Теорема Паскаля для шестиугольника

Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника — одна из первых и важных теорем проективной геометрии. Эту теорему Блез Паскаль доказал, когда ему было всего лишь 16 лет. Однако его доказательство не сохранилось.

Теорема Паскаля. Пусть шестиугольник

    \[ABCDEF\]

вписан в окружность. Тогда точки пересечения прямых, являющихся продолжениями его противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Доказательство.

Обозначим точки пересечения прямых, на которых лежат противоположные стороны шестиугольника следующим образом:

    \[M=(AB)\cap (DE),N=(BC)\cap(EF),P=(CD)\cap(AF) .\]

Также обозначим следующие точки:

    \[Q=(EF)\cap(CD),R=AB\cap(CD),S=(EF)\cap(AB) .\]

По свойству секущих к окружности

    \[QE\cdot QF=QD\cdot QC,RC\cdot RD=RB\cdot RA,SE\cdot SF=SB\cdot SA .\]

Рассмотрим треугольник

    \[QRS\]

. Применим теорему Менелая к этому треугольнику и прямой

    \[AF\]

:

    \[\displaystyle\frac{SA}{AR}\cdot\frac{PR}{PQ}\cdot\frac{QF}{FS}=1.\]

По теореме Менелая для треугольника

    \[QRS\]

и прямых

    \[ED\]

и

    \[BC\]

получим

    \[\displaystyle\frac{QE}{ES}\cdot\frac{SM}{MR}\cdot\frac{RD}{DQ}=1,\]

    \[\displaystyle\frac{RC}{CQ}\cdot\frac{QN}{NS}\cdot\frac{SB}{BR}=1.\]

Теперь перемножим последние три равенства:

    \[\displaystyle\frac{SA}{AR}\cdot\frac{PR}{PQ}\cdot\frac{QF}{FS}\cdot\frac{QE}{ES}\cdot\frac{SM}{MR}\cdot\frac{RD}{DQ}\cdot\frac{RC}{CQ}\cdot\frac{QN}{NS}\cdot\frac{SB}{BR}=1.\]

    \[QF\cdot QE\]

в числителе сократится с

    \[DQ\cdot CQ\]

в знаменателе,

    \[RC\cdot RD\]

в числителе сократится с

    \[AR\cdot BR\]

в знаменателе,

    \[SA\cdot SB\]

в числителе сократится с

    \[FS\cdot ES\]

в знаменателе.

Тогда

    \[\displaystyle\frac{RP}{PQ}\cdot\frac{SM}{MR}\cdot\frac{QN}{NS}=1.\]

А это равенство по теореме, обратной к теореме Менелая, примененной к треугольнику

    \[QRS\]

и точкам

    \[M,N,P\]

, лежащим на продолжениях его сторон, означает, что точки

    \[M,N,P\]

лежат на одной прямой.

Замечание. Заметим, что любые шесть точек, лежащих на окружности, определяют

    \[60\]

различных вписанных шестиугольников, для каждого из которых верна теорема Паскаля. Действительно, для задания такого шестиугольника (не обязательно выпуклого, разумеется), нужно задать порядок следования точек — вершин. Это можно сделать

    \[6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=6!\]

способами. Теперь нужно учесть, что начинать обход мы можем с любой из шести точек, и двигаться можем в двух противоположных направлениях, при этом мы получим один и тот же шестиугольник. Итого:

    \[6!/(6\cdot2)=60\]

шестиугольников. Разумеется, для некоторых шестиугольников противоположные стороны могут оказаться параллельными, тогда доказательство, приведенное выше, следует изменить.

Источники: Я.П. Понарин “Элементарная геометрия, т. 1 Планиметрия. Преобразования плоскости”,
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pascal.shtml#words

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение