Распечатать запись Распечатать запись

Интересная последовательность

Дэвид Борвейн

Джонатан Борвейн

Забавная последовательность, которая служит, на мой взгляд, прекрасным примером того, что нельзя пользоваться так называемой “неполной’’ (а вот меня учили называть ее “ослиной’’ :) ) индукцией. Разумеется, только полная математическая индукция дает верный результат!

Сначала вопрос. Скажите, пожалуйста, каким будет следующий член последовательности

\displaystyle{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi \over 2},{\pi\over2},\ldots

Думаете, тоже \displaystyle\frac{\pi}{2}? А вот и нет. Ответ такой:

\displaystyle\frac{467807924713440738696537864469\pi}{9356158494406409073105221750000}!

Он был интуитивно ясен с самого начала? Вовсе нет, конечно же.

А последовательность появилась вот откуда:

\displaystyle\int_0^{\infty}{\sin x\over x}dx,

\displaystyle\int_0^{\infty}{\sin x\over x}\cdot{\sin (x/3)\over(x/3)}dx,

\displaystyle\int_0^{\infty}{\sin x\over x}\cdot{\sin (x/3)\over (x/3)}\cdot {\sin (x/5)\over(x/5)}dx,

\displaystyle\int_0^{\infty}{\sin x\over x}\cdot{\sin (x/3)\over (x/3)}\cdot {\sin (x/5)\over (x/5)}\cdot {\sin (x/7)\over (x/7)}dx,

и так далее.

Первые семь членов этой последовательности равны \pi/2 каждый, они и приведены выше. А вот восьмой член этой последовательности как раз равен

\displaystyle\frac{467807924713440738696537864469\pi}{935615849440640907310521750000} .

Причину этого попытаюсь объяснить “на пальцах’’. Каждый интеграл неочевидным образом представляет собой площадь фигуры, являющейся пересечением двух фигур X и Y. При этом фигура X остается все время одной и той же, а фигура Y каждый раз немного уменьшается. И если в самом начале Y полностью содержит в себе X (их пересечение — X), то впоследствии Y уменьшается настолько, что рассматриваемое пересечение не содержит всех точек X, и интеграл начинает уменьшаться.

С этой последовательностью связана интересная история. После того как ее обнаружили Дэвид и Джонатан Борвейны, Джонатан убедился, что пакет символьных вычислений Maple считает все интегралы правильно, а затем пошутил, сообщив об этом в Maple как об ошибке. Жак Каретт из Maple говорит: “Я должен был потратить три дня для того, чтобы выяснить, что Джон обманул меня’’.

Источник: http://www.thebigquestions.com/2012/03/26/loose-ends/#more-7296

Комментариев: 4

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Вот не подумал бы.

    [Ответить]

  2. 3 Ренат:

    Улыбнуло!
    :)

    PS
    Там опечатка: в выражении \displaystyle\frac{467807924713440738696537864469}{9356158494406409073105221750000} вроде \pi не хватает.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение