Распечатать запись Распечатать запись

Немного о теории Галуа

[Это очень краткий обзор теории Галуа. Он не строгий, так что заранее приношу извинения за то, что обхожу многие детали и оставляю в стороне некоторые тонкости. Он должен был быть интуитивно понятным и не содержащим сложной математики, но так не получилось. Если Вы не знакомы с теорией групп и полями, что ж... Действуйте на свой страх и риск...]

Долгое время люди задавались вопросом, можно ли найти что-то вроде “формулы для корней квадратного уравнения’’ для уравнений третьей, четвертой степени и полиномов пятой степени с целыми коэффициентами. Теперь мы знаем, что для полиномов третьей и четвертой степени это возможно. Но для многочленов степени 5 и выше это не так. Доказательство этого было спешно написано Эваристом Галуа в ночь перед дуэлью. Чтобы ответить на этот вопрос, Галуа красиво связал друг с другом теорию полей и теорию групп. (примеч. На самом деле, неразрешимость в радикалах уравнений пятой степени и выше была доказана Руффини и Абелем, до Галуа, однако современное доказательство теоремы Руффини — Абеля основано на теории Галуа).

Подход Галуа: великая идея

Что действительно означает написать “формулу’’ для корней многочлена? Во-первых, мы будем записывать корни, используя рациональные числа и операции “+, -, х, ÷’’ и радикалы (корни степени n). Это очень ограниченный набор операций, и, конечно, не все вещественные числа могут быть записаны таким образом: например, очевидно, что \pi так не записать. Мы говорим, что \pi не представимо в радикалах.

Представимы ли корни многочленов с целыми коэффициентами в радикалах? Эти корни являются не только любыми вещественными числами, и, конечно, \pi не является корнем какого-либо полинома с целыми коэффициентами. Тем не менее Галуа показал, что существует полином пятой степени, корни которого не представимы в радикалах. Чтобы увидеть, как он это сделал, нам в первую очередь необходимы некоторые понятия, касающиеся полей, их расширений и групп.

Поля

Множество рациональных чисел \mathbb{Q} является примером поля (точное определение поля см. здесь): совокупность элементов, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить. Мы можем расширить \mathbb{Q} до бόльших полей, присоединяя к нему другие элементы. Например, L=\mathbb{Q}(\sqrt{2}), полученное присоединением к полю рациональных чисел числа \sqrt{2} — определяется как наименьшее поле, которое содержит \mathbb{Q} и \sqrt{2}, и замкнуто относительно операций “+, -, х’’, и “÷’’. Элементами \mathbb{Q} (\sqrt{2}) являются числа, которые можно записать в виде a+b\sqrt{2}, где a,b\in\mathbb{Q}. Единственное, что здесь не очевидно, — это то, что числа вида \displaystyle \frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}, где a,b,c,d — рациональные числа, принадлежат тому же множеству. Но это действительно так, поскольку

\displaystyle \frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}=\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{(c+d\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}=

\displaystyle =\frac{ac-2bd+\sqrt{2}(bc-ad)}{c^2-2d^2}=\frac{ac-bd}{c^2-2d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-2d^2}\sqrt{2},

а числа \displaystyle \frac{ac-bd}{c^2-2d^2} и \displaystyle\frac{bc-ad}{c^2-2d^2} рациональные.

Мы будем называть такие поля L расширением над \mathbb{Q} (записывается L/\mathbb{Q}).

Когда мы к \mathbb{Q} присоединяем \sqrt{2}, чтобы построить \mathbb{Q}(\sqrt{2}), мы в действительности добавляем к \mathbb{Q} корень многочлена F(x)=x^2-2. Мы могли бы сделать это и с помощью других многочленов, высших степеней. Пусть p(x) — многочлен с целыми коэффициентами (и различными корнями). Мы определим K — поле разложения p(x) как наименьшее поле, содержащее \mathbb{Q} и все корни полинома p(x). Например, поле разложения p(x)=x^2+1 содержит корни этого полинома i и -i, так как поле разложения p(x) K: K=\mathbb{Q}(i,-i)=\mathbb{Q}(i). (Последнее равенство верно, поскольку 0 и i содержатся в \mathbb{Q}(i), так что -i=0-i также принадлежит \mathbb{Q}(i)).

Обратно, мы называем расширение K/\mathbb{Q} расширением Галуа, если это поле разложения некоторого полинома p(x). Из сказанного ранее, \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q} является расширением Галуа.

Автоморфизмы, оставляющие неподвижным \mathbb{Q}, или \mathbb{Q}-автоморфизмы

Автоморфизм F поля K является взаимно однозначным отображением K на себя, при котором сохраняется алгебраическая структура — в частности, F(a+b)=F(a)+F(b), F(ab)=F(a)F(b),F(1/a)=1/F(a). В случае, когда K является расширением \mathbb{Q}, мы больше интересуемся автоморфизмами поля K, для которых F(x)=x для всех x из \mathbb{Q} (иначе, F оставляет неподвижными элементы \mathbb{Q}).

Если p(x) — произвольный полином с рациональными коэффициентами, K — расширение поля \mathbb{Q}, и F\mathbb{Q}-автоморфизм K, то легко показать, что p(F(x))=F(p(x)). Попробуйте сделать это сами. Подсказка: нужно рассмотреть два случая: x\in\mathbb{Q} и x\not\in\mathbb{Q}.

Отсюда следует, что любой \mathbb{Q}-автоморфизм поля разложения K полинома p(x) переставляет корни p(x). Если p(\alpha)=0, то p(F(\alpha))=F(p(\alpha))=F(0)=0. Тем самым, F(\alpha) — корень p(x).

Мы можем пойти дальше и показать, что зная, как \mathbb{Q}-автоморфизм поля разложения K переставляет корни p(x), можно точно сказать, как этот автоморфизм действует на любой элемент поля разложения. Однако, не любая перестановка корней p(x) индуцируется каким-либо \mathbb{Q}-автоморфизмом. Например, возьмем p(x)=x^4-4x^2+6 (его поле разложения K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})) с корнями \pm\sqrt{2},\pm\sqrt{3}. Не существует \mathbb{Q}-автоморфизма K такого, что F(\sqrt{2})=\sqrt{3}. Действительно, пусть F — такой \mathbb{Q}-автоморфизм. Тогда (F(\sqrt{2}))^2=F((\sqrt{2})^2)=F(2)=2. Но если F(\sqrt{2})=\sqrt{3}, то (F(\sqrt{2}))^2=(\sqrt{3})^2, откуда 2=3.

Таким образом, \mathbb{Q}-автоморфизм поля разложения дает идею симметрии корней полинома.

Так, для полинома p(x)=x^2-2 имеем: поле разложения \mathbb{Q}(\sqrt{2}).

Есть два автоморфизма \mathbb{Q}(\sqrt{2}), оставляющих неподвижными \mathbb{Q}: тождественный автоморфизм (назовем его e), который отображает каждый элемент \mathbb{Q}(\sqrt{2}) в себя, и автоморфизм (назовем его t), который отображает любой элемент из \mathbb{Q} в себя, и \sqrt{2} отображает в -\sqrt{2}. Можно показать, что существует ровно один такой автоморфизм t (t(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}).

Группы

Группа представляет собой набор элементов с ассоциативной операцией \circ с единицей, где все элементы обратимы. Определенные выше автоморфизмы K, оставляющие неподвижным \mathbb{Q}, образуют группу, которая обозначается G(K/\mathbb{Q}) и является группой с операцией \circ — композицей функций — и единичным элементом e. Заметим, что мы не требуем от \circ коммутативности (в этом случае a \circ b может быть не тем же самым, что b\circ a).

Замечание. Вот точное определение группы.

Группой G называется множество элементов с операцией \circ, для которой выполнены следующие свойства:

1) Для любых двух элементов x и y x\circ y также принадлежит G.

2) В группе существует элемент, называемый нейтральным и обозначающийся e или 1, иногда 0, такой что 1\circ x=x=x\circ 1.

3) Для любых элементов x,y,z\in G выполняется свойство (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z), т.е. операция \circ ассоциативна. Это значит, что скобки в выражениях мы можем расставлять произвольным образом.

4) Любой элемент G имеет единственный обратный элемент y, который обозначается также x^{-1} или -x такой, что x\circ y=y\circ x=1.

Так, примером группы является множество целых чисел \mathbb{Z} с операцией сложения. Все четыре аксиомы легко проверяются.

1) Если m и n целые числа, то число m+n также целое, и операция сложения не выводит за пределы множества \mathbb{Z}.

2) n+0=0+n=n, и 0 является нейтральным элементом.

3) m+n+l=(m+n)+l=m+(n+l) — сложение ассоциативно.

4) n+(-n)=(-n)+n=0, -n — обратный (противоположный) элемент для n.

Две группы изоморфны, если они имеют одинаковую алгебраическую структуру — то есть они по существу являются одной и той же группой, за исключением того, что элементы в них имеют различные названия. Полезно узнать, является ли G(K/\mathbb{Q}) изоморфной группе, которую мы хорошо знаем. Два важных класса групп, которые хорошо изучены, это циклические группы и группы перестановок (или симметрические группы).

Замечание. Это определение циклической группы.

Определение. Циклической группой порядка p называется множество элементов 1,x,x^2,\ldots,x^{p-1} с операцией x^n\circ x^m=x^{n+m} и соотношением x^p=1.

Очевидно, что в таком множестве каждый элемент обратим, так как x^n\circ x^{p-n}=1.

Примеры групп

Циклической группой C(n) порядка n является множество \{0,1,2,3,\ldots ,n-1\}, с операцией сложения по модулю n. Вернемся к L=\mathbb{Q}(\sqrt{2}). В этом случае G(L/\mathbb{Q})=\{ e,t\}, при этом \circ — композиция функций. На самом деле эта группа изоморфна группе C(2)=\{ 0,1\}.

Группа перестановок состоит из функций, которые переставляют некоторые “буквы’’. Мы будем обозначать группу перестановок из n букв через S(n). Например, S (3) состоит из всех перестановок букв \{  a, b, c\}. Функция F, отображающая a\to b,b\to c,c\to a, — одна из таких перестановок (и, следовательно, она является элементом S(3)).

Фундаментальная теорема теории Галуа

Галуа заметил, что для расширения Галуа K/\mathbb{Q} существует связь между подполями K, содержащими \mathbb{Q}, и подгруппами автоморфизмов, оставляющими \mathbb{Q} неподвижным G=G(K/\mathbb{Q}). Слова подполе и подгруппа означают именно то, что Вы думаете — подполе K — это поле L, которое содержится в K (и замкнуто относительно операций “+, -, х, ÷’’). Например, \mathbb{Q} является подполем \mathbb{R}, и \mathbb{Q} является подполем \mathbb{Q}(\sqrt{2}). Подгруппа группы G — группа H, которая содержится в G (то есть замкнута относительно операции \circ и содержит единицу). Например, множество \{0,2,4\} является подгруппой C (6) = \{0,1,2,3,4,5\}.

Более точно, существует взаимно однозначное соответствие между подполями L и подгруппами H:

Для подполя L поля K, содержащего \mathbb{Q}, существует подгруппа H группы G, в точности соответствующая автоморфизмам, оставляющим неподвижным L, то есть G(x)=x для всех x из L, а не только \mathbb{Q}.

Обратное также верно: если H — подгруппа G, то существует некоторое подполе L поля K, содержащее \mathbb{Q}, которое оставляют неподвижным все автоморфизмы из H.

В частности, если L/\mathbb{Q} является расширением Галуа, то H будет нормальной подгруппой группы G. Считайте, что H нормальная подгруппа — это значит, что H ведет себя достаточно хорошо, так что G/H — еще одна группа, факторгруппа. Мы не будем вдаваться в то, что это означает, но эта группа G/H оказывается изоморфной G(L/\mathbb{Q}).

Примечание. Все-таки немного объясню, а то как-то совсем уж все на веру принимать приходится. Разумеется, все это можно пропустить. Сначала о нормальной подгруппе.

Подгруппа H группы G называется нормальной, если для любого элемента h\in H и любого элемента g\in G элемент g\circ h\circ g^{-1} лежит в H.

Пусть H — подгруппа группы G. Левым классом смежности элемента g\in G по подгруппе H называется g\circ H=\{ g\circ h| h\in H\}. Аналогично определяется правый класс смежности  H\circ g=\{ h\circ g| h\in H\}.

Очевидно, что для нормальной подгруппы левый и правый классы смежности совпадают.

Теперь введем операцию \circ на классах смежности (H — нормальная подгруппа):

(a\circ H)\circ (b\circ H)=(a\circ b)\circ H .

Относительно этой операции множество классов смежности образует группу — факторгруппу G/H.

Мое примечание закончилось :) .

В качестве конкретного примера давайте возьмем K=\mathbb{Q}(i,\sqrt[3]{2}). Можно показать, что K/\mathbb{Q} является расширением Галуа и что группа G=G(K/\mathbb{Q}) изоморфна группе S(3). В частности, подполя K — это \mathbb{Q}(i) и \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right), и они соответствуют подгруппам S(3), изоморфным C(3) и S(2). Мы видели раньше, что \mathbb{Q}(i) является расширением Галуа, кроме того, C(3) изоморфна нормальной подгруппе S(3) (подгруппе четных перестановок).

Связь с великой идеей

Пусть p(x) — полином пятой степени, и у него есть корень x, который представим в радикалах. Тогда действительно, x является элементом какого-то поля K, содержащего \mathbb{Q}, где K может быть “построено’’ из \mathbb{Q} последовательным добавлением \sqrt[n]{\alpha}, корней степени n из \alpha для некоторых n и \alpha. Например, возьмем x=\sqrt{2+\sqrt{5}}. Положим L=\mathbb{Q}(\sqrt{5}) и K=L\left(\sqrt{2+\sqrt{5}}\right), чтобы “построить’’ K подобным образом.

Разрешимые поля

В общем, мы называем расширение K/\mathbb{Q} разрешимым, если K=K_0\supseteq K_1\supseteq K_2\supseteq\ldots\supseteq \mathbb{Q}, где каждое K_{i-1}=K_i\left(\sqrt[n]{\alpha}\right) для некоторых n и \alpha. Это именно то построение, что мы делали в предыдущем пункте. В качестве другого примера рассмотрим K=\mathbb{Q}(i,\sqrt[3]{2}) — разрешимое расширение, поскольку \mathbb{Q}\left( i,\sqrt[3]{2}\right)=\mathbb{Q}(i)\left(\sqrt[3]{2}\right)\supseteq\mathbb{Q}(i)\supseteq\mathbb{Q} имеет необходимый вид (напомним, i=\sqrt{-1}, см. здесь).

Для полинома p(x) над \mathbb{Q}, K — поле разложения p(x) является самым маленьким полем, содержащим все корни p(x), так что корни p(x) представимы в радикалах тогда и только тогда, когда K разрешимо.

Разрешимые группы

Мы можем на самом деле предположить (без учета некоторых тонкостей), что все K_{i-1}/K_i, указанные выше, являются расширениями Галуа. В этом случае каждая группа G(K_{i-1}/K_i) фактически изоморфна C(n) для некоторого n.

Таким образом, чтобы для расширение поля K/\mathbb{Q} было разрешимо, G=G(K/\mathbb{Q}) должна иметь определенный вид: должна иметься цепочка подгрупп G=G_0\supseteq G_1\supseteq G_2\supseteq\ldots\supseteq \{ e\}, где каждое G_i является нормальной подгруппой в G_{i-1} и G_i/G_{i-1}=C(n) для некоторого n, \{ e\} — тривиальная группа, состоящая только из единицы. В случае K=\mathbb{Q}\left( i,\sqrt[3]{2}\right) цепочка подгрупп выглядит как G(K/\mathbb{Q})=S(3)\supseteq C(3)\supseteq\{ e\}.

Формула для корней уравнения пятой степени не может существовать

Напомним, для того чтобы корни p(x) были представимы в радикалах, необходимо, чтобы K — поле разложения p(x) — было разрешимым полем, что, в свою очередь, требует, чтобы группа G(K/\mathbb{Q}) была разрешима.

Но немного знаний из теории групп, и мы сможем показать, что группа S(5) не разрешима. Кроме того, любой многочлен пятой степени с двумя комплексными корнями имеет группу Галуа S(5). Эти последние факты требуют для доказательства еще некоторых понятий, но в любом случае — не все корни многочленов пятой степени представимы в радикалах.

Источники: http://www.lisazhang.ca/2011/12/galois-theory-in-1500-words.html

http://nrich.maths.org/1422

Комментариев: 2

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    У меня в “сентенциях” есть юмореска, где я засыпаю, когда пытаюсь изучить теорему Гёделя. Точно такое же происходит, когда я пытаюсь изучить “Теорию Галуа” Постникова. Когда просыпаюсь, то оказывается, что всё надо начинать с начала.

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, напрячься заставляет, но как красиво!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение