных”?

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Тогда, безусловно, соглашусь.
    Правда, полученную фразу можно будет сформулировать более коротко:
    .
    “Различных известных идей в математике не бесконечное количество”.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
    Или еще короче:
    .
    “Различных известных идей не бесконечное количество”.

    [Ответить]

    ВОРОНА Reply:

    Прошу прощения, что встреваю, да ещё так поздно, но на это журнал набрела совсем недавно.

    Честно пытаюсь понять, в чём проблема первой задачи? Или там тоже опечатка закралась? Примерный график (даже очень примерный, который меньше минуты рисуется) моментально даёт 4 решения.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Вы абсолютно правы, что эту задачу легко решить при помощи графиков.
    .
    Но эта задача предлагалась давно.
    Тогда такого рода задачи практически не рассматривались в школьной программе.
    Поэтому все решавшие эту задачу пошли стандартным путем. Они честно выразили одну переменную через другую. Подставили результат в другое уравнение.
    И там – застряли.
    .
    Я уверен, что и сейчас очень многие ученики (и не только, к сожалению) будут пытаться решать также.
    И совсем немного найдется таких, кто вспомнит о графическом методе.
    Тем более, что система выглядит, на первый взгляд, очень просто.

    [Ответить]

    ВОРОНА Reply:

    Понятно.
    Меня готовили на мехмат (20 с лишним лет назад :) ), поэтому графическое представление чего угодно въелось под кожу для как раз такого типа задач – “сколько решений”. Да и для многих других.
    Интересно будет на работе дать. Да и ученичкам подбросить. :)

    [Ответить]

  2. 2 disputant:

    И почему у нас (киевский университет) училось столько евреев?..

    Наверное, просто не были тупыми, вот и все? :)

    Потому как не решить такую простоту, как sin(x) = x/100 – не указать корни, а сказать, сколько их – это таки надо только национальными вопросами голову заполнить, а не математикой.

    P.S. И не вздумайте говорить о моем антисемитизме – у меня первая жена – еврейка :) Так что с вопросом знаком, так сказать, изнутри. И разговоров об антисемитизме было всегда на порядки больше, чем того антисемитизма…

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Вместо того, чтобы иронизировать (“не решить такую простоту, как sin(x) = x/100 – не указать корни, а сказать, сколько их – это таки надо только национальными вопросами голову заполнить, а не математикой” и т.п.), лучше покажите решение.
    Будет большая польза для учеников.

    [Ответить]

  3. 3 Александр:

    Лож! Все евреи имеют высшее образование и так далее.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Александр, Вы знаете всех евреев? :) Ну и Тьмутараканский заборостроительный институт тоже дает высшее образование ;)

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Честно говоря, совсем не хотелось сводить все к дискуссии об антисемитизме. Эти задачи были приведены как пример довольно сложных задач, которые давали “на завал”. Лично знала в свое время иногороднюю девушку (вовсе не еврейку), которая на устном экзамене попала к столу, от которого с “тройкой” вышли, кажется, два человека…

    [Ответить]

  5. 5 Елена:

    Для чего нужны все решения еврейский задач? Где я могу их применить? Разогнать тоску или потратить драгоценное время?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Мне кажется, это зависит от Вас. Наверное, при такой постановке вопроса, как у Вас, Вам они не нужны ни для чего ;)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение