Распечатать запись Распечатать запись

Гаспар Монж и его теоремы

Гаспар Монж

Французский геометр Гаспар Монж (1746–1818) известен как создатель начертательной геометрии. Кроме этого, Монж занимался математическим анализом, теорией разверток, вариационным исчислением, а также физикой и химией. Выходец из незнатного сословия, он приветствовал Французскую революцию. В правительстве Наполеона занимал пост морского министра, заведовал заводами по производству пороха и пушек. Преподавал в Мезьерской и Политехнической школах, в Высшей Нормальной школе, Французском институте (позднее ставшем Национальным институтом науки и искусства).

Приведу здесь три теоремы. Все они носят имя Монжа.


Теорема 1. Пусть выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. Пусть G,J,I,H — середины его сторон AB,BC,CD и DA соответственно. Тогда перпендикуляры, опущенные из точек G,J,I,H на противоположные стороны четырехугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Обозначим через O центр окружности. Пусть E — точка пересечения отрезков GI и HJ. Пусть O^{\prime} — точка, симметричная O относитлеьно E. Докажем, что перпендикуляры на противоположные стороны, опущенные из точек J и H, пересекаются в точке O^{\prime}.

Рассмотрим четырехугольник HOJO^{\prime}. Так как O — центр окружности, а отрезки OJ и OH соединяют O с серединами хорд окружности, то эти отрезки перпендикулярны соответствующим хордам. Кроме того,  HOJO^{\prime} — параллелограмм, поскольку противоположные его вершины симметричны относитлеьно точки E. Следовательно, прямая O^{\prime}J перпендикулярна AD, а прямая O^{\prime}H перпендикулярна BC.

Аналогично доказывается, что перпендикуляры на противоположные стороны четырехугольника из точек G и I, пересекаются в точке O^{\prime}.

Теорема 2. Пусть на плоскости даны три окружности, каждая из которых не лежит целиком внутри ни одной из остальных. Тогда точки пересечения внешних касательных, проведенных к каждой паре окружностей, лежат на одной прямой.

Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Плоскость \alpha, касающаяся всех трех сфер, пересекает данную плоскость \beta (ту, которая проходит через центры окружностей) по прямой l. Тем самым, общие касательные к каждой паре окружностей, лежащие в плоскости \alpha, пересекают l. Однако общие касательные к парам окружностям, лежащие в плоскости \beta, проходят через точки пересечения рассмотренных касательных и l в силу симметрии.

Теорема 3. Пусть на плоскости даны три окружности, которые имеют общие точки (все три). Тогда общие хорды каждой пары окружностей, соединяющие общие точки этой пары, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Каждая пара сфер пересекается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости \alpha, которая проходит через центры окружностей. Каждая пара этих окружностей имеет общие точки. Следовательно, все три окружности имеют общие точки. Таких точек две, причем они расположены на перпендикуляре к плоскости \alpha симметрично относительно ее. Точка пересечения трех хорд окружностей — точка пересечения этого перпендикуляра и плоскости \alpha.

Комментариев: 2

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Очень интересные теоремы.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, они красивые.

    Офф: почему-то мои комментарии не отображаются у Вас на сайте…

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение