Найдите ошибку: правило Лопиталя
Вот такой вот софизм. Математический анализ, правило Лопиталя. Думаю, многие хорошо его знают. В самом деле хорошо? Давайте посмотрим.
Требуется найти предел
Как видите, это неопределенность вида . Действуем по правилу Лопиталя и дифференцируем числитель и знаменатель. Получаем
И снова та же самая неопределенность . Что ж, применим снова правило Лопиталя и продифференцируем еще раз числитель и знаменатель. Наш исходный предел равен
И у нас получилось, что предела нет. Действительно, не имеет предела при
.
Давайте вычислим теперь этот предел иначе. Представим дробь в виде суммы двух дробей, каждая из которых имеет предел:
Поскольку , а
при
неограниченно возрастает, то второе слагаемое равно нулю.
Итак, получилось, что исходный предел равен .
Получились противоречивые результаты. Хорошо, давайте проверим еще одним способом. Построим график функции :
И похоже, что ответ правильный.
В чем же подвох?
1 disputant:
Насколько помнится, правило Лопиталя – однонаправленное
, т.е. “если существует предел отношения производных (при прочих условиях – дифференцируемости etc), то существует и искомый предел”. В данном случае предел отношения производных не существует, НО ОТСЮДА НЕ СЛЕДУЕТ, что не существует исходный предел…
Где-то так…
[Ответить]
11 Март 2012, 7:562 Сергей:
Да, согласен с предыдущим оратором. Правило Лопиталя верно лишь в том случае, если предел отношения производных существует. Здесь же, как Вы в тексте признаете, этого предела нет.
[Ответить]
11 Март 2012, 8:193 Елизавета Александровна Калинина:
Ага, вы правы
[Ответить]
11 Март 2012, 12:48