Распечатать запись Распечатать запись

Основы математического анализа

В XVIII веке дифференциальное исчисление Ньютона и Лейбница было развито братьями Бернулли и Леонардом Эйлером (1707-1783) в Швейцарии. В частности, Эйлер разработал современный подход к логарифмам и экспонентам. Дифференциальное исчисление было использовано для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, распространено на функции многих переменных и использовалось для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Эти методы были применены во многих областях физики. Методология и расчеты были важны, а строгость игнорировалась.

В частности, дифференциалами манипулировали как бесконечно малыми величинами, интегралы вычислялись как первообразные, и сходимость бесконечных рядов игнорировалась. Тем не менее ведущие математики имели хорошую интуицию и редко допускали ошибки в вычислениях.

В 1734 году ирландский философ епископ Джордж Беркли (1685-1753) опубликовал работу Analyst or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician (студенту Ньютона, астроному Эдмунду Галлею). Он нападал на применяющих математический анализ за то, что они:

1. используют методы, которых не понимают;
2. делают выводы из логических противоречий, используя неоднозначные понятия.

Беркли нападет на определение производной как “конечного предела приближающихся к нулю величин’’, поскольку это определение бессмысленно. Две цитаты обобщают его выводы:

“Представить себе бесконечно малую величину является бесконечно трудным для любого человека’’.

“Тем, кто может переварить вторую или третью производную, вторую или третью разность, не нужно, мне кажется, стесняться любой точки в божественном.’’

Он высмеивает типичное вычисление. Чтобы найти производную x^n, писали

(x+o)^n-x^n=nx^{n-1}o+o^2A,

делили на o\ne0, а затем полагали o = 0.

“Начала’’ Евклида все еще считались образцом хорошей математики, и Колин Маклорен хотел изложить дифференциальное исчисление таким же образом. В 1742 году он ответил Беркли своим 794-страничным Treatise of Fluxions, где он определяет производную как предел угла наклона секущих, доказывая все методами истощения и “сведения к абсурду”. Производная не появляется до страницы 591.

Эта работа была проигнорирована из-за ее стиля и длины. Она избавляла от власти интуитивного исчисления, давая возможность легко получать новые результаты.

В 1754 году Жан Даламбер (1717-1783) определил понятие предела на словах. Затем он определил производную как предел \Delta y/\Delta x, при \Delta x, стремящемся к нулю. Однако этот подход был проигнорирован другими математиками восемнадцатого века.

В 1797 году Жозеф Луи Лагранж (1736-1818) в Théorie des Fonctions Analytiques развивает дифференциальное исчисление для аналитических функций, избегая пределов. Функция f(x) является аналитической, если она равна сумме степенного ряда P(x) при |x|<R, где R>0. Он считал, что все функции являются аналитическими (в смысле Эйлера). В частности, он получает то, что мы называем остатком ряда Тейлора в форме Лагранжа. Лагранж определяет f^{(n)}(x) как n!a_n, где

f(x+i)=f(x)+a_1i+\ldots+a_ni^n+\ldots

В 1813 году Коши отметил, что не все функции являются аналитическими: ряд Маклорена функции f(x)=exp^{-1/x^2} при x\ne0 и f(0)=0 тождественно равен нулю. Отсюда он равен f(x) только при x=0.

Возник спор об определении функции. Эйлер определял функцию формулой f(x) с областью тех x, для которых f(x) определена. В 1747 году Даламбер изучал вибрирующую струну с начальным положением f(x). В состоянии покоя струна занимает интервал [0,L] на оси абсцисс, и концы струны закреплены во время вибрации. Пусть y(x,t) обозначает координату y точки x струны в момент времени t. Даламбер показывает, что y удовлетворяет уравнению в частных производных y_{tt}=a^2y_{xx}. Он показывает, что это уравнение имеет решение

\displaystyle y(x,t)=\frac{1}{2}f(x+at)+\frac{1}{2}f(x-at) .

Даламбер говорит, что функция f должна быть непрерывной функцией, имея в виду функцию в смысле Эйлера. Тем не менее Эйлер сам ответил, что f может представлять оттянутую струну и поэтому может иметь разрывы, т.е. f может быть функцией, определяемой конечным числом формул. Современное понятие непрерывной функции было введено в 1791 году Луи Арбогастом (1759-1803). Он назвал ее родственной (contiguous) функцией и доказал теорему о промежуточном значении как одно из ее свойств.

В 1807 году Жозеф Фурье (1768-1830) ввел ряд Фурье для решения уравнения теплопроводности

u_{xx}+u_{yy}=0 на [0,\pi]\times[0,\infty) и u(x,0)=\varphi(x).

Он пишет:

\displaystyle\varphi(x)=\sum_{i=1}^{\infty}b_n\sin nx, где \displaystyle b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^x\varphi(x)\sin nx dx .

Решение этого уравнения в частных производных является

\displaystyle u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}b_ne^{-ny}\sin nx .

Фурье отмечает, что продолжение u(x,0) функции \varphi(x), определяемой этим решением, для всех вещественных $x$ является периодической нечетной функцией с периодом 2\pi. Например, когда \varphi(x)=x при 0\le x\le\pi, то и u(x,0) для x\in\mathbb{R} не непрерывна и не родственна.

Обратите внимание, что в каждой точке неродственности

\displaystyle\varphi(n\pi)=\frac{1}{2}[\varphi(n\pi-)+\varphi(n\pi+)],

где n=2k+1.

Фурье определяет функцию как правило, которое сопоставляет значение f(x) каждому x из \mathbb{R}. Он не требует никаких формул для этого правила.

В 1829 году Густав Лежен Питер Дирихле (1805-1859) нашел функцию, неродственную для каждого x\in\mathbb{R}: f(x)=0, если x рационально, и f(x)=1, если x иррационально.

Теорема о промежуточном значении была впервые доказана в 1817 году в работе чешского священника Бернарда Больцано (1781-1848). Он говорит, что функция f непрерывна, если разность f(x+\omega)-f(x) может быть сделана сколь угодно малой, если \omega достаточно мало. После работ Больцано и Коши слово родственная было отброшено, и слово непрерывная стало использоваться в его нынешнем значении. Не обращая внимания на вопрос о полноте \mathbb{R}, Больцано доказывает следующую теорему.

Теорема (Больцано). Пусть S — непустое подмножество \mathbb{R}, ограниченное сверху. Тогда S имеет точную верхнюю грань.

Следствие 1. Если f и g непрерывны на [a,b] и f(a)<g(a), а f(b)>g(b), то существует точка c\in (a,b) такая, что f(c)=g(c).

Доказательство. Применим теорему, взяв S равным множеству s\in[a,b], для которых f(s)<g(s).  S ограничено сверху b, a\in S, и точная верхняя граница S дает требуемое c.

Следствие 2 (теорема о промежуточном значении). Если f непрерывна на [a,b] и k лежит между f(a) и f(b), то существует c\in[a,b], такое, что f(c)=k.

Доказательство. Применим предыдущее следствие с g(x)=k.

В начале XIX века Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) и Огюстен-Луи Коши (1789-1857), ведущие математики Германии и Франции, взяли на себя ответственность за повторное внесение строгости в математику. Коши написал три работы по математическому анализу Cours d’Analyse в 1821 году, Resume des Leçons sur le Calcul Infinitesmal в 1822 году и Leçons sur le Calcul Differentiel в 1829 году. Последняя включает в себя и работу Больцано. Существует спор относительно того, знал ли Коши об этом.

Учебники Коши, которые не содержат рисунков, имеют следующие особенности.

Он определяет иррациональное число как нерациональный предел последовательности рациональных чисел.

Он определяет предел словами в манере Даламбера и доказывает существование конкретных пределов путем перевода слов в формулы.

Он определяет бесконечно малую величину как переменную, стремящуюся к нулю.

Он использует определение Больцано и понятие непрерывности, которые он интерпретирует в терминах пределов: f непрерывна, если предел f(x+\omega) при \omega, стремящемся к нулю, равен f(x).

Он формулирует и доказывает теорему о промежуточном значении: если функция непрерывна на [a,b] и k между f(a) и f(b), то существует c\in(a,b) такое, что f(c)=k.

Доказательство. Пусть f(a)<f(b). Пусть P=\{ x_0,\ldots,x_q\}, q=2^n — точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные отрезки. Пусть t максимальное число, такое, что f(x_t)<k, положим s_n=x_t. Тогда последовательность (s_n) возрастает и ограничена сверху b, и ее точная верхняя граница удовлетворяет условию f(c)=k.

Он осуществляет первое систематическое исследование сходимости бесконечных рядов, в том числе применяет признаки сходимости, использующие корень, частное и произведение Коши. Тем не менее, Коши сделал известную ошибку: он утверждал, что если функции f_n(x) для n\ge1 непрерывны, то их сумма f(x)=\sigma f_n(x) непрерывна.

Используя эту ошибку, он доказывает, что биномиальные ряды

\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^{\infty}C_n^kx^k

сходятся при |x|<1. Нильс Хенрик Абель (1802-1829) заметил ошибку Коши и дал первый правильный вывод сходимости биномиальных рядов в 1826 году. Следуя Даламберу, Коши определяет производную как предел \Delta y/\Delta x при \Delta x, стремящемся к нулю, и доказывает обычные правила дифференцирования. Он доказывает теорему о среднем и применяет ее, как мы делаем сегодня, чтобы доказать правило Лопиталя. (Обычная теорема о среднем неявно встречалась в ранних работах Лагранжа, она не была сформулирована и не применялась.)

Теорема Коши о среднем значении. Пусть функции f и g непрерывно дифференцируемы на [a,b]. Тогда существует c\in[a,b] такое, что f^{\prime}(c) [g(b)-g(a)]=g^{\prime}(c)[f(b)-f(a)] . Обычная теорема о среднем получается, если положить g(x)=x. Он доказывает формулу для остатка ряда Тейлора в форме Лагранжа и первым дает строгое доказательство сходимости степенных рядов для e^x, \sin x и \cos x. Коши определяет площадь непосредственно, а не как число, полученное из первообразной. Для P=\{ x_0,\ldots,x_n\} — разбиения отрезка [a,b], он определяет приближение \displaystyle \int_a^bf(x)dx как \displaystyle S(P)=\sum_{k=1}^nf(x_{k-1})(x_k-x_{k-1}). Если f непрерывна, он показывает, что для данного \varepsilon>0 существует \delta>0 такое, что если в разбиениях P_1 и P_2 длины отрезков отличаются меньше, чем на \delta, то |S(P_1)-S(P_2)|<\varepsilon. (Коши пользуется равномерной непрерывностью f и не понимает, что требуется доказательство.) Он использует этот результат для доказательства существования интеграла \displaystyle\int_a^bf(x)dx. Заметим, что произошло существенное изменение в точке зрения: определять площадь непосредственно, а не как число, полученное из первообразной функции f.

Коши доказывает теорему о среднем для интегралов и использует ее для получения формулы Барроу в обычном порядке.

Он показывает, что существуют определенные интегралы для кусочно-непрерывных функций.

Он определяет и вычисляет несобственные интегралы как пределы надлежащих интегралов.

В 1854 году, в своей Ph.D. диссертации Георг Бернхард Риман (1826-1866) определяет

\displaystyle R(P,T,f)=\sum_{k=1}^n f(t_k)(x_k-x_{k-1}),

где P=\{ x_0,\ldots,x_n\} — разбиение отрезка [a,b] и T=\{ t_1,\ldots,t_n\}, так что x_{k-1}\le t_k\le x_k. Пусть t_k^*,t_k^{**} — соответственно минимальное и максимальное значения f(x) на [x_{k-1},x_k]. Он определяет суммарное колебание P как

\displaystyle D(P,f)=\sum_{k=1}^n\left[ f(t_k^{**})-f(t_k^*) \right](x_k-x_{k-1}) .

Затем он определяет \displaystyle\int_a^b f(x)dx как предел R(P,T,f) при том, что длина отрезка в разбиении P стремится к 0.

В 1870-е годы Жан-Гастон Дарбу определил верхнюю и нижнюю интегральные суммы — U(P,f) и L(P,f), полагая D(P,f)=U(P,f)-L(P,f). Он доказывает, что предел, которым определяется \displaystyle\int_a^b f(x)dx существует тогда и только тогда, когда D(P,f) стремится к нулю при длине отрезка разбиения P, стремящейся к нулю.

Этому условию удовлетворяют равномерно непрерывные функции. Функция Дирихле, описанная выше, на промежутке [0,1] имеет D(P,f)=1 для любого разбиения P, и поэтому не интегрируема.

В 1870 году Карл Вейерштрасс (1815-1897) доказал следующую теорему, которая была
сформулирована Больцано.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой последовательности чисел из отрезка [a,b] можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Следствие. Если f непрерывна на [a,b], то f равномерно непрерывна на [a,b].

Люди думали, что все непрерывные функции дифференцируемы, за исключением изолированных точек. Тем не менее, в 1861 году Вейерштрасс построил непрерывную, нигде не дифференцируемую функцию:

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos\left( a^n\pi x\right) ,

где n — нечетное число, 0<b<1 и b>(2+3\pi)/(2a). Пример был приведен Больцано в 1834 году, но никто этого не заметил.

Вейерштрасс также дал современное определение того, что “предел f(x) равен L при x стремящемся к c’’:

Для данного \varepsilon>0 существует \delta>0 такое, что если 0<|x-c|<\delta, то |f(x)-L|<\varepsilon.

С XVII-го века предполагалось, что:

1) существуют иррациональных числа;

2) сколь угодно близко к иррациональному числу найдется рациональное число;

3) иррациональные числа подчиняются тем же законам арифметики, что и числа рациональные.

В 1872 году одновременно были опубликованы работы о строении множества иррациональных чисел Вейерштрассом, Ричардом Дедекиндом, Георгом Кантором, Шарлем Мерэ и Эдвардом Гейне. Подходы Дедекинда и Кантора используются сегодня.

Источник: http://www.math.yorku.ca/Who/Faculty/Kochman/M5400/FoundCalc.pdf

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение