Распечатать запись Распечатать запись

Линейное представление НОД. Простые и составные числа

По предложению Лейба Александровича Штейнгарца создается ДИСКУССИОННЫЙ КЛУБ. И начало первому обсуждению в нем также положено письмом Лейба Александровича. Привожу его здесь.

Уважаемая Елизавета Александровна !

Эти свои мысли мне не хочется помещать среди обычных комментариев Вашего сайта.
Они касаются Вашего раздела:

«Линейное представление НОД. Простые и составные числа»

В основном, мои мысли касаются двух определений из этого раздела. Простые и составные числа.

Определение. Целое число а называется составным, если оно делится на какое-нибудь целое число, отличное от a и -a, 1 и -1.

Целое число называется простым, если оно не является составным и не равно \pm1.

Эти определения меня немного удивили. По нескольким причинам.

1. Первый раз я встречаюсь с тем, что составное число определяется раньше, чем простое. Хотя в этом ничего незаконного нет.

2. Но, по этому определению,

a. числа -3, -5 и т.д. оказываются простыми.

b. число 0 является составным.

3. В принципе, и это допустимо. Все касается принятых определений.

4. Но тут возникает ПРОТИВОРЕЧИЕ с общепринятыми определениями.

5. В любых таблицах простых чисел наименьшим простым числом указывается число 2.

6. В авторитетных источниках (в книгах по теории чисел, например) простые и составные числа рассматриваются ТОЛЬКО среди натуральных.

7. Если придерживаться другой точки зрения (которая тоже логически допустима), то многие формулировки теорем и задач придется менять. Кстати, так и делается в Вашем разделе.

8. Я специально отобрал в Интернете несколько определений из довольно авторитетных сайтов. Правда, и там, на мой взгляд, не всегда все корректно. Кое-где я добавляю свои замечания. Хотя, конечно, со мной не обязательно соглашаться.

Вот эти, собранные мной, отрывки:

• Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные.

Замечание Лейба

Тут нечетко: Все остальные числа… Числа могут быть не натуральными. И вообще – не целыми.

• Простые числа — это целые натуральные (положительные) числа больше единицы, которые имеют ровно 2 натуральных делителя (только 1 и самого себя), т.е. не делится ни на одно другое число, кроме самого себя и единицы. Все остальные числа кроме единицы называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

Замечание Лейба

Тут довольно много лишних слов.

• Простое число – это натуральное число, которое делится только на себя и единицу.

Замечание Лейба

Не указано, что число 1 – не простое.

• Простое число – это целое положительное число больше единицы, которое не делится без остатка ни на одно другое целое положительное число, кроме единицы и самого себя.

Замечание Лейба

Если говорится больше единицы, то лишне говорить положительное.

• Простые числа – это натуральные числа, которые делятся нацело только на себя и на 1. Примерами простых чисел являются: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Замечание Лейба

Тут прямо принимается, что число 1 – простое. А это неудобно. И так не общепринято. Хотя когда-то, во времена Эйлера, так было принято.

• Простые числа – это натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя. Составные числа – это натуральные числа, которые помимо единицы и самого себя имеют и другие натуральные делители. Простые числа, не превосходящие 100, следующие:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Простых чисел бесконечно много.

Замечание Лейба

Тут, в принципе, все нормально. Но тоже довольно многосложно.

• Простое число – это число из натуряльного ряда, которое имеет только два делителя – 1 и само себя. Кроме того, что из простых чисел и единицы (которая, кстати, простым числом не является), состоят все прочие натуральные числа, т.е. составные.

Замечание Лейба

Не совсем точно. Опять не совсем корректно про число 1. И второе предложение не совсем понятно – из простых чисел и единицы состоят все прочие натуральные числа. Не уточняется, что значит состоят.

Простые числа – это целое положительное число больше единицы, которое не делится без остатка ни на одно другое целое положительное число, кроме единицы и самого себя. Ниже приведена таблица простых чисел от 2 до 100

2\ 3\ 5\ 7\ 11\ 13\ 17\ 19\ 23\ 29\ 31\ 37\ 41\ 43\ 47\ 53\ 59\ 61\ 67\ 71\ 73\ 79\ 83\ 89\ 97.

Замечание Лейба

Не совсем грамотно. Простые числа – это целое положительное число . . .

Этот ряд определений можно было бы еще продолжать довольно долго.

Когда-то в школьных учебниках были такие, вполне приемлемые, на мой взгляд, определения.

Определение 1. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет ровно два делителя.

Определение 2. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Конечно, делители подразумеваются натуральными. Или можно это указать отдельно.

Если Вы посчитаете нужным, можно было бы открыть на Вашем сайте ДИСКУССИОННЫЙ КЛУБ.

Мое письмо могло бы быть частью этого раздела.

И последнее.

Мне кажется, что тема ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА настолько важна и самодостаточна, что стоило бы выделить ее в отдельный раздел, а не вместе с темой ЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НОД

Извините за большое письмо.

Всего Вам наилучшего, Лейб Штейнгарц

Комментариев: 13

  1. 1 Елизавета Александровна Калинина:

    Уважаемый Лейб Александрович! Все, что Вы написали, совершенно правильно. Простые числа можно определять по-разному, дальше немного меняются формулировки и условия задач. Вообще говоря, существует также и определение делимости на целое отрицательное число. И там возникает вопрос об остатке, который, вообще говоря, определен не однозначно, и его выбор – вопрос соглашения. Да, в основном везде рассматривается делимость только для натуральных чисел. Но это некоторое ограничение, которое, на мой взгляд, довольно искусственное, и без которого вполне можно обойтись. Вот тут: http://ru.wikipedia.org/wiki/Остаток_от_деления об этом немного есть как об обобщении. А вот тут: http://pmpu.ru/vf4/numtheory подробно. Есть еще ряд условностей. Так, например, в алгоритме Евклида предлагается делить бОльшее число на меньшее. На самом деле, это совсем не важно. Алгоритм работает и в том случае, если делить меньшее число на большее. Что же касается таблиц простых чисел, то ясно, что в них рассматриваются только натуральные простые числа. Видимо, об этом стоит отдельно написать.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    Уважаемая Елизавета Александровна !
    Вы пишете:
    —————————————————————-
    Вообще говоря, существует также и определение делимости на целое отрицательное число.
    —————————————————————-
    Я совершенно не возражаю против делимости на целое отрицательное число.
    Более того, во всех учебниках по теории чисел (известных мне, по крайней мере) делимость определяется именно на множестве ЦЕЛЫХ чисел.
    —————————————————————-
    Я лишь за то, чтобы простые и составные числа рассматривались только среди НАТУРАЛЬНЫХ чисел (как это и принято практически всеми математиками).
    Тогда не придется в условиях в Вашей рубрике (которую я предлагаю отделить от НОД) о простых и составных числах делать каждый раз уточнение: ПРОСТОЕ НАТУРАЛЬНОЕ число.
    —————————————————————-
    Могу предложить такие (по-моему, вполне приемлемые) определения.
    —————————————————————-
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
    ПРОСТЫМ числом называется такое НАТУРАЛЬНОЕ число, которое имеет ровно два натуральных делителя.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
    СОСТАВНЫМ числом называется такое НАТУРАЛЬНОЕ число, которое имеет более двух натуральных делителя.

    [Ответить]

  3. 3 Елизавета Александровна Калинина:

    Уважаемый Лейб Александрович!

    Я все равно не понимаю, почему простое число должно быть обязательно натуральным. Знак вообще ничему не мешает. В общем, нужно подумать и посмотреть в книгах.

    Да, вот смотрите. Все хорошо, если рассматривать делимость только на множестве натуральных чисел. Но почему мы не можем разложить целое отрицательное число в произведение простых. То есть можем, конечно, приписав знак. Но если мы не определяем для отрицательных чисел, простые они или составные, то получается какая-то ущербность. Чем число -3 отличается от числа 3? Только знаком. Свойства те же. В общем, возникает много разных вопросов, которые требуют ответов. В большинстве случае целые отрицательные числа попросту не рассматриваются. Просто все переносится на них как бы автоматически. Но если задуматься, появляются сложности. Как-то так…

    Забавно, что разночтений бывает много. Так, например, в определение кольца включается или не включается ассоциативность, в разных местах по-разному понимаются левые и правые нормальные делители группы (с точностью до наоборот). Собственно, в этом, кажется, нет ничего страшного. Логически стройная теория в любом из этих случаев выстраивается.

    Мне нужно подумать.

    [Ответить]

  4. 4 Лейб:

    Уважаемая Елизавета Александровна !
    Вы пишете:
    Я все равно не понимаю, почему простое число должно быть обязательно натуральным. Знак вообще ничему не мешает. В общем, нужно подумать и посмотреть в книгах.
    ————————————————————————–
    Лейб:
    Мы, конечно , могли бы принять, что простые числа могут быть и отрицательными.
    Но это неудобно по многим причинам.
    1. Многочисленные формулировки известных теорем придется формулировать гораздо более громоздко.
    Например, единственность разложения натуральных чисел на простые множители.
    2. По той же причине удобства (а не логической необходимости) число 1 не причисляется к простым числам. Хотя, вроде бы, можно и причислить.
    3. Все таблицы простых чисел придется называть ТАБЛИЦАМИ НАТУРАЛЬНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
    3. На вопрос – Сколько существует простых чисел, меньших 10, ученики должны будут отвечать: БЕСКОНЕЧНО МНОГО.
    4. Этот вопрос аналогичен вопросу: – Чему равен корень из девяти ?
    Кстати, этот вопрос , мне кажется, стОило бы обсудить в Дискуссионном клубе.
    ————————————————————————–
    Вы пишете:
    Так, например, в определение кольца включается или не включается ассоциативность.
    ————————————————————————–
    Лейб:
    Я знаю, что иногда не включают коммутативность.
    Есть целое научное направление – Коммутативная алгебра.
    Но это все же высокие абстракции для специалистов.
    А ведь тут материал в помощь ученикам. Они могут им пользоваться на школьных или вступительных экзаменах.
    Тут не должно быть разночтения и неясности.
    А как сейчас дают определения простого числа в российских школах ?
    Может быть, я просто не в курсе ?

    [Ответить]

    Перовичпротиввсех Reply:

    В учебнике 6 класса детей дурят противопоставлением определения простого числа и его разъяснением.

    [Ответить]

  5. 5 Елизавета Александровна Калинина:

    Уважаемый Лейб Александрович!

    Мне в свое время давали вот такое определение, как здесь у меня. Собственно, оно такое поэтому здесь и есть. Меня это никогда не смущало. Сейчас посмотрела несколько учебников, которые мне нравятся (Виноградов, хорошие школьные задачники). Там простые числа только натуральные, как Вы и говорите. Видимо, где-то что-то я пропустила. В российской школе, кажется, делимость вводится до целых чисел, просто для натуральных (5 класс). Поэтому ориентироваться только на школу, видимо, не нужно. К 9 классу о делимости никто ничего не помнит, кроме тех ребят, которые занимаются олимпиадами. Но и у них с теорией чисел довольно плохо во многих случаях (я о школьниках с периферии, в Питере и Москве,думаю, все немного не так). На школьных экзаменах таких задач, как правило, не бывает. Вступительных экзаменов у нас сейчас практически нет, вроде как МГУ только свои экзамены по математике имеет. Да, я с Вами согласна, разночтения здесь — это плохо. Думаю дальше.

    Про специалистов. В вузовских учебниках разночтения. А о теории графов вообще сложно говорить, там единой терминологии нет вообще.

    Да, о корнях. Там же корень и арифметический корень. Только об этом тоже мало кто задумывается из школьников…

    [Ответить]

  6. 6 Перовичпротиввсех:

    Число 1 по логике простое. Ведь оно делится на 1 и само себя. Изучая числа Ферма и доказав их конечность с указанием частичного алгоритма получения простых чисел и делителей F5 и F6, я установил двойственность числа 1 с помощью моей ” скатерти Ветчинникова” наглядно на плоскости расположения чисел Ферма. Поэтому считать число 1 лишено смысла. Его нельзя считать не потому, что оно не простое, а потому, что обладает свойством двойственности.

    [Ответить]

  7. 7 ALSU:

    но посмотрите почему каждый раз одиноковые вещи написываете

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Объясните, пожалуйста, Вы о чем?

    [Ответить]

  8. 8 Геннадий:

    Получается длинная история. Если бы я подключился к дискуссии 5 лет назад, кроме подозрения, что 1 число простое, у меня не было.По логике число 1 делится на 1 и на само себя без всяких “ровно”.
    Поражаюсь интуиции Эйлера.
    Изучая проблему чисел Ферма, мне удалось их немного “разворошить”: расположить их на плоскости и написать 9 полных строк начала алгоритма получения простых чисел Ферма и их делителей, то есть включая делители F6. С конечностью я может быть поспешил, но не без оснований. Вот если бы написал вторую половину 10 строки…
    Чтобы не утруждать Вас и себя ответами и вопросами прочтите сначала статью в №3 “Учительской газеты” от 22 января за 2013 год “Изначально быть наукой, или как определить наполняемость класса в школе”. Когда я попытался поместить с большим содержанием эту статью на сайте dxdy ее поместили в карантин, а затем и вовсе прекратили доступ. Я плохо владею компьютером, посмотрите, может сохранилось(не более месяца назад). В чем разногласие? По понятной причине я не могу изложить скатерть и все строки алгоритма, а логика модераторов: не может быть того что есть, если мы об этом не знаем. Вы меня застали за написанием статьи “Правильные многогранники и ячейки пчелиных сот”. Но какое издание ее опубликует?
    Теперь по существу нашей темы. Можно услышать среди математиков в лучшем случае “этого не может быть , так как противоречит теореме..”, в худшем случае “этого не может быть по определению”. Когда теория не разработана, то приходится уповать на определения. В №8 номере журнала “Математика в школе” за этот год один американец, извините за выражение, предостерегал других, что может быть 1+1=2 и 1+1=1 в зависимости от объектов. В жизни не может быть двух одинаковых людей, яблок, капель. Но в мире чисел, я имею ввиду числа Ферма, есть только две одинаковые единицы, поэтому 1+1+1=2. Числа минус трех на скатерти нет.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    К сожалению, в УГ статью пока не прочитать, недоступна… В карантин тоже не могу войти, нужно регистрироваться, а не хочется…

    [Ответить]

  9. 9 Геннадий:

    Говорят надо платить 300 рублей, лично я хожу в республиканскую.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    В УГ можно будет прочитать через 3 недели: http://www.ug.ru/archive/49461

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение