Легко догадаться, трудно доказать

Вот еще одна нерешенная математическая задача, которая очень просто формулируется. Однако ее решение до сих пор неизвестно.

Будем выписывать простые числа по возрастанию:

    \[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37,41,\ldots\]

Теперь рассмотрим пары соседних членов этой последовательности:

    \[2\]

и

    \[3\]

,

    \[3\]

и

    \[5\]

,

    \[5\]

и

    \[7\]

,

    \[7\]

и

    \[11\]

и т.д. В каждой такой паре вычтем меньшее число из большего. Запишем полученные числа по порядку. Получим новую последовательность:

    \[1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6,2,6,4,\ldots\]

Для нее повторим то же самое (вычтем в каждой паре соседних чисел из большего числа меньшее):

    \[1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4,2,\ldots\]


И еще раз сделаем то же самое:

    \[1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2,0,2 \ldots\]

Можно продолжить составление новых последовательностей и дальше. Можно заметить, что каждая новая последовательность начинается с

    \[1\]

. В 1958 году математик Норман Джилбрейт (Norman Gilbreath) выдвинул предположение, что с

    \[1\]

будет начинаться любая из построенных таким образом последовательностей. Джилбрейт был не первым, кто это заметил. Франсуа Прот (François Proth) увидел эту закономерность в 1878 году и даже опубликовал ее доказательство, однако это доказательство было ошибочным.

Эндрю Одлызко (Andrew Odlyzko) проверил гипотезу Джилбрейта для

    \[3,4\cdot10^{11}\]

первых последовательностей, однако до сих пор но никто не доказал, что всякая такая последовательность будет начинаться с

    \[1\]

.

Пол Эрдёш предположил, что гипотеза Джилбрейта верна, но пройдет 200 лет до тех пор, как кто-либо сможет ее доказать. Возможно, гипотеза Эрдёша более интересна, чем гипотеза Джилбрейта.

Процесс Дилбрейта составления новых последовательностей очень прост, он сложен для изучения. Это не их тех вещей, о которых люди доказывают теоремы. Никто не знает, как подойти к этой задаче. В математике есть гораздо более сложные задачи, которые, вероятно, будут решены раньше, потому что они связаны с ранее решенными задачами, и у исследователей есть некоторые идеи, с чего начать работу над ними.

Источник: http://www.johndcook.com/blog/2009/09/09/gilbreath-conjecture/

Комментариев: 2

  1. 1 Чук-и-Гек:

    Там чего-то…
    написано:
    “Будем выписывать простые числа по возрастанию…”
    дальше:
    “рассмотрим пары соседних членов этой последовательности: 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6″
    так последовательность простых берем или все же натуральных?
    ну, понятно что для натуральных первая последовательность будет 1,1,1,1,1… ))
    Так что, я думаю надо исправить вторую фразу.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила! :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение