Математика, которая мне нравится

Это задача на инвариант.

Мы будем рассматривать конечное расположение монет, при котором все монеты лежат вверх орлом. Ясно, что из этого расположения можно получить второй вариант — когда все монеты лежат вверх решкой — довольно легко: например, можно перевернуть все горизонтальные ряды.

Разделим монеты на три группы: в первую группу отнесем все угловые монеты — их

. Во вторую группу отнесем четыре внутренние монеты. В третью группу отнесем оставшиеся монеты, т.е. четыре пары монет, стоящих по сторонам квадрата, но не угловых.

На рисунке ниже монеты первой группы синие, второй — зеленые, третьей — красные.

Очевидно, что можно перевернуть любую угловую монету, не трогая ни одной из оставшихся монет.

Покажем теперь, как можно перевернуть одну из внутренних монет так, что все остальные монеты останутся в исходном состоянии:

Здесь монеты, лежащие вверх орлом, изобраены синими точками, а монеты, лежащие вверх решкой — красными точками.

Ясно, что точно так же, произведя симметричные операции, можно перевернуть и любую из трех других внутренних монет.

Теперь рассмотрим одну из монет, относящихся к третьей группе. Эта монета лежит в одном горизонтальном ряду, в одном вертикальном и на двух диагоналях. Как видно из рисунка, при перевороте любого ряда, содержащего данную монету, перевернутой останется одна и только одна монета той же группы. Тем самым, мы не сможем перевернуть все монеты вверх орлом, если у нас в начале игры перевернуто нечетное число монет третьей группы. При этом любые две монеты из третьей группы, как легко видеть, можно одновременно перевернуть.

Итак, инвариантом в этой задаче является четность числа перевернутых решкой монет третьей группы.