Распечатать запись Распечатать запись

Джоконда как график функции

Лейб ШТЕЙНГАРЦ
доктор педагогики.
Иерусалим, Израиль
leybleyb@yahoo.com

ДЖОКОНДА КАК ГРАФИК ФУНКЦИИ

Послесловие (а может, предисловие) к построению функции со всюду плотным графиком

В моей статье “А ЧТО, ЕСЛИ ПОМЕНЯТЬ ТОЧКУ ЗРЕНИЯ . . . или построение функции со всюду плотным графиком” рассказывалось, как можно доказать, что существуют функции, у которых график является всюду плотным множеством на плоскости.

Как оказалось, не всем до конца понятно это довольно абстрактное доказательство.

Для того, чтобы сделать это доказательство более прозрачным, рассмотрим такую картинку.

Перед нами самая известная картина великого Леонардо Да Винчи – Джоконда. Правда, изображенная при помощи старой вычислительной машины.

Такие картинки было очень модно изготавливать в конце прошлого века.

Впрочем, и сейчас любая картинка на компьютере примерно так и составляется – из точек.

Портрет Джоконды состоит из громадного количества точек.
Сколько этих точек – мы не знаем. Может, миллион. Может, намного больше.

Не важно.

Главное, что их конечное количество.

Рассмотрим множество всех этих точек как некую геометрическую фигуру. Вспомните школьное определение, что геометрическая фигура – это любое множество точек.

И зададим следующий вопрос.

Является ли эта фигура графиком некоторой (однозначной) функции?

Для начала ответьте на другой вопрос:

является ли полуокружность графиком функции?

Даю ответ.

А это смотря как посмотреть!

Если так, то это функция (почему?):


А если так, то не функция (опять-таки, почему?):


И снова я задаю свой предыдущий вопрос:

является ли Джоконда графиком некоторой функции?

Отвечаю.

Оказывается, можно так подобрать систему координат (то есть так выбрать оси x и y), что множество всех точек, образующих портрет Джоконды, окажется графиком некоторой функции.

Докажем это.

Возьмем любую точку M рассматриваемого множества. Назовем это множество буквой G – в честь Джоконды.

Будем считать, что это множество G расположено на некоторой числовой плоскости с числовыми осями x и y.

Проведем все прямые, которые проходят через данную точку M этого множества и любую другую точку этого же множества.

Поступим так с каждой точкой.

Иначе говоря, проведем все прямые, соединяющие попарно все точки данного множества G.

Обозначим множество всех полученных прямых так: \bar{G}.

Так как множество G конечно, то ясно, что и множество всех этих прямых будет также конечно (объясните, почему).

Каждая из этих прямых будет образовывать некоторый угол с осью x (для определенности, можно брать меньший угол, хотя это и не принципиально).

Таких углов будет тоже конечное множество.

Следовательно, непременно найдется некоторая прямая, которая не будет совпадать ни с одной из прямых множества \bar{G} и не будет параллельна ни одной из этих прямых (почему?).

Примем эту прямую за новую ось ординат. А любую прямую, ей перпендикулярную, за новую ось абсцисс.

Можно сказать и так: посмотрим на Джоконду под другим углом.

Но не под каким-угодно углом, а так, как было выбрано. Или просто повернем картинку на нужный угол.

Мы увидим примерно то, что изображено на следующей картинке:


При этом на каждой прямой, которая параллельна новой оси ординат, будет лежать не более одной точки из множества G. То есть не более одной точки из портрета Джоконды.

А это и означает, что множество точек, образующих портрет Джоконды, превратилось в график некоторой (однозначной !) функции.

Это действительно график некоторой функции, так как каждому значению x (из соответствующей области определения) соответствует единственное значение y. Это следует из нашего построения.

И хотя мы не можем указать, какому числу что именно соответствует, это все же не мешает тому, что будет получен график функции.

Впрочем, для каждого конкретного множества точек, при необходимости, можно найти соответствующую формулу даже непрерывной функции, график которой проходит через все точки принадлежащие портрету Джоконды.

Для этого достаточно воспользоваться формулой Лагранжа.

Вот как эта формула выглядит.

\displaystyle L_n(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.

И несмотря на немного пугающий вид, понять эту формулу совсем несложно.

Но об этом как-нибудь в другой раз.

Я надеюсь, что портрет Джоконды поможет более четко представить построение функции, график которой всюду плотен на плоскости.

Ведь при том построении – практически та же идея.


Один комментарий

  1. 1 А что, если поменять точку зрения... | Математика, которая мне нравится:

    [...] UPD Пояснения к статье читайте здесь: Джоконда как график функции [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение