Распечатать запись Распечатать запись

Еще немного о вероятностях

В своих комментариях В.Ф. Корнеев (который пишет замечательные юморески, и не только, и их можно почитать здесь: http://wwwchesskorneev.blox.ua/2012/03/Matematicheskaya-stranichka.html) отметил забавный парадокс из теории вероятности, который он видел у Мартина Гарднера. Мне хотелось найти эту задачу, и вот наконец это удалось в книге “Математические головоломки и развлечения”. Правда, задача не о доминошках, но смысл ее, на мой взгляд, тот же. Поскольку выводы действительно противоречат здравому смыслу, то приведу ее здесь, думаю, это будет интересно не только мне.

Представьте игру в карты, в бридж. Допустим, после раздачи карт один из игроков говорит, что у него на руках туз. Тогда вероятность того, что у него имеется и второй туз, равна 5359/14498<1/2. А вот теперь давайте отметим туза пик. Пусть игра продолжается до тех пор, пока у игрока при сдаче не окажется на руках туз пик. И тогда вероятность того, что у него имеется и второй туз, составляет 11686/20825>1/2! Вероятность становится больше, если заранее указать масть туза!

Разобраться, в чем тут дело, проще, если рассмотреть всего четыре карты. Оставим туза пик, туза червей, десятку треф и валета бубен. Будем считать также, что игроков всего двое. При раздаче карт каждый игрок может получить на руки одну из шести возможных комбинаций карт:

Ясно, что хотя бы один туз у игрока на руках будет в пяти случаях, при этом только в одном из этих случаев у игрока окажется два туза. Тем самым, вероятность того, что игрок получил два туза, равна 1/5. Утверждать то, что ему выпал туз пик, игрок может в трех случаях. Второй туз при этом у него окажется только в одном случае. Таким образом, вероятность получить два туза при условии, что у игрока есть туз пик, равна 1/3.

Вот в чем тонкость: мы рассматриваем условные вероятности! Вероятность иметь на руках двух тузов при условии, что один туз уже есть, и вероятность иметь на руках двух тузов при условии, что уже имеется туз пик.

Второй парадокс имеет подобное же объяснение, хотя, на первый взгляд кажется, что различия вероятностей тут тоже не должно быть.

Мистер Смит говорит, что у него двое детей и хотя бы один ребенок мальчик. Какова вероятность того, что второй его ребенок тоже мальчик?

Вот тут, мне кажется, задача поставлена немного некорректно. Наверное, стоило бы отметить, что дети разные по какому-либо параметру (возрасту, росту, весу или еще чему-то), это важно.

Поскольку дети разные, пусть, например, по возрасту, тогда имеем три возможности: старший мальчик, младшая девочка, оба мальчики и старшая девочка, а младший мальчик. Оба ребенка мистера Смита мальчики в одном случае из трех, то есть искомая вероятность равна 1/3.

А теперь мистер Смит сказал, что мальчик старше (он весит больше, выше ростом). И тогда мы имеем только два варианта: младший ребенок мальчик или младший ребенок девочка. И искомая вероятность равна 1/2. Вот она, разница! Мы точно знаем, какой из детей мальчик, и это все меняет.

Да, вторая задача, о которой написал В.Ф. Корнеев, тоже нашлась в книге М. Гарднера “Математические головоломки и развлечения”! На всякий случай: книга продается здесь.

Комментариев: 32

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Не понимаю я этой условной вероятности. Формулирую ещё раз “свою” задачу. Есть 3 доминошки: 0-0, 0-1 и 1-1. Какова вероятность вытянуть дубль? На этот вопрос мы можем ответить 2 способами: 1) непосредственно и 2) сначала предварительно посмотрев 1 половинку. В 1) случае имеем 2/3. Во 2) – 1/2. Не вижу разницы в этих способах, а разница в ответе колоссальная.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, вот теперь я наконец поняла условие задачи. Действительно, она такая же. Смотрите. Сначала есть три доминошки, и две из них дают дубль. То есть вероятность вытащить дубль равна 2/3. Теперь мы посмотрим на одну половинку. Допустим, там 0. Мы знаем, что 0 есть всего на двух доминошках: 0-0 и 0-1. Только в одном случае из этих двух будет дубль. То есть вероятность равна 1/2. Во втором варианте, увидев 0, мы уже не рассматриваем доминошку 1-1, поскольку ее быть не может. Тут условная вероятность вытащить дубль при условии, что на одной половинке доминошки 0. В случае с 1 все так же.

    [Ответить]

  3. 3 Корнеев В.Ф.:

    Но при чём здесь условность? Какая разница, как я посмотрю? Сразу на 2 половинки или по очереди?

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Посмотрев на одну половинку доминошки, Вы получаете дополнительную информацию, которая сразу из множества всех возможных вариантов выделяет подмножество уже невозможных, которые отбрасываются. Т.е. сокращается количество возможных исходов.

    [Ответить]

  5. 5 Корнеев В.Ф.:

    И как это влияет на результат?

    [Ответить]

  6. 6 Корнеев В.Ф.:

    Простите, Вы мне ответили на мой вопрос, а я опять его. Так 2/3 или 1/2? Или всё зависит, как буду смотреть? В задаче не оговаривается способ смотрения.

    [Ответить]

  7. 7 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, от способа смотреть зависит, потому что это может дать дополнительную информацию. Если в задаче не сказано, что сначала открывается половинка доминошки, мне кажется, имеется в виду, что сразу смотрится вся доминошка. Ведь это как про двоих детей мистера Смита у Мартина Гарднера.

    Вот еще так попробую объяснить. Если Вы посмотрели на половинку доминошки, это уже другая задача. Какова вероятность того, что у Вас дубль, если на половинке доминошки 0?

    [Ответить]

  8. 8 Корнеев В.Ф.:

    Нет, не понимаю. Прочтите, пожалуйста, ещё раз условие задачи. “Какова вероятность вытянуть дубль?”. Неужели эта вероятность будет разной в зависимости от способа рассмотрения?

    [Ответить]

  9. 9 Корнеев В.Ф.:

    А вот “Какова вероятность того, что у Вас дубль, если на половинке доминошки 0?”это уже другая задача, с условной вероятностью.

    [Ответить]

  10. 10 Елизавета Александровна Калинина:

    Так вот же, получается, что если Вы посмотрели на половинку доминошки, то задача изменяется? Так же, как и в случае с тузом пик, как и в случае с детьми. Да, появляется условная вероятность. Собственно, поэтому и ответ изменяется. Или я тоже чего-то не понимаю?

    [Ответить]

  11. 11 Корнеев В.Ф.:

    Это я чего-то не понимаю. Жаль, нет под руками книги Гарднера, а обыскивать всю квартиру, где книг ой-ё-ёй… Но её имеете Вы. Кажется, автор тоже высказывал скепсис по поводу решения этой задачи. Правда, не свой.
    Ещё раз. Какова вероятность вытянуть дубль? Неужели всё зависит от того, как её мы будем решать? В математике такого нет. А вот здесь пожалуйста. Вы говорите, что во втором случае имеем другую задачу. Я этого не вижу. Какая разница, как изучить доминошку. Посмотрев на неё сразу на всю, или по очереди.

    [Ответить]

  12. 12 Елизавета Александровна Калинина:

    Там еще вот что написано. Если бы вероятность не менялась, то можно было бы угадывать, какой стороной упала скрытая от нас монета с вероятностью, большей вероятности угадывания вслепую. Мы бы бросили свою монету, и если бы она упала вниз решеткой, рассуждали бы так: бросали две монеты, одна из них выпала вверх гербом, поэтому вероятность того, что другая монета выпала вверх гербом, равна всего лишь 1/3, поэтому можно смело утверждать, что вторая монета выпала вверх решеткой. Ошибка этого рассуждения заключается в том, что точно известно, какая монета выпала гербом вверх.

    Скепсиса не нашла… Может, в какой-то другой книге?..

    Кажется, я поняла, в чем тут дело. Только надо четко сформулировать…

    [Ответить]

  13. 13 Корнеев В.Ф.:

    Вот из-за чёткости формулировки я не сумел слепить из этой ситуации юмореску. Математики давно уже прониклись скепсисом к закону об исключённом третьем (самопожирающиеся змеи, курица и яйцо). Здесь ситуация другая. Может мы пользуемся разными изданиями книги Гарднера? Кстати, юмореска “Мир чётных чисел” у меня нашла продолжение. Как Вам она теперь? Напоминаю Королевский гамбит King’s gambit Königsgambit http://wwwchesskorneev.blox.ua

    [Ответить]

  14. 14 Елизавета Александровна Калинина:

    Почему-то Ваши комментарии попали в спам :(

    Юмореску пошла читать.

    [Ответить]

  15. 15 Елизавета Александровна Калинина:

    У Вас прекрасные юморески! Вот только пока до них доберешься… может, вам выложить их куда-нибудь поближе, чтобы большее количество людей могло прочитать? Ведь здорово же!

    [Ответить]

  16. 16 Корнеев В.Ф.:

    Я планирую сделать в Королевском гамбите математическую страничку. Сейчас по-маленьку набираю Задачу двух тел”. Это не юмореска. Вот туда и помещу. Ещё по комбинаторике думаю. А так кроме юморесок ничего нет.
    Я набрал предыдущее примечание, нажал “Добавить”, а оно исчезло. Я по-новой. И оно исчезло. Ну, думаю, значит ему не быть. Теперь вот смотрю – одно появилось. Наверное Вы его из спама поместили.
    Ага, данную страничку помещаю в Закладки” Королевского гамбита. В “Мне это интересно”. Там уже есть одна.

    [Ответить]

  17. 17 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, математическая страничка – это будет очень хорошо. Я с огромным удовольствием ссылку поставлю :)

    [Ответить]

  18. 18 Корнеев В.Ф.:

    Ага, только что научился прикреплять файлы. Вот мои юморески http://files.mail.ru/IL16TD

    [Ответить]

  19. 19 Корнеев В.Ф.:

    На Миша Бечкало не обращать внимания.

    [Ответить]

  20. 20 Елизавета Александровна Калинина:

    Ссылку на юморески поставила в начало ;) .

    [Ответить]

  21. 21 Аноним:

    Задача с костяшками заставила призадуматься, и, кажется, Вы, Елизавета, неправы, и вот почему.

    Во втором случае, с условной вероятностью, вариантов 6. Пусть у костяшек есть 2 стороны – левая и правая. Костяшку 1-0 можно рассмотреть с двух сторон, и будет разный результат. Костяшки 1-1 и 0-0 – тоже с двух, но результат одинаков. Итого – 3 варианта, что первой выпадет 1, и 3 варианта, что 0. Но 2 из этих первых (выпадает 1) и вторых (выпадает 0) результата связаны с дублем, и по одному – не с дублем. Так что вероятность выпада дубля – 4/6 = 2/3. Увы.

    Варианты: (л, п – левая, правая)
    1л-1п
    1п-1л
    0п-0л
    0л-0п
    1л-0п
    0п-1л

    [Ответить]

  22. 22 Елизавета Александровна Калинина:

    Теперь я буду думать. И что скажет на это В.Ф.Корнеев?

    [Ответить]

  23. 23 Елизавета Александровна Калинина:

    Вот, кажется, так. В теории вероятности очень важно задать вероятностное пространство (ну, это я так сложно определяю), а если просто, то нужно определить, что считать событием. Мы можем считать событием выпадение доминошки 0-1 или выпадение слева 0, справа 1. И вероятность будет разной в этих случаях.

    [Ответить]

  24. 24 Корнеев В.Ф.:

    Наконец-то опять обзавёлся лимитным Интернетом. Елизавета, ссылку на мою статью нужно было брать не здесь, а в “Королевском гамбите”. Тогда не было бы проблем с моим Ником Бечкало.
    Мне кажется, что неправильно считаю я. Во втором случае нужно применять формулу полной вероятности. Смотрим на одну половинку. Можно увидеть 0, а можно 1. Вероятность каждого 1/2. Далее учитываем, какова вероятность увидеть то же…
    Ах, Вы так меня подбиваете создать Математическую Страничку у меня в блоге, что я это сделаю сейчас же.

    [Ответить]

  25. 25 Елизавета Александровна Калинина:

    Ссылку исправила. Теперь она ведет как раз на математическую страничку.

    [Ответить]

  26. 26 Корнеев В.Ф.:

    Предложил эту задачу в “Математика”.

    2 способа решения – 2 разных ответа.

    Задача. Имеются 3 доминошки: 0-0, 0-1 и 1-1. Какова вероятность вытянуть дубль? Ответ зависит от способа решения задачи. 1) Если посмотрим сразу на 2 половинки, то 2/3. 2) Если посмотрим по очереди, то ответ 1/2. Но ведь ответ не должен зависеть от способа решения. В чём тут закавыка?
    теория вероятностей
    править
    задан 4 часа назад

    Володя
    1●1
    добавить комментарий

    2 ответа

    Вероятность 2/3. Второй способ рассуждения, честно говоря, не понял. Но, каков бы он не был, он – ошибочный.
    Дополнение (ответ на комментарий). В любой задаче по теории вероятности обязательно присутствуют 3 компонента
    1) эксперимент (испытание),
    2)множество попарно несовместных элементарных событий (исходов испытания),
    3)заданные вероятности элементарных событий.
    В классической схеме элементарные события равновероятны.
    Так вот Вы, смешиваете 2 различные задачи, соответствующие разным экспериментам.
    Задача 1. Испытание заключается в вытаскивании костяшки одной костяшки из 3-х. Какова вероятность, что это будет дубль?
    Задача 2. Испытание включает два этапа, каждый из которых состоит в рассматривании одной стороны случайно выбранной костяшки. Какова вероятность, что на первом этапе мы увидим 1? Ответ 1/2. Какова вероятность, что на втором этапе мы увидим 1, при условии, что на первом мы увидели 1? Между прочим, 2/3, т.к. 1-я единица – одна из 3-х единиц на костяшках (1,1) и (1,0). После того, как мы выбрали одну единицу, остались 3 равновероятных события – две единицы и один ноль. Поэтому, в задаче 2 тоже получается, что вероятность увидеть дубль (1,1) равна 1/3. Такова же и вероятность увидеть дубль (0,0). Т.к. эти события несовместные, то вероятность увидеть дубль равна 2/3.
    ссылка |наградить
    отвечен 3 часа назад

    Андрей Юрьевич
    1.1k●1●5
    изменен 1 час назад
    2) Смотрим по очереди. Если видим 0, то удовлетворяющим ответом будет только 0, чему вероятность 1/2. Если видим 1, то удовлетворяющим ответом будет только 1, чему вероятность тоже 1/2.
    (3 часа назад) Володя
    Вот-вот. Теперь что-то понял
    (прямо сейчас) Володя
    добавить комментарий

    [Ответить]

  27. 28 Корнеев В.Ф.:

    Сейчас читаю Гуго Штейнгауза «Задачи и размышления». На стр.34 попалась подходящая ситуация. Производится 2 бросания монетки. Каковы могут быть исходы? Очевидно
    ОО, ОР, РО, РР.
    Те же дубли и 0-1. Но здесь иначе. Здесь исходов 4, а в домино 3. Здесь без выбора, а в домино выбор, как обследовать избранную доминошку.

    [Ответить]

  28. 29 Пифагор-9:

    Читал Гарднера и кое что законспектировал.Очень полезные книги пишет.Вероятности теория- остается,в большей степени,теорией и уступает первенство практике.Статистика-единственный след прошедших когда либо событий.Проблема выбора существует всегда,когда есть неопределенность и теория вероятности подтверждает эту проблему,но не имеет четкого математического аппарата для решения подобных проблем.Подобно игрушке она привлекает к себе и дает информацию к размышлению относительно разнообразия игровых ситуаций.Теория вероятности,теория игр,теория информации,кибернетика,комбинаторика,статистика и т.д. и т.п.Бездна неизвестного,непонятного,непостижимого.Зачем все это?

    [Ответить]

  29. 30 Вячеслав:

    В исходной формулировке задачи ничего не говорится о способе и последовательности вытягивания доминошек, а затем начинаются рассуждения о способах. Очевидно, что в исходной формулировке недостаточно данных, и задача не может иметь однозначного решения. Не понятно, как понимать “если посмотрим сразу на две половинки”? Если понимать это так, что сначала берется одна доминошка и перевернув её смотрят на всю её поверхность, то это уже другая задача с дополнительным условием, которое является не вероятностным, а достоверным фактом. Здесь возможны все три варианта В этом случае можно говорить только о вероятности вытягивания дубля из оставшихся двух не раскрытых доминошек. Если вариант 0-0 или 1-1, то задача решена с первого вытягивания, если вариант 0-1, то задача решается со второго вытягивания и следовательно при таком способе вероятность 1/2. Ещё более непонятен второй способ, что значит “если посмотрим по очереди”. На что смотрим по очереди, на первую вытянутую – сначала на левую половину,а затем на правую? Если так, то оба способа ни чем не отличаются, кроме различия по времени и ответ будет такой же, как в предыдущем варианте. Ответ 2/3 дает теория вероятности чисто гипотетически, не вытягивая доминошки ни каким способом.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    недостаточно данных…

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение