Распечатать запись Распечатать запись

А что, если поменять точку зрения…

Лейб ШТЕЙНГАРЦ
доктор педагогики.
Иерусалим, Израиль
leybleyb@yahoo.com

А ЧТО, ЕСЛИ ПОМЕНЯТЬ ТОЧКУ ЗРЕНИЯ . . .
или построение функции со всюду плотным графиком

В математике давно известны функции с удивительным свойством: их график всюду плотен на плоскости.

В связи с этим такие функции часто называют “странными”, “экзотическими”, “дикими” и т.п.

Построения таких функций известны специалистам-математикам, но почти не знакомы “широкой публике”. Например, школьникам. Ведь те построения, которые приводятся в литературе (см., например [1] и [2]) очень громоздки и требуют серьезной математической подготовки.

Нам удалось найти совершенно элементарное доказательство существования таких функций, с которым мы хотим вас познакомить.

Напомним вначале, что множество на плоскости называется всюду плотным, если в любом круге (даже очень маленьком) обязательно найдется хотя бы одна точка из этого множества.

Например, множество всех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны (это множество обозначается так \mathbb{Q}^2, как нетрудно понять, является всюду плотным.

Но это множество не является графиком функции.

Ведь для функции необходимо, чтобы каждому значению переменной x соответствовало единственное значение переменной y.

А теперь построим нашу “странную” функцию.

ПЕРВЫЙ СПОСОБ

Проведем какую-нибудь прямую линию вида y=mx+n, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол величиной 60^{\circ}. Тогда m={\rm tg}\,60^{\circ}=\sqrt{3}.

Докажем, что на такой прямой может лежать не более одной точки с рациональными координатами.

Действительно, предположим, что этой прямой принадлежат две различные точки с рациональными координатами
A(x_1,y_1) и B(x_2,y_2).

Тогда

\left\{\begin{array}{l}<br />
y_1=mx_1+n,\\<br />
y_2=mx_2+n.<br />
\end{array}\right.

Вычитая второе уравнение из первого, получим:

y_1-y_2=m(x_1-x_2) .

Значит (учитывая, что x_1\ne x_2)

\displaystyle m=\sqrt{3}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} .

Но это невозможно, так как \sqrt{3} — число иррациональное.

Поэтому на каждой прямой вида y=x\sqrt{3}+n лежит не более одной точки с рациональными координатами.

А теперь – главная идея (взгляд “с другой стороны”).

Оставим это множество “неподвижным” и повернем оси x и y вокруг начала координат на 60 градусов (например, против часовой стрелки).

Тогда рассматриваемое нами множество тут же превратится (прямо, как в сказке “Золушка”) в график некоторой функции.

Если мы хотим, чтобы полученная нами функция была определена для всех действительных чисел, достаточно для остальных точек принять ее значение равным, например, нулю.

Таким образом, получим функцию, определенную на всей числовой прямой, график которой, очевидно, всюду плотен на плоскости.

ВТОРОЙ СПОСОБ

Этот способ еще короче. Но он будет понятен лишь тем, кто знаком с начальными понятиями теории множеств.

Этот способ доступен, например, для математиков-первокурсников или для учеников математических классов.

Рассмотрим снова множество \mathbb{Q}^2 всех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны.

Проведем все прямые, которые соединяют попарно точки множества \mathbb{Q}^2.

Как известно, множество \mathbb{Q}^2 (как и множество \mathbb{Q}) является счетным. Поэтому и множество P всех таких прямых также будет счетным (как счетное объединение счетных множеств).

Но так как множество вообще всех прямых является несчетным (рассмотрите хотя бы все прямые вида y=n, где n — действительное число), то существует прямая, не параллельная и не совпадающая ни с одной прямой из множества P.

Примем эту прямую за новую ось ординат, а любую прямую, ей перпендикулярную, за ось абсцисс.

Дальнейшее почти очевидно.

[ 1 ] Б.Гелбаум, Дж.Олмстед Контрпримеры в анализе

[ 2 ] http://vladimir.shibinsky.ru/pages/article12/
В.М. Шибинский. Примеры и контрпримеры в математическом анализе

В заключение предлагаем решить головоломку, которую мы придумали для младших школьников, но которая, как нам кажется, хорошо иллюстрирует главную идею изложенного построения “странной” функции.

ГОЛОВОЛОМКА С ДВУМЯ БОКАЛАМИ

Перед вами два бокала, построенные при помощи спичек. Переставьте две спички так, чтобы у полученной конфигурации была ось симметрии.

Найдите два различных способа решения.

Показать решение

UPD Пояснения к статье читайте здесь: Джоконда как график функции

Комментариев: 21

  1. 1 disputant:

    Увы, моих представлений о чистой математике маловато, чтобы понять, что изменится при повороте на 60 градусов… Ну будет какая-то дырявая прямая. Но как из этого следует, что в любой окрестности любой точки – например, (183,248) – будет точка этой прямой?…

    Второй способ вообще непонятен. Ну взяли мы как систему координат x=sqrt(2), y=sqrt(2). А функция где?.. Как для заданной x получить y?

    Можно ткнуть носом в какое-то еще более подробное объяснение?

    Со спичками – например, сдвинуть в нижней фигурке горизонталь на полспички вправо, и соответственно переложить так, чтоб получить перевернутую верхнюю фигуру…

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    В любой окрестности любой точки, конечно же, не будет точки данной прямой. Просто в новой системе координат каждой точке новой оси абсцисс будет соответствовать не более одной точки с рациональными координатами. Тем самым, множество точек с рациональными координатами будет являться графиком некоторой функции.

    Функция – это правило, по которому каждой точке одного множества ставится в соответствие точка другого множества. Мы выбираем систему координат, в которой каждой точке оси абсцисс ставим в соответствие не более одной точки рассматриваемого множества точек плоскости с рациональными координатами. При этом каждой точке с рациональными координатами соответствует некоторая точка оси абсцисс. То есть правило, по которому строится соответствие, определено. Другой вопрос в том, что это правило явно, формулой, не выписано. Тем не менее функция есть, и мы знаем, как выглядит ее график. Да, во втором способе даже не указывается явно новая система координат, просто доказано, что требуемая система координат существует.

    К сожалению, то, что Вы предлагаете сделать со спичками, не приведет к получению фигуры, имеющей ось симметрии. Там будет лишь центр симметрии…

    [Ответить]

  3. 3 Корнеев В.Ф.:

    У Вас действительно первый способ с дефектом. Рассмотрена только одна прямая и её образ. Конечно вне её всегда можно провести круг какого угодно большого радиуса без точек плоскости. Но это легко устранимо добавлением фразы “Рассмотрим множество всех таких прямых у = кх+п”, где к – корень квадратный из 3 (клавиатура не набирает квадратный корень). Таким образом, получим функцию, определенную на всей числовой прямой, график которой, НЕ очевидно, всюду плотен на плоскости. Или что-то не так? Например, что эта ф-ция будет однозначна.
    С бокалами их нужно превратить в квадраты. Другого способа не вижу. Но и этот способ действует, когда диагонали квадратов лежат на одной прямой.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Не поняла. Что значит “круг какого угодно большого радиуса без точек плоскости”? Все происходит на плоскости. График функции получается изображением точки с координатами (x,f(x)) в определенной системе координат. Причем одному x должно соответствовать не более одного значения f(x). Для остальных x положим f(x) равным чему угодно, нулю, например. Видимо, я не поняла того, что Вы хотели сказать ( . Для бокалов Вы правы, но оно так и нарисовано. А второй способ увидите, если откроете “Показать решение”.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    без точек прямой. Но что я хотел здесь сказать?

    [Ответить]

  5. 5 disputant:

    Ну, я понимаю, что такое функция… Пусть даже каждой точке оси абсцисс соответствует не более одной точки с рациональными координатами (опять же – наверное, каждой рациональной точке оси, потому что мощность действительных чисел – мощность континуума, а рациональные числа счетны). Но где доказано, что они, грубо говоря, равномерно размазаны по всей плоскости, а не имеют одно и то же значение y?

    Понятно, что аналитически вы такую формулу не запишете. Но, может, можно указать какой-то алгоритм поиска значений такой функции (иначе какой в ней смысл?) – у нас есть рациональное x. Как найти соответствующее ему рациональное y?

    [Ответить]

  6. 6 Елизавета Александровна Калинина:

    Что Вы называете рациональной точкой оси? На новой оси абсцисс только одна точка с исходными рациональными координатами — (0,0). Кажется, поняла, что Вас смущает. Мы рассматриваем точки с рациональными координатами в исходной системе координат. По построению значение функции в точке новой оси абсцисс равно расстоянию со знаком от этой точки до единственной точки (если такая имеется) с рациональными координатами (в исходной системе координат), лежащей на перпендикуляре к оси абсцисс, восстановленном в рассматриваемой точке этой оси, иначе (если такой точки нет) — нуль.

    Множество точек с рациональными координатами всюду плотно на плоскости. Мы рассматриваем все это множество целиком. Но в другой системе координат. Каждая точка с рациональными координатами соответствует какой-то точке новой оси абсцисс, поэтому она является точкой графика функции. Вот откуда берется та самая размазанность по плоскости. Да, будет только счетное число точек, в которых функция принимает ненулевые значения.

    [Ответить]

  7. 7 disputant:

    Нет, я, кажется, безнадежно тупой…

    y’ = x \cos \varphi + y \sin \varphi – или как там записывается преобразование координат? Да, согласен, что рациональные точки превратятся в действительные, но будут действительные, которые превратятся в рациональные?

    Никак не пойму ваш переход.

    “По построению значение функции в точке новой оси абсцисс равно расстоянию со знаком от этой точки до единственной точки (если такая имеется) с рациональными координатами (в исходной системе координат), лежащей на перпендикуляре к оси абсцисс, восстановленном в рассматриваемой точке этой оси, иначе (если такой точки нет) — нуль.”

    Давайте конкретно. Имеем y=\sqrt{3}x, единственная рациональная точка – (0,0). Берем точку (1,1). Во что она превратится в новой системе координат? Просто вы так написали, что я продраться через вашу фразу никак не могу. Такое сложноподчиненное предложение, что я никак не соображу все эти восстановленные перпендикуляры к старым новым осям…

    [Ответить]

  8. 8 disputant:

    Я хотел изобразить y’=x \cos \varphi + y \sin \varphi – вобщем, преобразование координат при повороте… Предпросмотра нет, где-то, видно, ошибся.

    [Ответить]

  9. 9 Елизавета Александровна Калинина:

    Ничего, я поправила. Сейчас добавлю комментарий автора статьи. Там как раз о повороте. Надеюсь, станет понятнее.

    [Ответить]

  10. 10 disputant:

    Кажется, начинает доходить. Просто вы хотите сказать, что существует такая прямая, что проекции на нее всех точек с рациональными координатами (x,y) будут давать рациональные же числа, и при этом никакие две точки не дадут одну и ту же проекцию?

    Если да – осталось попытаться понять, почему такие проекции не могут совпадать…

    [Ответить]

  11. 11 disputant:

    … и почему они всегда рациональные…

    [Ответить]

  12. 12 Елизавета Александровна Калинина:

    Лейб Александрович Штейнгарц:

    Я полностью согласен с комментариями Елизаветы Александровны.

    Хотел бы добавить, что можно даже указать правило, по которому значению x ставится в соответствие некоторое определенное значение y (при первом способе построения «странной» функции).

    Имеются формулы, связывающие новые координаты точки, полученные после поворота на угол \alpha, с ее прежними координатами.

    Предположим, что прямоугольную систему координат повернули на угол \alpha в положительном направлении и получили новую систему координат X’OY’.

    Тогда новые координаты некоторой точки выражаются через старые следующим образом:
    \left\{\begin{array}{l}<br />
x^{\prime}=x\cdot\cos\alpha+y\cdot\sin\alpha,\\<br />
y^{\prime}=y\cdot\cos\alpha-x\cdot\sin\alpha.<br />
\end{array}\right.

    Так как \alpha=60^{\circ}, то получим, что
    \left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
x^{\prime}=x\cdot\frac{1}{2}+y\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
y^{\prime}=y\cdot\frac{1}{2}-x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.<br />
\end{array}\right.

    Поэтому, если мы сможем число x^{\prime} представить в виде \displaystyle x^{\prime}=x\cdot\frac{1}{2}+y\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}, где числа x и y рациональные, то (так как в статье мы доказали, что эти числа определяются однозначно) по ним однозначно определяется число y^{\prime}. То есть значение функции в точке x^{\prime}.
    Если сможем доказать, что число нельзя представить в таком виде, то принимаем, что y^{\prime}=0.

    Правда, иногда совсем нелегко доказать, что некоторое число не представимо в некотором определенном виде.

    Но это совершенно не влияет на доказательство существования рассматриваемой (однозначной) функции.

    [Ответить]

  13. 14 disputant:

    Как говорится, замнем для ясности. Может, утром понятнее станет, а пока – никак… Потому что получается, что x’ и y’ должны быть иррациональными.

    Кажется, понял… Повсюду плотная функция – рациональная или действительная? Я почему-то решил, что ищется повсюду плотная рациональная функция, но если она действительная, то тогда все совсем иначе :)

    [Ответить]

  14. 15 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, конечно же, вещественная, она же действительная, да! :)

    [Ответить]

  15. 16 disputant:

    Ну я сегодня невнимательный… И осевую симметрию с центральной перепутал, и с функцией нахомутал… Простите великодушно!

    [Ответить]

  16. 17 Елизавета Александровна Калинина:

    Ничего страшного ;) . Главное, разобрались!

    [Ответить]

  17. 18 Корнеев В.Ф.:

    О, теперь ясно. Вообще-то интересная статья.

    [Ответить]

  18. 19 Лейб Александрович Штейнгарц:

    Рад, что прояснилось.
    Спасибо за теплый отзыв

    [Ответить]

  19. 20 Джоконда как график функции | Математика, которая мне нравится:

    [...]рассказывалось, как можно доказать, что существуют функции, у которых график является всюду плотным множеством на плоскости [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение