Формула Герона
Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером. Он изобрел автоматические двери, которые производили огромное впечатление на людей, приходивших в храмы, первый торговый автомат, наливавший за монетку определенное количество святой воды, механических певчих птиц, автоматический театр, самострельный арбалет, паровую турбину и многое другое.
К сожалению, в средние века многие его изобретения оказались никому не нужными.
Формула Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам его сторон, в действительности была открыта Архимедом. Однако это не умаляет того, что сделал этот человек.
О Героне сняты мультфильмы. Один из них советский, 1979 года, “Герон’’, другой — 13-я серия из французского мультсериала, посвященная Герону, “Жили-были первооткрыватели. Герон Александрийский’’. Если честно, мультфильмы я вообще не очень люблю, а вот документальный фильм о Героне, “Древние открытия: удивительные машины. Герон’’, посмотрела с большим удовольствием. Вы можете его тоже посмотреть вот здесь: http://www.cinemaplayer.ru/29479-_drevnie_otkryitiya_udivitelnyie_mashinyi___Ancient_Discoveries_Surprising_Machines.html
А теперь рассмотрим формулу Герона. Приведу самое простое ее доказательство, основанное на теореме Пифагора, доступное восьмикласснику.
Теорема. Площадь треугольника, длины сторон которого равны и
, находится по формуле
где — полупериметр треугольника.
Доказательство. Рассмотрим треугольник ,
. Пусть
— высота треугольника
, проведенная из вершины
,
. Тогда
, и по теореме Пифагора из треугольников
и
соответственно имеем:
откуда
Вспоминая, что , получаем
и
.
Сложим последнее равенство с равенством , получим
или
Теперь найдем высоту треугольника:
Поскольку
то
Подставляем эти выражения в найденное выражение для :
Учитывая то, что , получаем требуемое.
Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/Герон
1 Корнеев В. Ф.:
Красива формула.
[Ответить]
3 Октябрь 2012, 17:042 антон:
Ужас. Особенно после каникул.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 3rd, 2013 at 19:29
Ничего, постепенно все придет в норму
[Ответить]
3 Павел:
допущена громадная ощибка!
не а-…
А b-
Будьте внимательниее
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 11th, 2014 at 23:51
Напишите, пожалуйста, где, точно. Не вижу ошибки…
[Ответить]
дулат Reply:
Апрель 1st, 2014 at 14:34
формула герона доказательство чрез теорему пифагора
[Ответить]
4 Андрей:
Так вот как ее можно вывести! Я, когда пытался получить ее самостоятельно, всегда начинал с “y = c – x”, находил “x”, оттуда “h”, в результате получалась формула с развернутым многочленом (раскрытыми скобками под корнем). И непонятно было, как Герон при тогдашнем уровне развития математики умудрился разложить многочлен на множители, или как он проводил выкладки, чтобы получить формулу в таком виде. Теперь понятно, спасибо.
Кстати, многие источники в интернете утверждают, что формула была известна еще Архимеду, более поздние труды Герона и Паппа носили в большей степени компилятивный характер с его работ, и не исключено, что формула принадлежит на самом деле Архимеду, а Герон просто переписал ее. Тем более, насколько я понимаю, Герон не оставил ни способа вывода, ни доказательства.
[Ответить]
7 Октябрь 2014, 21:225 Сергей:
Здравствуйте,
спасибо за доказательство. Я ее запоминаю механически, но не могу понять логику.
У меня огромная просьба: могли бы вы объяснить, что нам дает, каждое из проделанных вычислений? Мы уравниваем два прямоугольных треугольника, чтобы найти… h^2=h^2 ? После этого мы прибавляем к нему основание треугольника x+y=c. Почему мы ее прибавляем? Из этого мы находим y и подставляем ее в нахождение квадрата высоты. У меня голова начинает взрываться, потому что я не могу осознать порядок наших действий, зачем мы так делаем. Это со стороны напоминает танец с бубном, мы одни и те же значение суммируем друг с другом, уравниваем, подставляем, снова суммируем. Есть ли какое-то объяснение, что нам дает, каждое из этих действий?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 6th, 2016 at 13:32
Сергей, идея такая: выразить высоту
треугольника
через его стороны. Вводим две новые переменные,
и
— это отрезки, на которые высота
делит сторону
. На самом деле понятно, что новая переменная одна, потому что другая легко через нее выражается (скажем,
). Далее используем теорему Пифагора и выражаем
через стороны треугольника. Тем самым мы находим выражение высоты через стороны. Стало понятнее?
[Ответить]
Артру Reply:
Апрель 15th, 2018 at 22:11
а в чем смысл сложения y+x=c? Все остально вполне ясно, спасибо.
[Ответить]
6 Артру:
я перефразирую, в чем смысл сложения y-x=1/c * (a^2 – b^2) + y+x=c?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 18th, 2018 at 21:30
Получилась система линейных уравнений относительно
и
, выражаем
.
[Ответить]
7 Andrew:
В треугольник вписывается окружность.
Далее по теореме синусов или косинусов гораздо проще вывод.
[Ответить]
27 Май 2019, 9:448 Luisa:
Я не совсем понимаю. Практически в самом конце мы вывели, чему равно h². Но в знаменателе в итоговой дроби просто исчезла четверка. В числителе же она осталась. Выходит, мы ее не сократили, а просто… стерли?
[Ответить]
28 Август 2020, 15:52