Математическое ожидание

Азартные игры были главной причиной возникновения и развития теории вероятностей. Эта теория, как и любая другая математическая теория, устанавливает свои законы и теоремы, которые приводят к некоторой путанице. Действительно, кажется странным, что случай может регулироваться законами, потому что если это так, и если мы знаем эти законы, мы можем выиграть в случайной игре — действительно несбыточная мечта. Первое, что нужно прояснить, это то, что случайной является игра, в которой игрок не может иметь никакого влияния на исход игры. Ни шахматы, ни спортивный бридж не являются случайными играми. А вот бросание монеты и рулетка — случайные игры.

Математическое ожидание

В некоторых играх, таких как обычная лотерея или бинго, игрок не принимает никакого участия, выходящего за рамки приобретения билета. Другие, такие как игры казино (рулетка и блэк джек), допускают более активное участие игрока, который может управлять ставками и выбирать тип игры. Вообще говоря, чем меньше участие, чем больше выигрыш. В любом случае, у нас есть четкое ощущение, что в выигрыше всегда оказывается казино. Это потому, что с математической точки зрения, игра не является справедливой. Понятие справедливой игры тесно связано с математическим ожиданием, которое впервые было введено голландским математиком Яном де Виттом (1625–1672) в трактате о пожизненной ренте (1671).

В игре, где известны вероятности событий, которые в ней происходят, математическое ожидание, обозначаемое буквой

    \[E\]

, представляет собой средний выигрыш за игру. Игра считается справедливой, когда математическое ожидание равно нулю. Посмотрим на примере, как найти математическое ожидание. Предположим, что кто-то предлагает следующую игру: мы бросаем кости, если выпадает

    \[1\]

, то вы платите €

    \[30\]

, а если что-то другое, то вы выигрываете €

    \[4\]

. Первое, что нужно сделать, это вычислить вероятность каждого события. Вероятность

    \[P(1)\]

того, что выпадет

    \[1\]

, равна

    \[1/6\]

(один благоприятный случай из шести возможных), а вероятность выпадения любого другого числа равна

    \[5/6\]

. Математическое ожидание рассчитывается как сумма всех вероятностей, умноженных на соответствующие доходы или убытки, (доход берем со знаком “плюс’’, убыток — со знаком “минус’’). В нашем случае математическое ожидание будет равно

    \[E = 4 \cdot 5/6 - 30 \cdot 1/6 = - 10/6 = - 1,66\]

евро.

Это сумма средней прибыли, которую получит наш противник, если мы согласимся на игру. Эта игра будет справедливой, если при выпадении чего-либо, отличного от

    \[1\]

, мы будем получать

    \[6\]

евро в случае подвижного, поскольку:

    \[E = 6 \cdot 5/6 - 30 \cdot 1/6 = 30/6 - 30/6 = 5 - 5 = 0 .\]

В некоторых случаях интуиция может помочь определить, является ли игра благоприятной, неблагоприятной или несправедливой, но существует много ситуаций, в которых эта интуиция не является полезным инструментом, и становится необходимым использовать карандаш и бумагу. Есть множество примеров, которые показывают, как интуиция может ввести в заблуждение. Например, на собрании, в котором участвуют

    \[23\]

человека, вероятность встретиться двум людям, имеющим день рождения в один и тот же день, несколько выше, чем вероятность выпадения орла при бросании монеты.

Вот еще один пример. Предположим, что два игрока

    \[A\]

и

    \[B\]

играют в следующую игру. Игрок

    \[A\]

случайным образом берет одну карту из колоды в

    \[36\]

карт. Если у него валет, дама или король, игрок

    \[B\]

должен заплатить €

    \[300\]

, если туз, то игрок

    \[B\]

платит игроку

    \[A\]

    \[2\]

€, и если любая другая карта, то также проигрывает

    \[A\]

, который должен заплатить игроку

    \[B\]

    \[25\]

€. Кто выиграет? Сначала найдем вероятность каждого исхода. В колоде 36 карт, из которых только

    \[12\]

валетов, королей и дам, поэтому вероятность вытянуть одну из этих карт:

    \[P_f = 12/36=1/3.\]

Так как есть только

    \[4\]

туза, то вероятность вытянуть один из них

    \[P_a = 4/36=1/9 .\]

Исключим валетов, дам, королей и тузов, оставшихся карт в колоде, в общей сложности

    \[20\]

, поэтому вероятность вытянуть карту, отличную от перечисленных:

    \[P = 20/36=5/9 .\]

Теперь мы можем применить формулу для расчета математического ожидания игры.

    \[E = 300 \cdot P_f - 2 \cdot P_a - 25 \cdot P,\]

    \[E = 300 \cdot 1/3 - 2 \cdot 1/9 - 25 \cdot 5/9,\]

    \[E = 773/9 \approx 85.89\]

€.

Это средняя прибыль игрока

    \[A\]

. Ясно, что игра не является справедливой.

Источник: http://www.enriquegracian.com/articulos/esperanza-matematica

Комментариев: 6

  1. 1 rotozeev:

    Я вот у себя на бложике анализировал “беспроигрышную” стратегию игры в рулетку, которая состоит в удвоении ставок при проигрыше (красное/черное), и которую активно рекламируют партнеры интернет-казино. Ясно, что даже без “0″ в рулетке нулевое мат. ожидание, а с “0″ – отрицательное, но имея в запасе некоторое количество денег “на отыграться”, казалось бы можно зарабатывать. На руку играет тот факт, что жизнь человека – конечна, и среднее время, за которое произойдет тотальный проигрыш (а он обязательно произойдет) может быть большим человеческой жизни. Но, тем не менее, сумма “на отыграться” для такой стратегии получается огромная, да и у казино есть верхний предел ставки.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    А можете ссылку дать? Интересно.

    [Ответить]

  3. 3 rotozeev:

    Это “исследование” находится тут: http://rotozeev.net/page/kak-vyigryvat-v-ruletku

    Сразу скажу – я по профессии не математик, для меня главное не точные формулы и точные решения, а оценки величин.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, прочитала. Так оценки тут и важны.

    [Ответить]

  5. 5 Чук-и-Гек:

    “Например, на собрании, в котором участвуют 23 человека, вероятность встретить человека, день рождения которого в тот же день, что и у вас, несколько выше, чем вероятность выпадения орла при бросании монеты.”

    Это неверно. Правильно сказать, что вероятность больше 0.5 встретить _хотя_ _бы_ _двух_ _людей_ с одинаковыми днями рождения. Вероятность же того, что кто-то имеет такую же заранее выбранную дату (“ваш день рождения”) как была маленькой так и остается ))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласна, исправила :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение