Удачное тригонометрическое тождество
Об этом тождестве написал Джон Кук. Вот оно само
![\[\sin(x-y)\sin(x+y)=(\sin x-\sin y)(\sin x+\sin y) .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e7b56f0aff7150f58460369d64842f4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Почему же оно удачно? Можно представить себе ученика, который уверен в его правильности, исходя из неверных соображений, выпускника, считающего его неверным по неверным соображениям, и учителя, считающего его правильным по верным соображениям. Забавно, не правда ли?!
Так вот, кто-либо, просто манипулируя символами, особо не задумываясь, может посчитать это тождество очевидно правильным. Ну конечно, ведь можно заменить
![\[\sin(x-y)\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18bef0d574e9490313584d562cbd7003_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
на
![\[\sin x-\sin y\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80498506490f9fca6f0e64418a5341e5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, а
![\[\sin(x+y)\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b039e862a144617d92bc444583434818_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
— на
![\[\sin x+\sin y\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d893ebb9e07b7602b0622046187cb65_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, и все получится! Весь мир линеен.
Кто-либо, имеющий чуть более опыта, может сказать, что это тождество очевидно не может выполняться. Прежде всего,
![\[\sin(x\pm y)\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e76ae323f2ebe25518c322972db46d0f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
никак не может быть равен
![\[\sin x\pm \sin y\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2849a48ade7f0cf13a73169a517f8853_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Однако кто-либо, имеющий чуть больше терпения, мог бы взять карандаш и бумагу и убедиться, что это тождество в самом деле верно. Даже если бездумное манипулирование символами ошибочны, в этом случае они дают правильный результат.
А дальше приведу доказательство этого удачного тождества (для тех, кто сам его еще не доказал).
![\[\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x \sin y,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b05f61c81b6bf4c777c816236b0c20f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sin(x-y)\sin(x+y)=( \sin x\cos y-\cos x\sin y)(\sin x\cos y+\cos x \sin y)=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5753c48c25e7d8a0b23803d490a0807e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\sin^2x\cos^2y+\sin x\cos y\cos x\sin y-\cos x\sin y\sin x\cos y-\cos^2x\sin^2y=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-071985b02275e5df4e3146c8e5db750c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\sin^2x\cos^2y-\cos^2x\sin^2y=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d624ebdf0bb5b9e6a709582daee25f0d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\sin^2x(1-\sin^2y)-(1-\sin^2x)\sin^2y=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ebe09e469846d7aabc00bb58959e9881_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\sin^2x-\sin^2x\sin^2y-\sin^2y+\sin^2x\sin^2y=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4cbc0ddafa69b90bed4bd11f356106e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\sin^2x-\sin^2y .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc21651c316e5dffdf5a20fae0ec8288_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Мораль: изучайте тригонометрию 
.
Источник: http://www.johndcook.com/blog/2011/11/09/lucky-trig-identity/
1 Корнеев В.Ф.:
Я когда-то пытался решать алгебраические у-ния высших степеней с помощью тригонометрии. Ведь то, что они не имеют решения в радикалах, совсем не означает, что не имеют тригонометрических решений. Но ничего не получилось.
[Ответить]
5 Февраль 2012, 10:572 Елизавета Александровна Калинина:
А я как-то видела книжку, в которой такие уравнения решались через гипергеометрические ряды. Честно говоря, разбираться не стала…
[Ответить]
6 Февраль 2012, 19:293 Чук-и-Гек:
А я томат
[Ответить]
20 Март 2015, 15:22