«
»

Формула Герона

3 Октябрь 2012, 0:03

Герон Александрийский

Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером. Он изобрел автоматические двери, которые производили огромное впечатление на людей, приходивших в храмы, первый торговый автомат, наливавший за монетку определенное количество святой воды, механических певчих птиц, автоматический театр, самострельный арбалет, паровую турбину и многое другое.

К сожалению, в средние века многие его изобретения оказались никому не нужными.

Формула Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам его сторон, в действительности была открыта Архимедом. Однако это не умаляет того, что сделал этот человек.

О Героне сняты мультфильмы. Один из них советский, 1979 года, “Герон’’, другой — 13-я серия из французского мультсериала, посвященная Герону, “Жили-были первооткрыватели. Герон Александрийский’’. Если честно, мультфильмы я вообще не очень люблю, а вот документальный фильм о Героне, “Древние открытия: удивительные машины. Герон’’, посмотрела с большим удовольствием. Вы можете его тоже посмотреть вот здесь: http://www.cinemaplayer.ru/29479-_drevnie_otkryitiya_udivitelnyie_mashinyi___Ancient_Discoveries_Surprising_Machines.html

А теперь рассмотрим формулу Герона. Приведу самое простое ее доказательство, основанное на теореме Пифагора, доступное восьмикласснику.

Теорема. Площадь треугольника, длины сторон которого равны a,b и c, находится по формуле

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]

где \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2} — полупериметр треугольника.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC, |AB|=c,|BC|=a,|AC|=b. Пусть CH — высота треугольника ABC, проведенная из вершины C, |CH|=h, |AH|=x,|BH|=y. Тогда c=x+y, и по теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH соответственно имеем:

    \[h^2=b^2-x^2=a^2-y^2,\]

откуда

    \[y^2-x^2=a^2-b^2,(y-x)(y+x)=a^2-b^2.\]

Вспоминая, что x+y=c, получаем (y-x)c=a^2-b^2 и \displaystyle y-x=\frac{1}{c}(a^2-b^2).
Сложим последнее равенство с равенством y+x=c, получим

    \[2y=c+\frac{a^2-b^2}{c}\]

или

    \[y=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}.\]

Теперь найдем высоту h треугольника:

    \[h^2=a^2-y^2=(a-y)(a+y)=\]

    \[=\left( a-\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)\left( a+\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)=\]

    \[=\frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2c}\cdot\frac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2c}=\]

    \[=\frac{b^2-(a-c)^2}{2c}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2c}=\]

    \[=\frac{(b-a+c)\cdot(b+a-c)}{2c}\cdot\frac{(a+c-b)\cdot(a+c+b)}{2c}.\]

Поскольку

    \[p=\frac{1}{2}(a+b+c),\]

то

    \[b+c=2p-a,a+b=2p-c,a+c=2p-b,a+c+b=2p.\]

Подставляем эти выражения в найденное выражение для h^2:

    \[h^2=\frac{(2p-2a)(2p-2c)(2p-2b)2p}{4c^2}=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}.\]

Учитывая то, что \displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}ch, получаем требуемое.

Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/Герон

Теги: ,
Рубрика: Статьи по математике  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 14

  1. 1 Корнеев В. Ф.:

    Красива формула.

    [Ответить]

    3 Октябрь 2012, 17:04

  2. 2 антон:

    Ужас. Особенно после каникул.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Сентябрь 3rd, 2013 at 19:29

    Ничего, постепенно все придет в норму :)

    [Ответить]

    3 Сентябрь 2013, 16:27

  3. 3 Павел:

    допущена громадная ощибка!
    не а-…
    А b-
    Будьте внимательниее

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Январь 11th, 2014 at 23:51

    Напишите, пожалуйста, где, точно. Не вижу ошибки…

    [Ответить]

    дулат Reply:
    Апрель 1st, 2014 at 14:34

    формула герона доказательство чрез теорему пифагора

    [Ответить]

    10 Январь 2014, 21:38

  4. 4 Андрей:

    Так вот как ее можно вывести! Я, когда пытался получить ее самостоятельно, всегда начинал с “y = c – x”, находил “x”, оттуда “h”, в результате получалась формула с развернутым многочленом (раскрытыми скобками под корнем). И непонятно было, как Герон при тогдашнем уровне развития математики умудрился разложить многочлен на множители, или как он проводил выкладки, чтобы получить формулу в таком виде. Теперь понятно, спасибо.
    Кстати, многие источники в интернете утверждают, что формула была известна еще Архимеду, более поздние труды Герона и Паппа носили в большей степени компилятивный характер с его работ, и не исключено, что формула принадлежит на самом деле Архимеду, а Герон просто переписал ее. Тем более, насколько я понимаю, Герон не оставил ни способа вывода, ни доказательства.

    [Ответить]

    7 Октябрь 2014, 21:22

  5. 5 Сергей:

    Здравствуйте,
    спасибо за доказательство. Я ее запоминаю механически, но не могу понять логику.
    У меня огромная просьба: могли бы вы объяснить, что нам дает, каждое из проделанных вычислений? Мы уравниваем два прямоугольных треугольника, чтобы найти… h^2=h^2 ? После этого мы прибавляем к нему основание треугольника x+y=c. Почему мы ее прибавляем? Из этого мы находим y и подставляем ее в нахождение квадрата высоты. У меня голова начинает взрываться, потому что я не могу осознать порядок наших действий, зачем мы так делаем. Это со стороны напоминает танец с бубном, мы одни и те же значение суммируем друг с другом, уравниваем, подставляем, снова суммируем. Есть ли какое-то объяснение, что нам дает, каждое из этих действий?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Февраль 6th, 2016 at 13:32

    Сергей, идея такая: выразить высоту h треугольника ABC через его стороны. Вводим две новые переменные, x и y — это отрезки, на которые высота h делит сторону c. На самом деле понятно, что новая переменная одна, потому что другая легко через нее выражается (скажем, x=c-y). Далее используем теорему Пифагора и выражаем y через стороны треугольника. Тем самым мы находим выражение высоты через стороны. Стало понятнее?

    [Ответить]

    Артру Reply:
    Апрель 15th, 2018 at 22:11

    а в чем смысл сложения y+x=c? Все остально вполне ясно, спасибо.

    [Ответить]

    5 Февраль 2016, 2:46

  6. 6 Артру:

    я перефразирую, в чем смысл сложения y-x=1/c * (a^2 – b^2) + y+x=c?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Апрель 18th, 2018 at 21:30

    Получилась система линейных уравнений относительно x и y, выражаем y.

    [Ответить]

    16 Апрель 2018, 18:51

  7. 7 Andrew:

    В треугольник вписывается окружность.
    Далее по теореме синусов или косинусов гораздо проще вывод.
    :-)

    [Ответить]

    27 Май 2019, 9:44

  8. 8 Luisa:

    Я не совсем понимаю. Практически в самом конце мы вывели, чему равно h². Но в знаменателе в итоговой дроби просто исчезла четверка. В числителе же она осталась. Выходит, мы ее не сократили, а просто… стерли?

    [Ответить]

    28 Август 2020, 15:52

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение