Распечатать запись Распечатать запись

Гаспар Монж и его теоремы

Гаспар Монж

Французский геометр Гаспар Монж (1746–1818) известен как создатель начертательной геометрии. Кроме этого, Монж занимался математическим анализом, теорией разверток, вариационным исчислением, а также физикой и химией. Выходец из незнатного сословия, он приветствовал Французскую революцию. В правительстве Наполеона занимал пост морского министра, заведовал заводами по производству пороха и пушек. Преподавал в Мезьерской и Политехнической школах, в Высшей Нормальной школе, Французском институте (позднее ставшем Национальным институтом науки и искусства).

Приведу здесь три теоремы. Все они носят имя Монжа.


Теорема 1. Пусть выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. Пусть G,J,I,H — середины его сторон AB,BC,CD и DA соответственно. Тогда перпендикуляры, опущенные из точек G,J,I,H на противоположные стороны четырехугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Обозначим через O центр окружности. Пусть E — точка пересечения отрезков GI и HJ. Пусть O^{\prime} — точка, симметричная O относитлеьно E. Докажем, что перпендикуляры на противоположные стороны, опущенные из точек J и H, пересекаются в точке O^{\prime}.

Рассмотрим четырехугольник HOJO^{\prime}. Так как O — центр окружности, а отрезки OJ и OH соединяют O с серединами хорд окружности, то эти отрезки перпендикулярны соответствующим хордам. Кроме того,  HOJO^{\prime} — параллелограмм, поскольку противоположные его вершины симметричны относитлеьно точки E. Следовательно, прямая O^{\prime}J перпендикулярна AD, а прямая O^{\prime}H перпендикулярна BC.

Аналогично доказывается, что перпендикуляры на противоположные стороны четырехугольника из точек G и I, пересекаются в точке O^{\prime}.

Теорема 2. Пусть на плоскости даны три окружности, каждая из которых не лежит целиком внутри ни одной из остальных. Тогда точки пересечения внешних касательных, проведенных к каждой паре окружностей, лежат на одной прямой.

Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Плоскость \alpha, касающаяся всех трех сфер, пересекает данную плоскость \beta (ту, которая проходит через центры окружностей) по прямой l. Тем самым, общие касательные к каждой паре окружностей, лежащие в плоскости \alpha, пересекают l. Однако общие касательные к парам окружностям, лежащие в плоскости \beta, проходят через точки пересечения рассмотренных касательных и l в силу симметрии.

Теорема 3. Пусть на плоскости даны три окружности, которые имеют общие точки (все три). Тогда общие хорды каждой пары окружностей, соединяющие общие точки этой пары, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Каждая пара сфер пересекается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости \alpha, которая проходит через центры окружностей. Каждая пара этих окружностей имеет общие точки. Следовательно, все три окружности имеют общие точки. Таких точек две, причем они расположены на перпендикуляре к плоскости \alpha симметрично относительно ее. Точка пересечения трех хорд окружностей — точка пересечения этого перпендикуляра и плоскости \alpha.

Комментариев: 4

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Очень интересные теоремы.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, они красивые.

    Офф: почему-то мои комментарии не отображаются у Вас на сайте…

    [Ответить]

  3. 3 Алексей:

    Доказательство теоремы 2 неверно. Не всегда найдется плоскость, касающаяся трех сфер. Например, когда очень маленькая сфера лежит между двумя очень большими, то такой плоскости не существует.

    Критикуешь – предлагай. Эта теорема легко доказывается, если рассмотреть композицию гомотетий. Первая переводит окружность 1 в окружность 2, а вторая окружность 2 в окружность 3. Центры этих гомотетий лежат на линии пересечения двух пар касательных. Но с другой стороны, это гомотетия, переводящая окружность 1 в окружность 3, а значит ее центр в пересечении их общих касательных.

    Методом векторной алгебры несложно доказать, что если дана гомотетия H1 с центром в C, являющаяся композицией гомотетий H2 с центром в A и H3 с центром в B, то С принадлежит прямой AB. Из этого и следует утверждение теоремы.

    [Ответить]

  4. 4 Леонид:

    Теорема 3 – это частный случай теоремы о радикальном центре (которая гласит, что для трёх неконцентрических окружностей их радикальные оси пересекаются в одной точке – радикальном центре этих окружностей).

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение