Распечатать запись Распечатать запись

Математическое ожидание

Азартные игры были главной причиной возникновения и развития теории вероятностей. Эта теория, как и любая другая математическая теория, устанавливает свои законы и теоремы, которые приводят к некоторой путанице. Действительно, кажется странным, что случай может регулироваться законами, потому что если это так, и если мы знаем эти законы, мы можем выиграть в случайной игре — действительно несбыточная мечта. Первое, что нужно прояснить, это то, что случайной является игра, в которой игрок не может иметь никакого влияния на исход игры. Ни шахматы, ни спортивный бридж не являются случайными играми. А вот бросание монеты и рулетка — случайные игры.

Математическое ожидание

В некоторых играх, таких как обычная лотерея или бинго, игрок не принимает никакого участия, выходящего за рамки приобретения билета. Другие, такие как игры казино (рулетка и блэк джек), допускают более активное участие игрока, который может управлять ставками и выбирать тип игры. Вообще говоря, чем меньше участие, чем больше выигрыш. В любом случае, у нас есть четкое ощущение, что в выигрыше всегда оказывается казино. Это потому, что с математической точки зрения, игра не является справедливой. Понятие справедливой игры тесно связано с математическим ожиданием, которое впервые было введено голландским математиком Яном де Виттом (1625–1672) в трактате о пожизненной ренте (1671).

В игре, где известны вероятности событий, которые в ней происходят, математическое ожидание, обозначаемое буквой E, представляет собой средний выигрыш за игру. Игра считается справедливой, когда математическое ожидание равно нулю. Посмотрим на примере, как найти математическое ожидание. Предположим, что кто-то предлагает следующую игру: мы бросаем кости, если выпадает 1, то вы платите € 30, а если что-то другое, то вы выигрываете € 4. Первое, что нужно сделать, это вычислить вероятность каждого события. Вероятность P(1) того, что выпадет 1, равна 1/6 (один благоприятный случай из шести возможных), а вероятность выпадения любого другого числа равна 5/6. Математическое ожидание рассчитывается как сумма всех вероятностей, умноженных на соответствующие доходы или убытки, (доход берем со знаком “плюс’’, убыток — со знаком “минус’’). В нашем случае математическое ожидание будет равно

E = 4 \cdot 5/6 – 30 \cdot 1/6 = – 10/6 = – 1,66 евро.

Это сумма средней прибыли, которую получит наш противник, если мы согласимся на игру. Эта игра будет справедливой, если при выпадении чего-либо, отличного от 1, мы будем получать 6 евро в случае подвижного, поскольку:

E = 6 \cdot 5/6 – 30 \cdot 1/6 = 30/6 – 30/6 = 5 – 5 = 0 .

В некоторых случаях интуиция может помочь определить, является ли игра благоприятной, неблагоприятной или несправедливой, но существует много ситуаций, в которых эта интуиция не является полезным инструментом, и становится необходимым использовать карандаш и бумагу. Есть множество примеров, которые показывают, как интуиция может ввести в заблуждение. Например, на собрании, в котором участвуют 23 человека, вероятность встретиться двум людям, имеющим день рождения в один и тот же день, несколько выше, чем вероятность выпадения орла при бросании монеты.

Вот еще один пример. Предположим, что два игрока A и B играют в следующую игру. Игрок A случайным образом берет одну карту из колоды в 36 карт. Если у него валет, дама или король, игрок B должен заплатить € 300, если туз, то игрок B платит игроку A 2 €, и если любая другая карта, то также проигрывает A, который должен заплатить игроку B 25 €. Кто выиграет? Сначала найдем вероятность каждого исхода. В колоде 36 карт, из которых только 12 валетов, королей и дам, поэтому вероятность вытянуть одну из этих карт:

P_f = 12/36=1/3.

Так как есть только 4 туза, то вероятность вытянуть один из них

P_a = 4/36=1/9 .

Исключим валетов, дам, королей и тузов, оставшихся карт в колоде, в общей сложности 20, поэтому вероятность вытянуть карту, отличную от перечисленных:

P = 20/36=5/9 .

Теперь мы можем применить формулу для расчета математического ожидания игры.

E = 300 \cdot P_f – 2 \cdot P_a – 25 \cdot P,

E = 300 \cdot 1/3 – 2 \cdot 1/9 – 25 \cdot 5/9,

E = 773/9 \approx 85.89 €.

Это средняя прибыль игрока A. Ясно, что игра не является справедливой.

Источник: http://www.enriquegracian.com/articulos/esperanza-matematica

Комментариев: 6

  1. 1 rotozeev:

    Я вот у себя на бложике анализировал “беспроигрышную” стратегию игры в рулетку, которая состоит в удвоении ставок при проигрыше (красное/черное), и которую активно рекламируют партнеры интернет-казино. Ясно, что даже без “0″ в рулетке нулевое мат. ожидание, а с “0″ – отрицательное, но имея в запасе некоторое количество денег “на отыграться”, казалось бы можно зарабатывать. На руку играет тот факт, что жизнь человека – конечна, и среднее время, за которое произойдет тотальный проигрыш (а он обязательно произойдет) может быть большим человеческой жизни. Но, тем не менее, сумма “на отыграться” для такой стратегии получается огромная, да и у казино есть верхний предел ставки.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    А можете ссылку дать? Интересно.

    [Ответить]

  3. 3 rotozeev:

    Это “исследование” находится тут: http://rotozeev.net/page/kak-vyigryvat-v-ruletku

    Сразу скажу – я по профессии не математик, для меня главное не точные формулы и точные решения, а оценки величин.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, прочитала. Так оценки тут и важны.

    [Ответить]

  5. 5 Чук-и-Гек:

    “Например, на собрании, в котором участвуют 23 человека, вероятность встретить человека, день рождения которого в тот же день, что и у вас, несколько выше, чем вероятность выпадения орла при бросании монеты.”

    Это неверно. Правильно сказать, что вероятность больше 0.5 встретить _хотя_ _бы_ _двух_ _людей_ с одинаковыми днями рождения. Вероятность же того, что кто-то имеет такую же заранее выбранную дату (“ваш день рождения”) как была маленькой так и остается ))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласна, исправила :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение