Распечатать запись Распечатать запись

Функция Римана

Функция Римана на промежутке от 0 до 1

Эта функция имеет и много других названий: функция Томе (примеч. Carl Johannes Thomae (1840 – 1921) — немецкий математик), модифицированная функция Дирихле, поп-корн (popcorn) функция, функция дождевых капель (raindrop), функция счетных облаков (countable cloud), функция линейки (ruler) или Звезды над Вавилоном (Stars over Babylon).

Функция Римана является простейшим примером функции, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных точках. Эта вещественнозначная функция одной переменной определяется так:

t(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle\frac{1}{q}, \displaystyle if\ x=\frac{p}{q},\ p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N},\\[4mm]<br />
0,if\ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}<br />
\end{array}\right.

(здесь дробь p/q несократима).

Докажем, что функция Римана непрерывна во всех иррациональных точках. Действительно, для данного иррационального числа c и произвольного \varepsilon > 0 рассмотрим множество

T=\{ x\in\mathbb{R}: t(x)\ge\varepsilon\} .

Если x\in T, то x — рациональное число вида \displaystyle x=\frac{p}{q}, где p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}, дробь p/q несократима и q\le 1/\varepsilon. Из ограничения на q следует, что пересечение множества T и промежутка [c-1,c+1] состоит из конечного числа точек. Таким образом, мы можем выбрать окрестность точки c так, чтобы в ней не содержалась ни одна точка множества T. А если x\not\in T, то t(x)< \varepsilon. Отсюда следует доказываемое.

Теперь докажем, что функция Римана разрывна во всех рациональных точках. Действительно, существует хотя бы одно иррациональное число сколь угодно близко к любому рациональному числу. Тем самым, мы можем выбрать последовательность иррациональных чисел, стремящуюся к данному рациональному числу. Тогда предел соответствующих значения функции (для членов данной последовательности) будет равен нулю, что отличается от значения функции и данной точке.

Интересно, что функции, непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных точках, не существует.

Доказательство этого факта можно найти здесь: http://dxdy.ru/topic337.html

В нем используется теорема Бэра: http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20&page=14

Источники сведений о функции Римана: http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae’s_function

http://faculty.uml.edu/jpropp/305/10.30.doc

Комментариев: 5

  1. 1 Лейб:

    В определении функции Римана (в первой строчке)
    желательно добавить условия:
    .
    p\in\mathbb{Z},\, q\in\mathbb{N}
    .
    Чуть дальше эти условия имеются в тексте.
    Но и здесь они явно уместны.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, добавила.

    [Ответить]

  2. 2 Корнеев В. Ф.:

    Интереснейший материал. Когда-то знал его. А теперь вспомнил.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, функция действительно необычная и интересная.

    [Ответить]

  3. 3 Владимир Петров:

    Спасибо! Часть из названий функции Римана мне была неизвестно… Стыдно, что забываю такие красивые вещи! Еще раз спасибо!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение