Гаспар Монж и его теоремы

Гаспар Монж

Французский геометр Гаспар Монж (1746–1818) известен как создатель начертательной геометрии. Кроме этого, Монж занимался математическим анализом, теорией разверток, вариационным исчислением, а также физикой и химией. Выходец из незнатного сословия, он приветствовал Французскую революцию. В правительстве Наполеона занимал пост морского министра, заведовал заводами по производству пороха и пушек. Преподавал в Мезьерской и Политехнической школах, в Высшей Нормальной школе, Французском институте (позднее ставшем Национальным институтом науки и искусства).

Приведу здесь три теоремы. Все они носят имя Монжа.


Теорема 1. Пусть выпуклый четырехугольник

    \[ABCD\]

вписан в окружность. Пусть

    \[G,J,I,H\]

— середины его сторон

    \[AB,BC,CD\]

и

    \[DA\]

соответственно. Тогда перпендикуляры, опущенные из точек

    \[G,J,I,H\]

на противоположные стороны четырехугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Обозначим через

    \[O\]

центр окружности. Пусть

    \[E\]

— точка пересечения отрезков

    \[GI\]

и

    \[HJ\]

. Пусть

    \[O^{\prime}\]

— точка, симметричная

    \[O\]

относитлеьно

    \[E\]

. Докажем, что перпендикуляры на противоположные стороны, опущенные из точек

    \[J\]

и

    \[H\]

, пересекаются в точке

    \[O^{\prime}\]

.

Рассмотрим четырехугольник

    \[HOJO^{\prime}\]

. Так как

    \[O\]

— центр окружности, а отрезки

    \[OJ\]

и

    \[OH\]

соединяют

    \[O\]

с серединами хорд окружности, то эти отрезки перпендикулярны соответствующим хордам. Кроме того,

    \[HOJO^{\prime}\]

— параллелограмм, поскольку противоположные его вершины симметричны относитлеьно точки

    \[E\]

. Следовательно, прямая

    \[O^{\prime}J\]

перпендикулярна

    \[AD\]

, а прямая

    \[O^{\prime}H\]

перпендикулярна

    \[BC\]

.

Аналогично доказывается, что перпендикуляры на противоположные стороны четырехугольника из точек

    \[G\]

и

    \[I\]

, пересекаются в точке

    \[O^{\prime}\]

.

Теорема 2. Пусть на плоскости даны три окружности, каждая из которых не лежит целиком внутри ни одной из остальных. Тогда точки пересечения внешних касательных, проведенных к каждой паре окружностей, лежат на одной прямой.

Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Плоскость

    \[\alpha\]

, касающаяся всех трех сфер, пересекает данную плоскость

    \[\beta\]

(ту, которая проходит через центры окружностей) по прямой

    \[l\]

. Тем самым, общие касательные к каждой паре окружностей, лежащие в плоскости

    \[\alpha\]

, пересекают

    \[l\]

. Однако общие касательные к парам окружностям, лежащие в плоскости

    \[\beta\]

, проходят через точки пересечения рассмотренных касательных и

    \[l\]

в силу симметрии.

Теорема 3. Пусть на плоскости даны три окружности, которые имеют общие точки (все три). Тогда общие хорды каждой пары окружностей, соединяющие общие точки этой пары, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Каждая пара сфер пересекается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости

    \[\alpha\]

, которая проходит через центры окружностей. Каждая пара этих окружностей имеет общие точки. Следовательно, все три окружности имеют общие точки. Таких точек две, причем они расположены на перпендикуляре к плоскости

    \[\alpha\]

симметрично относительно ее. Точка пересечения трех хорд окружностей — точка пересечения этого перпендикуляра и плоскости

    \[\alpha\]

.

Комментариев: 4

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Очень интересные теоремы.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, они красивые.

    Офф: почему-то мои комментарии не отображаются у Вас на сайте…

    [Ответить]

  3. 3 Алексей:

    Доказательство теоремы 2 неверно. Не всегда найдется плоскость, касающаяся трех сфер. Например, когда очень маленькая сфера лежит между двумя очень большими, то такой плоскости не существует.

    Критикуешь – предлагай. Эта теорема легко доказывается, если рассмотреть композицию гомотетий. Первая переводит окружность 1 в окружность 2, а вторая окружность 2 в окружность 3. Центры этих гомотетий лежат на линии пересечения двух пар касательных. Но с другой стороны, это гомотетия, переводящая окружность 1 в окружность 3, а значит ее центр в пересечении их общих касательных.

    Методом векторной алгебры несложно доказать, что если дана гомотетия H1 с центром в C, являющаяся композицией гомотетий H2 с центром в A и H3 с центром в B, то С принадлежит прямой AB. Из этого и следует утверждение теоремы.

    [Ответить]

  4. 4 Леонид:

    Теорема 3 – это частный случай теоремы о радикальном центре (которая гласит, что для трёх неконцентрических окружностей их радикальные оси пересекаются в одной точке – радикальном центре этих окружностей).

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение