Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Паскаля для шестиугольника

Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника — одна из первых и важных теорем проективной геометрии. Эту теорему Блез Паскаль доказал, когда ему было всего лишь 16 лет. Однако его доказательство не сохранилось.

Теорема Паскаля. Пусть шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Тогда точки пересечения прямых, являющихся продолжениями его противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Доказательство.

Обозначим точки пересечения прямых, на которых лежат противоположные стороны шестиугольника следующим образом:

M=(AB)\cap (DE),N=(BC)\cap(EF),P=(CD)\cap(AF) .

Также обозначим следующие точки:

Q=(EF)\cap(CD),R=AB\cap(CD),S=(EF)\cap(AB) .

По свойству секущих к окружности

QE\cdot QF=QD\cdot QC,RC\cdot RD=RB\cdot RA,SE\cdot SF=SB\cdot SA .

Рассмотрим треугольник QRS. Применим теорему Менелая к этому треугольнику и прямой AF:

\displaystyle\frac{SA}{AR}\cdot\frac{PR}{PQ}\cdot\frac{QF}{FS}=1.

По теореме Менелая для треугольника QRS и прямых ED и BC получим

\displaystyle\frac{QE}{ES}\cdot\frac{SM}{MR}\cdot\frac{RD}{DQ}=1,

\displaystyle\frac{RC}{CQ}\cdot\frac{QN}{NS}\cdot\frac{SB}{BR}=1.

Теперь перемножим последние три равенства:

\displaystyle\frac{SA}{AR}\cdot\frac{PR}{PQ}\cdot\frac{QF}{FS}\cdot\frac{QE}{ES}\cdot\frac{SM}{MR}\cdot\frac{RD}{DQ}\cdot\frac{RC}{CQ}\cdot\frac{QN}{NS}\cdot\frac{SB}{BR}=1.

QF\cdot QE в числителе сократится с DQ\cdot CQ в знаменателе,
RC\cdot RD в числителе сократится с AR\cdot BR в знаменателе,
SA\cdot SB в числителе сократится с FS\cdot ES в знаменателе.

Тогда

\displaystyle\frac{RP}{PQ}\cdot\frac{SM}{MR}\cdot\frac{QN}{NS}=1.

А это равенство по теореме, обратной к теореме Менелая, примененной к треугольнику QRS и точкам M,N,P, лежащим на продолжениях его сторон, означает, что точки M,N,P лежат на одной прямой.

Замечание. Заметим, что любые шесть точек, лежащих на окружности, определяют 60 различных вписанных шестиугольников, для каждого из которых верна теорема Паскаля. Действительно, для задания такого шестиугольника (не обязательно выпуклого, разумеется), нужно задать порядок следования точек — вершин. Это можно сделать 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=6! способами. Теперь нужно учесть, что начинать обход мы можем с любой из шести точек, и двигаться можем в двух противоположных направлениях, при этом мы получим один и тот же шестиугольник. Итого: 6!/(6\cdot2)=60 шестиугольников. Разумеется, для некоторых шестиугольников противоположные стороны могут оказаться параллельными, тогда доказательство, приведенное выше, следует изменить.

Источники: Я.П. Понарин “Элементарная геометрия, т. 1 Планиметрия. Преобразования плоскости”,
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pascal.shtml#words

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение