Интересная задачка по комбинаторике, которая заставляет задуматься (см. задачник по алгебре и анализу М.И. Башмакова, Б.М. Беккера, В.М. Гольхового и Ю.И. Ионина).
Задача. Имеется десять различных ящиков, шесть неразличимых белых шаров и шесть неразличимых черных шаров. Сколькими способами можно разложить все шары по ящикам так, чтобы в каждом ящике оказался хотя бы один шар?
Вся сложность комбинаторики состоит в том, чтобы понять. Здесь трудно что-то выучить наизусть. Как только заканчиваются простейшие задачи, приходит конец и “лобовому’’ применению формул для числа сочетаний, размещений и перестановок (ага, а если еще взять соединения с повторениями, то начинается полная путаница!). В любой более-менее неочевидной комбинаторной задаче нужно четко понимать, как подсчитать варианты так, чтобы ничего не пересчитать несколько раз и чтобы никакой вариант не остался неучтенным. И вот когда становится ясным алгоритм такого пересчета, задача решается сразу же. Самое главное, что комбинаторика нужна, и комбинаторные задачи встречаются много где: в химии, генетике, физике, информатике, во многих областях математики (скажем, классическая теория вероятностей — сплошная комбинаторика!). Поэтому знать ее нужно. Но более того, комбинаторика весьма интересна, а еще она заставляет думать, и это еще один ее огромный плюс. В общем, читайте книгу Н.Я. Виленкина “Комбинаторика’’, учитесь на задачах, решайте их (я, кажется, повторяюсь 
).
Показать решение
Шаров всего двенадцать, а ящиков десять. Положим в каждый ящик по одному шару, останется два шара. Таким образом, либо в одном ящике будут лежать 3 шара, а во всех остальных по одному шару, либо в двух ящиках будет по два шара, а во всех остальных по одному шару. Рассмотрим все возможные случаи.
Пусть в одном ящике лежат три черных шара. Тогда во всех остальных лежат 
черных и 
белых шаров. Выберем ящик, в который положим черные шары, это можно сделать 
способами. Теперь из оставшихся 
ящиков выберем , в которые положим черные шары (в остальные ящиков положим по одному белому шару) — 
вариантов. Итак, общее количество способов так разложить шары равно:
![\[10\cdot C_{9}^{3}=840 .\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2d609bbdb95df03eee39fb99b6ed004_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ровно столько же, а именно 
вариантов разложить шары по ящикам так, чтобы в одном ящике лежали три белых шара, а в остальных — по одному шару.
Разложим шары так, чтобы в одном ящике лежали 
черных и 
белый шар. Выберем этот ящик способами, а затем из оставшихся ящиков выберем 
, в которые положим черные шары:
способов раскладки.
И столькими же способами можно разложить шары так, чтобы в одном ящике лежало белых и черный шар.
Теперь пусть в двух ящиках лежат по два шара. Пусть в обоих ящиках эти шары белые. Выбираем эти два ящика 
способами, а из оставшихся 
ящиков теперь выберем , в которые положим оставшиеся белые шары. Итого
способов.
И столько же способов разложить шары по ящикам так, чтобы в двух ящиках лежало по черных шара.
Пусть в одном ящике лежат два черных шара, а в другом — черный и белый шары. Выбираем ящик, в который положим два черных шара способами, после этого способами выберем ящик, в который положим черный и белый шары. Осталось выбрать из ящиков , в которые положим оставшиеся черные шары:
способов.
И ровно столько же вариантов разложить шары по ящикам так, чтобы в одном ящике лежали два белых шара, а в другом — черный и белый шары.
В одном ящике может лежать два белых, а в другом — два черных шара. Выбираем ящик, в который положим два белых шара — вариантов. Из оставшихся ящиков выберем тот, в который положим два черных шара — способов. Из пустых ящиков выберем , в которые положим белые шары — 
способа выбора (в остальные ящики положим черные шары). Всего
способов.
И последний случай. В двух ящиках могут лежать по черному и белому шару. Выберем эти два ящика способами. А теперь из оставшихся ящиков выберем 4, в которые положим черные шары:
вариантов.
Теперь складываем все полученное и находим
способов.
Это и есть ответ на вопрос задачи.
Оставьте свой отзыв