Интересная последовательность

Дэвид Борвейн

Джонатан Борвейн

Забавная последовательность, которая служит, на мой взгляд, прекрасным примером того, что нельзя пользоваться так называемой “неполной’’ (а вот меня учили называть ее “ослиной’’ :) ) индукцией. Разумеется, только полная математическая индукция дает верный результат!

Сначала вопрос. Скажите, пожалуйста, каким будет следующий член последовательности

    \[{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi \over 2},{\pi\over2},\ldots\]

Думаете, тоже \displaystyle\frac{\pi}{2}? А вот и нет. Ответ такой:

    \[\frac{467807924713440738696537864469\pi}{9356158494406409073105221750000}!\]

Он был интуитивно ясен с самого начала? Вовсе нет, конечно же.

А последовательность появилась вот откуда:

    \[\int_0^{\infty}{\sin x\over x}dx,\]

    \[\int_0^{\infty}{\sin x\over x}\cdot{\sin (x/3)\over(x/3)}dx,\]

    \[\int_0^{\infty}{\sin x\over x}\cdot{\sin (x/3)\over (x/3)}\cdot {\sin (x/5)\over(x/5)}dx,\]

    \[\int_0^{\infty}{\sin x\over x}\cdot{\sin (x/3)\over (x/3)}\cdot {\sin (x/5)\over (x/5)}\cdot {\sin (x/7)\over (x/7)}dx,\]

и так далее.

Первые семь членов этой последовательности равны \pi/2 каждый, они и приведены выше. А вот восьмой член этой последовательности как раз равен

    \[\frac{467807924713440738696537864469\pi}{935615849440640907310521750000} .\]

Причину этого попытаюсь объяснить “на пальцах’’. Каждый интеграл неочевидным образом представляет собой площадь фигуры, являющейся пересечением двух фигур X и Y. При этом фигура X остается все время одной и той же, а фигура Y каждый раз немного уменьшается. И если в самом начале Y полностью содержит в себе X (их пересечение — X), то впоследствии Y уменьшается настолько, что рассматриваемое пересечение не содержит всех точек X, и интеграл начинает уменьшаться.

С этой последовательностью связана интересная история. После того как ее обнаружили Дэвид и Джонатан Борвейны, Джонатан убедился, что пакет символьных вычислений Maple считает все интегралы правильно, а затем пошутил, сообщив об этом в Maple как об ошибке. Жак Каретт из Maple говорит: “Я должен был потратить три дня для того, чтобы выяснить, что Джон обманул меня’’.

Источник: http://www.thebigquestions.com/2012/03/26/loose-ends/#more-7296

Комментариев: 4

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Вот не подумал бы.

    [Ответить]

  2. 3 Ренат:

    Улыбнуло!
    :)

    PS
    Там опечатка: в выражении

        \[\displaystyle\frac{467807924713440738696537864469}{9356158494406409073105221750000}\]

    вроде

        \[\pi\]

    не хватает.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение