Распечатать запись Распечатать запись

Найдите ошибку: правило Лопиталя

Гийом Франсуа Лопиталь

Вот такой вот софизм. Математический анализ, правило Лопиталя. Думаю, многие хорошо его знают. В самом деле хорошо? Давайте посмотрим.

Требуется найти предел

\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2} .

Как видите, это неопределенность вида \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Действуем по правилу Лопиталя и дифференцируем числитель и знаменатель. Получаем

\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{2x+\cos x}{2x} .

И снова та же самая неопределенность \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Что ж, применим снова правило Лопиталя и продифференцируем еще раз числитель и знаменатель. Наш исходный предел равен

\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2-\sin x}{2}.

И у нас получилось, что предела нет. Действительно, \sin x не имеет предела при x\to\infty.

Давайте вычислим теперь этот предел иначе. Представим дробь в виде суммы двух дробей, каждая из которых имеет предел:

\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2}+\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x^2}=1+\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x^2}.

Поскольку |\sin x|\le1, а x^2 при x\to\infty неограниченно возрастает, то второе слагаемое равно нулю.

Итак, получилось, что исходный предел равен 1.

Получились противоречивые результаты. Хорошо, давайте проверим еще одним способом. Построим график функции \displaystyle y=\frac{x^2+\sin x}{x^2}:

И похоже, что ответ 1 правильный.

В чем же подвох? :)

Показать решение

Комментариев: 3

  1. 1 disputant:

    Насколько помнится, правило Лопиталя – однонаправленное :) , т.е. “если существует предел отношения производных (при прочих условиях – дифференцируемости etc), то существует и искомый предел”. В данном случае предел отношения производных не существует, НО ОТСЮДА НЕ СЛЕДУЕТ, что не существует исходный предел…

    Где-то так…

    [Ответить]

  2. 2 Сергей:

    Да, согласен с предыдущим оратором. Правило Лопиталя верно лишь в том случае, если предел отношения производных существует. Здесь же, как Вы в тексте признаете, этого предела нет.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение