Распечатать запись Распечатать запись

Легко догадаться, трудно доказать

Вот еще одна нерешенная математическая задача, которая очень просто формулируется. Однако ее решение до сих пор неизвестно.

Будем выписывать простые числа по возрастанию:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37,41,\ldots

Теперь рассмотрим пары соседних членов этой последовательности: 2 и 3, 3 и 5, 5 и 7, 7 и 11 и т.д. В каждой такой паре вычтем меньшее число из большего. Запишем полученные числа по порядку. Получим новую последовательность:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6,2,6,4,\ldots

Для нее повторим то же самое (вычтем в каждой паре соседних чисел из большего числа меньшее):

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4,2,\ldots


И еще раз сделаем то же самое:

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2,0,2 \ldots

Можно продолжить составление новых последовательностей и дальше. Можно заметить, что каждая новая последовательность начинается с 1. В 1958 году математик Норман Джилбрейт (Norman Gilbreath) выдвинул предположение, что с 1 будет начинаться любая из построенных таким образом последовательностей. Джилбрейт был не первым, кто это заметил. Франсуа Прот (François Proth) увидел эту закономерность в 1878 году и даже опубликовал ее доказательство, однако это доказательство было ошибочным.

Эндрю Одлызко (Andrew Odlyzko) проверил гипотезу Джилбрейта для 3,4\cdot10^{11} первых последовательностей, однако до сих пор но никто не доказал, что всякая такая последовательность будет начинаться с 1.

Пол Эрдёш предположил, что гипотеза Джилбрейта верна, но пройдет 200 лет до тех пор, как кто-либо сможет ее доказать. Возможно, гипотеза Эрдёша более интересна, чем гипотеза Джилбрейта.

Процесс Дилбрейта составления новых последовательностей очень прост, он сложен для изучения. Это не их тех вещей, о которых люди доказывают теоремы. Никто не знает, как подойти к этой задаче. В математике есть гораздо более сложные задачи, которые, вероятно, будут решены раньше, потому что они связаны с ранее решенными задачами, и у исследователей есть некоторые идеи, с чего начать работу над ними.

Источник: http://www.johndcook.com/blog/2009/09/09/gilbreath-conjecture/

Комментариев: 2

  1. 1 Чук-и-Гек:

    Там чего-то…
    написано:
    “Будем выписывать простые числа по возрастанию…”
    дальше:
    “рассмотрим пары соседних членов этой последовательности: 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6″
    так последовательность простых берем или все же натуральных?
    ну, понятно что для натуральных первая последовательность будет 1,1,1,1,1… ))
    Так что, я думаю надо исправить вторую фразу.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила! :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение