«
»

Найдите ошибку: правило Лопиталя

11 Март 2012, 0:04

Гийом Франсуа Лопиталь

Вот такой вот софизм. Математический анализ, правило Лопиталя. Думаю, многие хорошо его знают. В самом деле хорошо? Давайте посмотрим.

Требуется найти предел

    \[\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2} .\]

Как видите, это неопределенность вида

    \[\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\]

. Действуем по правилу Лопиталя и дифференцируем числитель и знаменатель. Получаем

    \[\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{2x+\cos x}{2x} .\]

И снова та же самая неопределенность

    \[\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\]

. Что ж, применим снова правило Лопиталя и продифференцируем еще раз числитель и знаменатель. Наш исходный предел равен

    \[\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2-\sin x}{2}.\]

И у нас получилось, что предела нет. Действительно,

    \[\sin x\]

не имеет предела при

    \[x\to\infty\]

.

Давайте вычислим теперь этот предел иначе. Представим дробь в виде суммы двух дробей, каждая из которых имеет предел:

    \[\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2}+\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x^2}=1+\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x^2}.\]

Поскольку

    \[|\sin x|\le1\]

, а

    \[x^2\]

при

    \[x\to\infty\]

неограниченно возрастает, то второе слагаемое равно нулю.

Итак, получилось, что исходный предел равен

    \[1\]

.

Получились противоречивые результаты. Хорошо, давайте проверим еще одним способом. Построим график функции

    \[\displaystyle y=\frac{x^2+\sin x}{x^2}\]

:

И похоже, что ответ

    \[1\]

правильный.

В чем же подвох? :)

Показать решение

Теги: ,
Рубрика: Развлекалочки ;)  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 3

  1. 1 disputant:

    Насколько помнится, правило Лопиталя – однонаправленное :) , т.е. “если существует предел отношения производных (при прочих условиях – дифференцируемости etc), то существует и искомый предел”. В данном случае предел отношения производных не существует, НО ОТСЮДА НЕ СЛЕДУЕТ, что не существует исходный предел…

    Где-то так…

    [Ответить]

    11 Март 2012, 7:56

  2. 2 Сергей:

    Да, согласен с предыдущим оратором. Правило Лопиталя верно лишь в том случае, если предел отношения производных существует. Здесь же, как Вы в тексте признаете, этого предела нет.

    [Ответить]

    11 Март 2012, 8:19

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение