Распечатать запись Распечатать запись

Осторожно! Впереди большие размерности

Эту интересную задачу я впервые увидела среди задач I Ибероамериканской олимпиады для студентов университетов (проходила олимпиада 14 мая 1998 года).


Вот ее условие.

В n-мерном Евклидовом пространстве рассмотрим единичный куб с центром в начале координат. Координатные плоскости делят этот куб на 2^n равных кубов со стороной 1/2. В каждый из этих 2^n кубов вписан n-мерный шар. Еще один n-мерный шар с центром в начале координат и радиусом r_n касается всех шаров внешним образом. Найдите

\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n .

Задача не очень сложная, но ответ получается неочевидный. Давайте сначала посмотрим на ее решение.

Начнем с двумерного случая. Все, что нужно, изображено на рисунке. Большие серые круги имеют радиус 1/2. Каждый из них касается ровно двух таких же кругов. Синий круг касается всех четырех серых кругов. По теореме Пифагора получаем, что

\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}+r_2\right)^2,

откуда \displaystyle r_2=\frac{\sqrt{2}-1}{2}.

Теперь перейдем к трехмерному пространству. У нас есть восемь серых шаров радиуса 1/2, каждый из которых касается ровно трех таких же шаров. Поместим синий шар внутрь всей этой конструкции так, чтобы он касался всех восьми серых шаров. Радиус синего шара может быть найден из уравнения

\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}+r_3\right)^2.

Получаем, что \displaystyle r_3=\frac{\sqrt{3}-1}{2} .

Аналогично можно действовать и в других измерениях. Для четырехмерного пространства получаем, что

\displaystyle r_4=\frac{\sqrt{4}-1}{2}=\frac{1}{2},

и мы видим, что радиус синего шара стал равен радиусу серых шаров. Для пятимерного

\displaystyle r_5=\frac{\sqrt{5}-1}{2}

и т.д. Таким образом, мы находим формулу для r_n:

\displaystyle r_n=\frac{\sqrt{n}-1}{2} .

В 10-мерном пространстве части синего шара будут выступать за грани единичного куба, который содержит все серые шары!

Радиус синего шара не ограничен ничем, он стремится к бесконечности. Удивительно, не правда ли?! Это противоречит интуиции…

В действительности объем гипершара фиксированного радиуса в пространстве размерности n стремится к нулю с ростом n (почитать об этом можно здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера).

Все это говорит о том, что обобщение нескольких результатов, полученных для малых размерностей, на большие, не является хорошей идеей. То, что справедливо в двух- и трехмерных пространствах, вполне может не выполняться в пространствах размерности 10 и выше.

Источники: http://www.oma.org.ar/enunciados/uni1p.htm
http://mark.reid.name/iem/warning-high-dimensions.html

Комментариев: 2

  1. 1 Чук-и-Гек:

    В ссылке на википедию по “гиперсфере” нужно убрать скобочку в конце

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила! :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение