Распечатать запись Распечатать запись

О треугольнике Паскаля

Числовые треугольники имеют довольно много различных свойств. И задач, связанных с ними, известно достаточно много. Но вот мне недавно попалось еще одно свойство известного треугольника Паскаля. Надеюсь, вам тоже понравится ;)

Довольно интересные треугольники являются частями треугольника Паскаля. Все числа, из которых они состоят, делятся на одно и то же число. Удивительно, что делимость прослеживается только на простые числа p.

Кроме того, есть строки, в которых ни одно из чисел не делится на какое-то простое число p. Так, например, в десятой строке: 1,9,36,84,126,\ldots ни одно из чисел не делится на 5. Формула для чисел {\sf C}_n^k содержит факториал. Удивительно, что все 5-ки сокращаются!

Свойство достаточно красивое и довольно наглядное (см. рисунок).

Доказывается оно довольно просто. Известно утверждение о том, что для простого p все коэффициенты {\sf C}_p^k (1\le k\le p-1) кратны p. Действительно, если 0 < k < p, то НОД(k!(p – k)!, p) = 1, поэтому число p в числителе ни с каким числом в знаменателе сократиться не может. Поскольку каждое число в следующей строчке треугольника Паскаля равно сумме двух стоящих над ним чисел, то получаются именно такие красивые треугольники.

P.S. Спасибо В.Ф.Корнееву, сама сразу не заметила :) .

Источник: http://themathkid.tumblr.com/post/21363840137/regions-of-divisibility-on-pascals-triangle

Комментариев: 3

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Простите, но есть легко доказываемая теорема для треугольника с изъятыми единицами: если число р-простое, то все числа строки р делятся на р; в противном случае найдётся число, которое на р не разделится. Это также можно назвать критерием простоты числа.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, Вы правы, но речь все же немного не об этом. Тут же не просто строки, а треугольники, которые выделены цветом.

    Ааа, поняла, спасибо! Все верно, каждое число в следующей строке получается как сумма двух чисел в предыдущей :)

    [Ответить]

  3. 3 БОННИС:

    Здравствуйте,Уважаемая Елизавета Александровна.

    Данный числовой набор не каждого вдохновит на изыскания,с “сомнительными привязками”чисел,но на данном примере,очень легко,от чисто академической математики,плавно перейти в сферу её младшей “сестрёнки-шалунишки”-к занимательной бизнес-математике,а так как,данный треугольник “вымощен” шестиугольными плитками,то это ещё будет и пазловый набор,для самых маленьких вундеркиндов.

    Для этого,из данного треугольника(на его продолжени,когда вместо ряда из 13-ти фишек пойти на уменьшение в 11-ть и так до ряда из 7-ми,то есть,
    получить конфигурацию “ёлочки”,на самом верху которой отобразить звезду,
    а под ней из 2-х свободных мест написать попарно слово “ПР-ИЗ”,что означает:*Познавательно-Развивающие Игровые Затеи*.

    Таким образом,на этом игровом планшете необходимо будет украсить всю ёлочку разноцветными конфетти из 12-ти цветов по 10-ть штук каждого цвета,причём таким образом,чтобы во всех рядах,не было ни одного цветного повторения. Вот Вам и новый вариант игры,которая из-за призовой привлекательноси станет более актуальной,чем все кубики Рубика,у которых цветная гамма вдвое меньше.

    С уважением,Николай Сергеевич.

    P.S. В Питере множество структур,которые подобную игру могли бы издавать (миллионными тиражами),но пока,у всех современных коммерсантов отсутствует гибкое мышление,не только в математике,но и в самой их
    “псевдо-коммерции”. А так,у меня лично, – всё замечательно.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение