Распечатать запись Распечатать запись

Окружности в четырехмерном пространстве

“Можно ли в четырехмерном пространстве разъединить два сцепленных кольца, не разрезая их?’’ — такой вопрос мне недавно задал студент.

Скажу сразу, что задача сформулирована неточно. Возникают вопросы: какие кольца рассматриваем, что значит разъединить кольца? Все это требует уточнений. Думаю, источник этой задачи можно назвать. В книге Прасолова В.В., Тихомирова В.М. “Геометрия’’ имеется задача вот с таким условием:

В трехмерном пространстве расположены две зацепленные окружности:

Трехмерное пространство помещено в четырехмерное. Можно ли одну из этих окружностей перемещать в четырехмерном пространстве так, чтобы она ни в какой момент не пересекала бы вторую окружность, а в конце концов обе окружности оказались бы снова в исходном трехмерном пространстве, но уже были бы не зацеплены (см. рис. ниже)?

В такой постановке задача довольно проста. Для того чтобы объяснение возможности такого перемещения окружности было более наглядным, сначала рассмотрим аналогичную задачу, но с выходом в обычное, всем знакомое трехмерное пространство с плоскости.

Итак, пусть на плоскости дана окружность, а сама плоскость находится в трехмерном пространстве. Внутри окружности имеется точка. Можно ли двигать точку в трехмерном пространстве так, чтобы она ни в какой момент не оказалась на окружности, а в конце концов оказалась бы снова на плоскости, но вне данной окружности?

Решение этой задачи очевидно. Например, мы можем двигать точку сначала по прямой, перпендикулярной данной плоскости, потом в плоскости, параллельной данной, а потом (снова по прямой, перпендикулярной исходной плоскости) опустим ее на плоскость, с которой она начала движение. Движение точки вы можете видеть на рисунке:

Теперь вернемся к первоначальной задаче. Сейчас уже ясно, что описанным образом переместить окружность вполне возможно. Не умаляя общности, можно считать, что трехмерное пространство в четырехмерном задается равенством нулю четвертой координаты. Тогда одну из окружностей перемещаем так, чтобы изменялась только последняя координата ее точек. Затем, оставляя эту координату для всех точек неизменной (то есть как бы параллельно данному трехмерному пространству) перемещаем окружность так, чтобы три остальные координаты всех ее точек стали отличными от соответствующих координат точек второй окружности (это и значит, что окружности не пересекаются). А затем снова, меняя только четвертую координату всех точек первой окружности, делаем ее равной нулю. Все, процесс завершен.

Для тех, кому интересно: обсуждение этой задачи имеется по ссылке: http://heller.ru/blog/2010/09/3d-rings/

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение